浙江紹興市上虞區(qū)蓋北鎮(zhèn)小學(xué) （312369） 顧婷婷

浙江紹興市教育教學(xué)研究院 （312099） 徐雪剛

●爭(zhēng)鳴：分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)何處始？

關(guān)于“分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)”一課的教學(xué)，可謂百家爭(zhēng)鳴，不同專家有不同的觀點(diǎn)：或從“量”切入，或從“率”開(kāi)啟，都試圖讓學(xué)生更高效地認(rèn)識(shí)和理解分?jǐn)?shù)。特級(jí)教師朱國(guó)榮老師指出：“一開(kāi)始就把分?jǐn)?shù)教成一個(gè)量與另一個(gè)量的關(guān)系，不是一種合理的教學(xué)順序，這是學(xué)生難以理解和接受的根源?！碧丶?jí)教師俞正強(qiáng)老師教學(xué)時(shí)是從“量”的認(rèn)識(shí)開(kāi)始，再到“率”的體悟，最后對(duì)兩者進(jìn)行辨析。而劉善娜老師則質(zhì)疑：“教材和配套練習(xí)中均是以‘率’為主。如果三年級(jí)只教學(xué)‘量’，后續(xù)分?jǐn)?shù)的教學(xué)如何處理？”

●思辨：教學(xué)實(shí)踐何所依？

研讀教材，把握本質(zhì)，是有效開(kāi)展單元整合的前提。整合教材并不是盲目地改編教材，而是要在充分尊重教材的基礎(chǔ)上，抓住數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)和知識(shí)發(fā)展的主線。研讀教材不僅僅是針對(duì)某一節(jié)課的教材，還應(yīng)從單元的角度、從整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)教材的角度進(jìn)行研讀，甚至可以從“同一知識(shí)體系”中小學(xué)教材的編排角度進(jìn)行研讀，以理解教材的編排脈絡(luò)，全面把握教材的內(nèi)容編排。為此，筆者對(duì)人教版教材中分?jǐn)?shù)的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了詳細(xì)的梳理，并進(jìn)行了全面的學(xué)情分析。

一、讀教材——先“率”后“量”，“理想”“現(xiàn)實(shí)”有沖突

三年級(jí)上冊(cè)的教材，是從“一個(gè)物體為整體”過(guò)渡到“多個(gè)物體為整體”，讓學(xué)生逐步加深對(duì)分?jǐn)?shù)所表達(dá)的“部分—整體”關(guān)系的認(rèn)識(shí)。“分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識(shí)”這一單元內(nèi)容全都圍繞“率”這一基本含義展開(kāi)（見(jiàn)表1）。

表1 三年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”單元教材分析

雖然這樣的編排充分考慮到了分?jǐn)?shù)概念的抽象性及其理解方式的多樣性，但是還存在以下幾個(gè)問(wèn)題。

（一）“學(xué)科”“學(xué)生”有沖突

考慮到“部分—整體”概念在分?jǐn)?shù)中所處的地位，教材是讓學(xué)生先從重要的內(nèi)容入手，因?yàn)檫@樣可以按照學(xué)科知識(shí)邏輯的順序進(jìn)行教學(xué)。然而，小學(xué)生從一年級(jí)入學(xué)開(kāi)始，接觸的數(shù)基本是“量”而非“率”，只有在三年級(jí)上冊(cè)“倍的認(rèn)識(shí)”中，學(xué)生“臨時(shí)”接觸了一下“比率”。因此，在初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，如果教師沒(méi)有明確解釋，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的第一印象會(huì)是“量”，還是“率”，抑或模糊不清？

（二）“相關(guān)教學(xué)”難銜接

表2 三年級(jí)下冊(cè)“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”中涉及“分?jǐn)?shù)”的內(nèi)容

（三）“配套練習(xí)”有糾結(jié)

教材編排的習(xí)題（如圖1-1、1-2）原意是想體現(xiàn)分?jǐn)?shù)的“率”，但又沒(méi)有點(diǎn)明，這樣難免引起學(xué)生的誤解，造成學(xué)生混淆“量”“率”，因?yàn)槿绻嬲w現(xiàn)含義是“率”的分?jǐn)?shù)，如圖1-3、1-4 所示的習(xí)題更合適。

圖1-1

圖1-2

圖1-3

圖1-4

配套的課堂作業(yè)本在“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”這一單元中多次出現(xiàn)“量”的習(xí)題（如圖2-1、2-2）。教材和教學(xué)目標(biāo)都未體現(xiàn)“量”，為何配套的課堂作業(yè)本中頻繁出現(xiàn)“量”的習(xí)題？

圖2-1

圖2-2

（四）后續(xù)學(xué)習(xí)存“痛點(diǎn)”

五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義”在單位“1”中呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)“率”的含義（見(jiàn)表3）?！胺?jǐn)?shù)與除法”是教材首次出現(xiàn)“量”，但后續(xù)直接呈現(xiàn)“量”“率”結(jié)合的題目，學(xué)生還來(lái)不及辨別“量”“率”的差異，“量”旋踵即逝，這樣的編排是否會(huì)給學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)留下“痛點(diǎn)”？

表3 五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的意義”單元教材分析

二、察學(xué)情——“量”“率”同行，“雙線”并進(jìn)有基礎(chǔ)

整合教材的研究一定要關(guān)注學(xué)生學(xué)情，離開(kāi)了學(xué)情，一切整合都沒(méi)有任何意義。筆者對(duì)三所不同層次學(xué)校的136 名學(xué)生進(jìn)行前測(cè)，前測(cè)問(wèn)題及前測(cè)結(jié)果如下。

問(wèn)題1：你知道“分?jǐn)?shù)”這種數(shù)嗎？如果知道，請(qǐng)告訴老師你是怎么知道的。

將近一半的學(xué)生認(rèn)識(shí)或者聽(tīng)說(shuō)過(guò)分?jǐn)?shù)，也會(huì)用自己的語(yǔ)言表達(dá)（如圖3）。因此，對(duì)于經(jīng)驗(yàn)并不豐富的學(xué)生，教師只要在課堂上讓數(shù)學(xué)與生活建立溝通，就可以幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)。

圖3 學(xué)生回答問(wèn)題1的情況

圖4

圖5 學(xué)生回答問(wèn)題2第（1）題的情況

對(duì)于第（2）題，雖然存在畫錯(cuò)的情況，但有不少學(xué)生能基本畫對(duì)，畫錯(cuò)的學(xué)生基本是先將圓分成了2份，再將其中1份涂色（如圖6）。只是不管是表達(dá)還是涂色，學(xué)生都還未意識(shí)到要“平均分”，因此教師要引導(dǎo)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)中的“分”指的是平均分，因?yàn)橹挥衅骄植拍墚a(chǎn)生合適的分?jǐn)?shù)。

圖6 學(xué)生回答問(wèn)題2第（2）題的情況

圖7

表4 各小學(xué)的學(xué)生回答問(wèn)題3的情況

“水有源，故其流不窮；木有根，故其生不窮?！睂W(xué)生有經(jīng)驗(yàn)，自然就有教育的可能和空間。通過(guò)學(xué)情分析，筆者認(rèn)為學(xué)生對(duì)“量”的分?jǐn)?shù)有更多的知識(shí)基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，教師只要設(shè)計(jì)好情境，調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生用“熟悉的”去解釋“陌生的”，用“形象的”去解釋“抽象的”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就會(huì)變得簡(jiǎn)單有趣。

●踐行：整體架構(gòu)如何定？

對(duì)于“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”一課，只關(guān)注“量”，或只關(guān)注“率”，都會(huì)人為地割裂了“分?jǐn)?shù)”的整體性，讓學(xué)生對(duì)后續(xù)分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生“負(fù)遷移”。因此，筆者嘗試對(duì)三年級(jí)上冊(cè)和五年級(jí)下冊(cè)的分?jǐn)?shù)內(nèi)容進(jìn)行重組整合。

一、整體架構(gòu)，重組教材內(nèi)容

在“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”一課中重組教材內(nèi)容做“加法”，將“分?jǐn)?shù)與除法”的例1、“幾分之一”與“分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用”的例1 整合為一節(jié)課，對(duì)接學(xué)生的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，體現(xiàn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性，在分?jǐn)?shù)概念建構(gòu)初期幫助學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。同時(shí)，在教材目標(biāo)上做“減法”，學(xué)生只需感知分?jǐn)?shù)的兩重含義，會(huì)用簡(jiǎn)單的語(yǔ)言、涂色、畫圖等方式來(lái)辨別“量”“率”即可。重組整合如圖8所示。

打破三年級(jí)和五年級(jí)的知識(shí)邊界，將五年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)與除法”的例1 移至三年級(jí)起始課，分解三年級(jí)分?jǐn)?shù)的相關(guān)內(nèi)容，將“認(rèn)識(shí)幾分之一”和“分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用”的例1 整合，拓展認(rèn)識(shí)“率”。練習(xí)課設(shè)計(jì)“量”“率”結(jié)合的習(xí)題鞏固新知，后續(xù)“認(rèn)識(shí)幾分之幾”、“分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用”的例2、“分?jǐn)?shù)的意義”等內(nèi)容皆“量”“率”并進(jìn)。對(duì)“分?jǐn)?shù)的大小與比較”也做了適當(dāng)調(diào)整，先教學(xué)“同分母分?jǐn)?shù)的大小”，后教學(xué)“幾分之一的大小”。因?yàn)檎J(rèn)識(shí)幾分之一和幾分之幾后，學(xué)習(xí)“同分母分?jǐn)?shù)的大小”比學(xué)習(xí)“幾分之一的大小”容易。

二、教學(xué)實(shí)踐，尋求“并進(jìn)”之法

吳正憲老師曾說(shuō)：“要敢于打亂教材的安排順序，將教材中容易混淆的概念安排在同一節(jié)課中學(xué)習(xí)，用比較的手段來(lái)辨析概念的內(nèi)涵”“‘量’‘率’本是同根生，教學(xué)何不一起行”。 筆者遵循學(xué)生學(xué)情，起始課是從“量”含義出發(fā)帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)引出“率”含義，再“量”“率”并進(jìn)，呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)的全貌。

筆者對(duì)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”一課進(jìn)行了全新的設(shè)計(jì)（如圖9）。

圖9 “分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)

任務(wù)一：?jiǎn)拘呀?jīng)驗(yàn)——?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，引出“量”的含義

三年級(jí)學(xué)生在生活中已經(jīng)有平均分的經(jīng)驗(yàn)，有半個(gè)、半塊、月餅的一半、蘋果的一半這樣的生活經(jīng)驗(yàn)。在課堂教學(xué)中，若以這些經(jīng)驗(yàn)為生長(zhǎng)點(diǎn)，“生長(zhǎng)”出新的知識(shí)，就能完成整數(shù)到分?jǐn)?shù)的過(guò)渡。這樣，分?jǐn)?shù)就能在“經(jīng)驗(yàn)”與“數(shù)學(xué)”中自然生長(zhǎng)，無(wú)縫銜接，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展過(guò)程。

【教學(xué)片段1】除法的應(yīng)用

師：什么時(shí)候會(huì)用除法呢？

生（齊）：平均分東西的時(shí)候。

師：4個(gè)餅平均分給2個(gè)人，每人幾個(gè)？

生1：4÷2=2（個(gè)）。

師：其中的4、2、2分別表示什么意思？

（學(xué)生回答略）

師：2個(gè)餅平均分給2個(gè)人，每人幾個(gè)？

生2：2÷2=1（個(gè)）。

師：其中的2、1表示什么意思？

（學(xué)生回答略）

師：1個(gè)餅平均分給2個(gè)人，每人幾個(gè)？

生3：1÷2……

師：每人得到幾個(gè)？

生4：半個(gè)。

“平均分”這一概念是學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的重要基石。教學(xué)從學(xué)生熟悉的平均分引入，先回顧除法中蘊(yùn)含的平均分過(guò)程，再利用“1÷2=”這一問(wèn)題激活學(xué)生認(rèn)識(shí)新知的動(dòng)力，同時(shí)也闡明了分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的價(jià)值所在，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

任務(wù)二：轉(zhuǎn)換經(jīng)驗(yàn)——自主探究，構(gòu)建“量”的特征

教育并不是一件“告知”和“被告知”的事情，而是一個(gè)主動(dòng)的、建設(shè)性的過(guò)程。雖然不同的教學(xué)方式都能讓學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)，但給學(xué)生帶來(lái)的學(xué)習(xí)感受卻千差萬(wàn)別。自主探究能讓學(xué)生在探尋知識(shí)的過(guò)程中有不同的收獲。

師（出示月餅圖，圖略）：請(qǐng)分一分這個(gè)月餅，怎么分？不對(duì)折可以嗎？

（學(xué)生回答略）

師：把這個(gè)月餅平均分成2份，其中1份就是你們說(shuō)的半個(gè)，半個(gè)還可以表示為個(gè)。

（學(xué)生回答略）

師（出示三種分月餅的方法，如圖10 所示）：它們分成的每一份都是個(gè)嗎？

圖10

（學(xué)生回答略）

師：之前我們分1 個(gè)月餅，分得的月餅不是整個(gè)的，分?jǐn)?shù)就出現(xiàn)了。

師（出示圖11）：看圖，請(qǐng)按“把（）平均分成2份，其中1份就是（）”說(shuō)一說(shuō)。

圖11

師：不管是分什么東西，只要是平均分成2 份，其中的1份就可以用個(gè)或顆或根來(lái)表示。

師（出示圖12）：用分?jǐn)?shù)表示涂色部分。

圖12

教師提供豐富的素材，通過(guò)不同素材的比較和概括，學(xué)生可以更深入地理解分?jǐn)?shù)的形成過(guò)程。在板書和課件上完整呈現(xiàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言，并幫助學(xué)生表達(dá)，是一種很有效的教學(xué)策略。因?yàn)樵谝淮未蔚谋硎龊陀懻撝?，學(xué)生能夠感受到分?jǐn)?shù)與其他概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，進(jìn)一步加深對(duì)分?jǐn)?shù)的理解。

師：這張紙除了可以平均分成2 份，還可以平均分成幾份呢？

（教師展示學(xué)生作品，如圖13所示。）

圖13

任務(wù)三：對(duì)接經(jīng)驗(yàn)——與生活對(duì)接，揭示“率”的含義

“種子”的力量在于生長(zhǎng)。對(duì)“種子課”中新概念的認(rèn)知越全面，在之后的“生長(zhǎng)課”教學(xué)中，學(xué)生就能夠更高效地學(xué)習(xí)新知，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“減負(fù)增效”的目標(biāo)。

【教學(xué)片段5】關(guān)聯(lián)“量”與“率”

生1：平均分得來(lái)的。

師：是的，把1 個(gè)月餅平均分成2 份，其中1 份就是半個(gè)，也就是幾個(gè)？

師：也有小朋友說(shuō)這1 份是月餅的一半，一半怎么表示呢？

（教師出示練習(xí)，如圖14、圖15所示。）

圖14

圖15

從“量”到“率”的過(guò)渡，一直是整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中的難點(diǎn)。生活中，將一個(gè)月餅平均分給2 個(gè)人，通常會(huì)說(shuō)每人得到“半個(gè)”或者是“月餅的一半”?！鞍雮€(gè)”對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)中“量”的含義，即“個(gè)”；而“一半”則對(duì)應(yīng)“率”的含義，即“月餅的”。教學(xué)從學(xué)生的生活出發(fā)，自然實(shí)現(xiàn)“量”“率”的銜接。

任務(wù)四：超越經(jīng)驗(yàn)——由“1”及多，助推“率”的生長(zhǎng)

學(xué)生是發(fā)展中的人，教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生的發(fā)展，要用發(fā)展的眼光看待學(xué)生。要想學(xué)生“跳起來(lái)摘桃子”，那么適當(dāng)?shù)耐卣咕捅夭豢缮?。如從“一個(gè)物體”延伸至“一些物體”，學(xué)生就能感知每一個(gè)“率”都有其對(duì)應(yīng)的“量”，“量”和“率”是相輔相成的。

【教學(xué)片段6】拓展延伸

師（出示圖16）：把2 個(gè)月餅平均分給2 個(gè)人，每人得到了1 個(gè)，那么這1 個(gè)是2 個(gè)月餅的幾分之幾？

圖16

師（出示圖17）：4 個(gè)月餅，平均分給2 個(gè)人，每人得到2個(gè)，這2個(gè)是4個(gè)的幾分之幾？

圖17

師：分?jǐn)?shù)不僅可以在分1 個(gè)月餅時(shí)用，在分2個(gè)、4個(gè)等多個(gè)月餅時(shí)也可以用。

師：回答以下幾個(gè)問(wèn)題。

此拓展環(huán)節(jié)中，由平均分1 個(gè)月餅回到平均分2 個(gè)、4 個(gè)月餅，與教學(xué)初環(huán)節(jié)相似卻更進(jìn)一步，讓學(xué)生從“1”走向“多”，建立起“一個(gè)整體”的概念，幫助學(xué)生打通理解“量”與“率”的節(jié)點(diǎn)。因此，在認(rèn)識(shí)“一個(gè)整體”的幾分之一時(shí)，表示“量”和“率”的分?jǐn)?shù)含義得以真正凸顯，學(xué)生也就能夠清晰感知分?jǐn)?shù)的兩層含義。

●反思：“量”“率”并進(jìn)也能“行”

“量”“率”并進(jìn)效果如何？筆者對(duì)試教的兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行了后測(cè)，問(wèn)題如圖18-1 所示，結(jié)果如圖18-2所示。

圖18-1 后測(cè)問(wèn)題

圖18-2 兩個(gè)班級(jí)的后測(cè)結(jié)果

后測(cè)結(jié)果顯示，三年級(jí)學(xué)生具備了辨析分?jǐn)?shù)“量”“率”雙重含義的能力，“量”“率”并進(jìn)是可行的。

“量”“率”并進(jìn)的整體教學(xué)思路，不僅能豐富分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)的維度，同時(shí)也解決了學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”中的認(rèn)知斷層問(wèn)題，學(xué)生在今后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)不再“望而卻步”，同時(shí)增強(qiáng)了學(xué)習(xí)自主性。綜上所述，“量”“率”并進(jìn)有需求，有基礎(chǔ)，也有方法?！傲俊薄奥省北疽惑w，無(wú)須先后行。

“權(quán)威的教材也要敢于動(dòng)刀。”這是成尚榮先生對(duì)新一輪基礎(chǔ)教育課程十年改革的概括和判斷，這樣堅(jiān)定回答的底氣來(lái)源于“以生為本”的教學(xué)理念。當(dāng)然，對(duì)分?jǐn)?shù)“量”“率”并進(jìn)的可行性進(jìn)行實(shí)踐嘗試，不能僅停留在“種子課”的實(shí)踐中，在后續(xù)的教學(xué)中也應(yīng)一以貫之。