周宗杰 周 鑫 濮偉宇

(1.山南市第二高級中學(xué),西藏 山南 856099;2.淮北市第一中學(xué),安徽 淮北 235000)

“解析法”與“幾何法”是解決解析幾何問題必不可少的重要數(shù)學(xué)方法,也是解決解析幾何問題的通性通法,如果學(xué)生能夠?qū)@兩種方法熟練掌握,那么對于大部分解析幾何問題都會迎刃而解.下面就結(jié)合2023年高考天津卷第18題對“解析法”與“幾何法”在解析幾何中的應(yīng)用進行分析,為我們的教學(xué)提供借鑒與參考,以期起到拋磚引玉的作用.

1 原題再現(xiàn)

(1)求橢圓方程及其離心率;

(2)已知點P是橢圓上一動點(不與端點重合),直線A2P交y軸于點Q,若△A1PQ的面積是△A2FP面積的二倍,求直線A2P的方程.

2 解法分析

對于解析幾何問題通?？梢詮摹敖馕觥焙汀皫缀巍眱蓚€角度進行分析.從解析法來處理問題,可以選擇“設(shè)點”為突破口,或者“設(shè)線”為突破口,下面就從“設(shè)點”和“設(shè)線”的角度,用解析法來處理該問題.

解法1解析法——“設(shè)點”.

解法1從設(shè)橢圓上動點P(x0,y0)的坐標(biāo)為入手點,直接翻譯題目所給信息S△A1PQ=2S△A2FP,同時結(jié)合三角形面積公式,獲得關(guān)于x0的方程,求得點P的坐標(biāo),最終求出直線A2P的方程.

解法2 解析法——“設(shè)線”.

設(shè)直線A2P的方程為y=k(x-2),令x=0,可得yQ=-2k,即點Q坐標(biāo)為Q(0,-2k).

(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.

結(jié)合S△A1PQ=2S△A2FP可知12|k|=|16k3-12k|,

解法2從設(shè)直線A2P的方程入手,由于該直線A2P與橢圓恒有一個交點A2(2,0),因此考慮聯(lián)立直線A2P與橢圓的方程,消去y整理成關(guān)于x的一元二次方程,則xA2=2必為該方程的一解,由此結(jié)合韋達(dá)定理可以求出點P的橫坐標(biāo)xP,進而結(jié)合三角形面積公式,直接翻譯S△A1PQ=2S△A2FP,獲得關(guān)于斜率k的方程,解得斜率,進而寫出直線A2P方程.

“解析幾何”問題本質(zhì)上仍然是“幾何”問題,“解析”只是解決“幾何”問題的方法,因此很多情況下我們不妨返璞歸真,從幾何的角度來分析問題,用“幾何法”來解決問題.

解法3幾何法.

即S△A2A1P=2S△A1PQ.

將△A1A2P與△A1QP看成以A2P和QP為底的三角形,則它們的高相同,結(jié)合S△A2A1P=2S△A1PQ,可知|A2P|=2|QP|.

解法3從幾何關(guān)系S△A1PQ=2S△A2FP出發(fā),并結(jié)合橢圓的簡單幾何性質(zhì)進行分析,獲得A2P與PQ的長度關(guān)系|A2P|=2|QP|,接下來通過分類討論來處理問題,獲得問題的解.

3 追根溯源

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求直線l的方程.

本題中的直線l恒過定點F(1,0),該點是橢圓C的焦點,不在橢圓上.因此如果將直線l與橢圓C聯(lián)立,消掉y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,該方程的兩個解均不易求出.如果采用引例解法1和解法2處理該題,運算量顯然比較大,而且不易解決.

由韋達(dá)定理可得

4 結(jié)束語

對比引例和本題的解法可以發(fā)現(xiàn),兩題的題干信息十分相似,在解決問題的方法上也有一定的可借鑒性,但是,由于細(xì)微的差別,導(dǎo)致同一種方法在解決這兩個問題時所面對的運算量是不同的,這就要求我們要善于開展數(shù)學(xué)變式教學(xué),組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)探究活動,關(guān)注問題處理的通性通法和不同問題的細(xì)微差別,提高學(xué)生的運算能力和運算素養(yǎng)[1].