王東海

(安徽省合肥市肥東縣城關(guān)中學(xué),安徽 合肥 231600)

第Ⅰ卷(選擇題)

一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.學(xué)校組織班級(jí)知識(shí)競(jìng)賽,某班的8名學(xué)生的成績(jī)(單位:分)分別是:68,63,77,76,82,88,92,93,則這8名學(xué)生成績(jī)的75%分位數(shù)是( ).

A.88分 B.89分 C.90分 D.92分

3.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=2,其中公差d≠0.若a5是a3和a8的等比中項(xiàng),則S18=( ).

A.398 B.388 C.189 D.199

4.已知α,β是兩個(gè)平面,m,n是兩條直線,則下列命題錯(cuò)誤的是( ).

A.如果α∥β,n?α,那么n∥β

B.如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n

C.如果m∥n,m⊥α,那么n⊥α

D.如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β

5.甲、乙、丙等七人相約到電影院看電影《長(zhǎng)津湖》,恰好買到了七張連號(hào)的電影票.若甲、乙兩人必須相鄰,且丙坐在七人的正中間,則不同的坐法的種數(shù)為( ).

A.240 B.192 C.96 D.48

6.已知點(diǎn)P是圓M:x2+y2-8x-6y+21=0上的動(dòng)點(diǎn),直線l:2x+3y-6=0與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)∠PAB最小時(shí),|PA|=( ).

圖1 第8題圖

二、多選題：本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)f(x)=sin 2x-2sin2x,給出下列結(jié)論,正確的是( ).

A.函數(shù)f(x)的最小正周期是π

10.已知z1,z2,z3∈C,且z3≠0,下列說法正確的是( ).

A.若z1z3=z2z3,則z1=z2

A.f(0)=0 B.f(x)為偶函數(shù)

第Ⅱ卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題,每小題5分,共15分.

13.在四面體P-ABC中,BP⊥PC,∠BAC=60°,若BC=2,則四面體P-ABC體積的最大值是____,它的外接球表面積的最小值為____.

四、解答題：本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

(1)求a,b的值;

(1)求考生甲至少正確完成2道題的概率;

(2)求考生乙能通過筆試進(jìn)入面試的概率;

(3)記所抽取的三道題中考生乙能正確完成的題數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.

17.(本小題15分)如圖2,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.

圖2 第17題圖

圖3 第17題解析圖

(1)證明:AB⊥A1C;

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.

(1)求C1,C2的方程;

19.(本小題17分)設(shè)m,n∈N*,已知由自然數(shù)組成的集合S={a1,a2,…,an}(a1

設(shè)d(ai)=xi1+xi2+…+xim(i=1,2,…,n),令d(S)是d(a1),d(a2),…d(an)中的最大值.

(2)若S={1,2,…,n},集合S1,S2,…,Sn中的元素個(gè)數(shù)均相同,若d(S)=3,求n的最小值;

(3)若m=7,S={1,2,…,7},集合S1,S2,…,S7中的元素個(gè)數(shù)均為3,且Si∩Sj≠?(1≤i

參考答案

1.C 2.C 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A

8.A 9.AB 10.ACD 11.ACD

由題意得:f′(1)=1-b=-1,f(1)=a+b=1,

解得a=-1,b=2.

列表如下:

表1 f(x)單調(diào)性

ξ 12 3P153515

17.(1)取AB中點(diǎn)O,連接OC,OA1,

因?yàn)镃A=CB,所以O(shè)C⊥AB.

因?yàn)锳B=A1A,∠BAA1=60°,

所以△BAA1是正三角形,所以O(shè)A1⊥AB.

因?yàn)镺C∩OA1=O,OC,OA1?平面OCA1,

所以AB⊥平面OCA1.

因?yàn)镃A1?平面OCA1,所以AB⊥A1C.

圖4 第17題解析圖

(3k2-1)x2+6kbx+3b2-3=0.

即x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=0.

故不存在直線滿足條件.

得(2m2+3)y2+4my-4=0.

=3,

(2)設(shè)ai∈S使d(ai)=d(S)=3,則d(ai)=xi1+xi2+…+xim≤m,所以m≥3.所以S={1,2,…,n}至少有3個(gè)元素個(gè)數(shù)相同的非空子集,

當(dāng)n=1時(shí),S={1},其非空子集只有自身,不符題意;

當(dāng)n=2時(shí),S={1,2},其非空子集有{1},{2},{1,2},不符題意;

當(dāng)n=3時(shí),S={1,2,3},其非空子集有{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},

當(dāng){S1,S2,S3}={{1},{2},{3}}時(shí),d(1)=d(2)=d(3)=1,不符題意;

當(dāng){S1,S2,S3}={{1,2},{2,3},{1,3}}時(shí),d(1)=d(2)=d(3)=2,不符題意;

所以d(S)的最小值為3.