李春林

(甘肅省天水市第九中學(xué),甘肅 天水 741020)

(河南、山西、江西、安徽、甘肅、青海、內(nèi)蒙古、黑龍江、吉林、寧夏、新疆、陜西)

第Ⅰ卷(選擇題)

一、選擇題：本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

A.[-1,+∞) B.R

C.(-3,+∞) D.(-∞,-5]∪[-1,+∞)

3.為了解某班學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況,連續(xù)進(jìn)行了六次考試,甲同學(xué)與乙同學(xué)的考試成績情況見表1,則以下敘述正確的是( ).

表1 甲同學(xué)與乙同學(xué)考試成績

A.甲同學(xué)成績的極差低于乙同學(xué)成績的極差

B.甲同學(xué)的平均成績高于乙同學(xué)的平均成績

C.甲同學(xué)成績的眾數(shù)為136,乙同學(xué)成績的中位數(shù)為122

D.甲同學(xué)成績的波動幅度低于乙同學(xué)成績的波動幅度

二、多選題：本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯(cuò)的得0分.

圖1 第9題圖

10.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,頂點(diǎn)為O,點(diǎn)M(x0,y0)在拋物線C上,若|MF|=3,則下列選項(xiàng)正確的是( ).

A.x0=2

B.以MF為直徑的圓與y軸相切

11.已知函數(shù)f(x)=x(ex+1),g(x)=(x+1)·lnx,則( ).

A.函數(shù)f(x)在R上無極值點(diǎn)

B.函數(shù)g(x)在(0,+∞)上存在極值點(diǎn)

C.若f(1)=e,則x=1為f(x)的極值點(diǎn)

D.若f(1)

第Ⅱ卷(非選擇題)

三、填空題：本題共4小題,每小題5分,共20分.

14.如圖2,三棱錐S-ABC中,∠SBA=∠SCA=90°,△ABC是斜邊AB=a的等腰直角三角形,則以下結(jié)論中:

圖2 第14題圖

①異面直線SB與AC所成的角為90°

②直線SB⊥平面ABC

③平面SBC⊥平面SAC

其中正確結(jié)論的序號是____.

15.設(shè)點(diǎn)P為直線2x+y-2=0上的點(diǎn),過點(diǎn)P作圓C:x2+y2+2x+2y-2=0的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,當(dāng)四邊形PACB的面積取得最小值時(shí),此時(shí)直線AB的方程為____.

四、解答題：本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊,且滿足a=2,b=3c.

(2)若sinB+sinC=1,求△ABC的周長.

18.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,Sn=an+1-1.

(1)求證:{an}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

19.近年來,國家鼓勵(lì)德智體美勞全面發(fā)展,舞蹈課是學(xué)生們熱愛的課程之一,某高中隨機(jī)調(diào)研了本校2023年參加高考的90位考生是否喜歡跳舞的情況,經(jīng)統(tǒng)計(jì),跳舞與性別情況見表2:(單位:人)

表2 跳舞與性別統(tǒng)計(jì)表

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)并依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析喜歡跳舞與性別是否有關(guān)聯(lián)?

(2)用樣本估計(jì)總體,用本次調(diào)研中樣本的頻率代替概率,從2023年本市考生中隨機(jī)抽取3人,設(shè)被抽取的3人中喜歡跳舞的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

α0.100.050.0250.0100.005xα2.7063.8415.0246.6357.879

圖3 第20題圖

(1)求點(diǎn)B到平面PAC的距離;

(2)設(shè)點(diǎn)E為線段PB的中點(diǎn),求二面角A-CE-B的正弦值.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若M,N是C上異于A的任意兩點(diǎn),且△AMN的垂心為H,試問:點(diǎn)H是否在定曲線上?若是,求出該定曲線的方程;若不是,請說明理由.

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-ax在(0,π)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

參考答案

2.A=(-∞,0)∪(0,+∞),B=(-3,+∞),所以A∪B=R.故選B.

3.對于選項(xiàng)A,甲同學(xué)成績的極差為136-104=32,乙同學(xué)成績的極差為132-116=16,所以甲同學(xué)成績的極差高于乙同學(xué)成績的極差,所以A錯(cuò)誤;

對于選項(xiàng)B,甲同學(xué)的平均成績?yōu)?/p>

乙同學(xué)的平均成績?yōu)?/p>

所以甲同學(xué)的平均成績低于乙同學(xué)的平均成績,所以B錯(cuò)誤;

對于選項(xiàng)D,可以觀察出甲同學(xué)成績的波動幅度高于乙同學(xué)成績的波動幅度,所以D錯(cuò)誤.故選C.

7.因?yàn)閟inαtanα=cosα-5sinα,

化簡并整理,得cos2α-sin2α=5sinαcosα.

又因?yàn)閏os2α-sin2α=cos2α,2sinαcosα=sin2α,

8.由題意得

又顯然SO⊥AC,可得SO=2.

圖4 第9題解析圖

所以SE+CE的最小值即為S1C.

10.依題意,拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.

對于A,由|MF|=x0+1=3,得x0=2,A正確;

圖5 第10題解析圖

圖6 第13題解析圖

11.對于A,f(x)定義域?yàn)镽,f′(x)=ex+1+xex=(x+1)ex+1,令m(x)=f′(x),則m′(x)=(x+2)ex.所以當(dāng)x∈(-∞,-2)時(shí),m′(x)<0;當(dāng)x∈(-2,+∞)時(shí),m′(x)>0.即f′(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞減,在(-2,+∞)上單調(diào)遞增.

所以g′(x)≥g′(1)=2>0.所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,無極值點(diǎn),B錯(cuò)誤;

對于D,若f(x1)=g(x2)=t(t>0),則

x1(ex1+1)=(x2+1)lnx2=t.

因?yàn)閒(0)=0,g(1)=0,t>0,由AB知:f(x),g(x)均為定義域上的增函數(shù),所以x1>0,x2>1.

由x1(ex1+1)=(x2+1)lnx2,得

x1(ex1+1)=(ex1+1)lnex1=(x2+1)lnx2.

所以x2=ex1,

令k=x1(ex1+1),則k>0.

所以當(dāng)k∈(0,e)時(shí),p′(k)>0;當(dāng)k∈(e,+∞)時(shí),p′(k)<0.所以p(k)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減.

所以h(x)≥h(1)=e-f(1).

故x=2為f(x)的極值點(diǎn),B正確;

若f(1)=e,則h(x)≥0,即f′(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,故x=1不是f(x)的極值點(diǎn),C錯(cuò)誤;

若f(1)0,即f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,D正確.故選ABD

14.依題意,SC⊥AC,BC⊥AC,而BC∩SC=C,BC,SC?平面SBC,則AC⊥平面SBC.

又SB?平面SBC,于是SB⊥AC,異面直線SB與AC所成的角為90°,①正確;

由∠SBA=90°,得SB⊥AB.又SB⊥AC,AB∩AC=A,AB,AC?平面ABC,則SB⊥平面ABC,②正確;

由AC⊥平面SBC,AC?平面SAC,得平面SBC⊥平面SAC,③正確;

圖7 第14題解析圖

所以正確結(jié)論的序號是①②③.

因?yàn)镾四邊形PACB=2S△PCA,AC⊥AP,

所以S四邊形PACB=|AC|·|AP|=2|AP|.

所以當(dāng)|CP|為圓心C到直線2x+y-2=0的距離時(shí),即直線CP與直線2x+y-2=0垂直時(shí),|AP|取得最小值.

所以以CP為直徑的圓的方程為

即直線AB方程為2x+y-1=0.

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(0,π)上恰有兩個(gè)零點(diǎn),

即b2+c2-bc=4.

(2)因?yàn)閎=3c,所以sinB=3sinC.

18.(1)因?yàn)閍1=1,Sn=an+1-1,

所以S1=a2-1,解得a2=2.

當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=an-1,

所以an=Sn-Sn-1=an+1-an.

①

②

19.(1)零假設(shè):H0:喜歡跳舞與性別無關(guān)聯(lián).

由題意,得

依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),可推斷H0不成立,即認(rèn)為喜歡跳舞與性別有關(guān)聯(lián).

X的可能取值為0,1,2,3.

所以X的分布列見表3:

表3 X的分布列

20.(1)因?yàn)镻A⊥平面ABC,又AB?平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥BC.

所以BC2+PC2=PB2,故BC⊥PC.

因?yàn)锽C⊥PC,BC⊥PA,PC∩PA=P,PC,PA?平面PCA,所以BC⊥平面PCA,則BC為點(diǎn)B到平面PAC的距離.

故點(diǎn)B到平面PAC的距離為2.

圖8 第20題解析圖

設(shè)平面ACE的法向量為m=(x1,y1,z1),

取y1=1,則z1=-1,m=(0,1,-1).

設(shè)平面BCE的法向量為n=(x2,y2,z2),

取x2=2,則z2=1,n=(2,0,1).

記二面角A-CE-B的大小為θ,則

21.(1)由題意,雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0,所以點(diǎn)A(1,0)到漸近線的距離為

解得a=b=1.

即C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y2=1.

(2)情形1:M,N中沒有一點(diǎn)為(-1,0),且直線MN的斜率存在,如圖9,

圖9 第21題解析圖

(1-k2)x2-2kmx-m2-1=0.

化簡,得x2-y2=1.

即點(diǎn)H在定曲線x2-y2=1上.

若MN斜率不存在,則M,N兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱,即x1=x2,y1=-y2,如圖10.

圖10 第21題解析圖

所以(x2-1)(x0-x1)-y1y2=0.

因?yàn)閤1≠1,所以x0=-1.

所以H(-1,0)在定曲x2-y2=1線上.

情形2:M,N中有一點(diǎn)即(-1,0),設(shè)H(x0,y0),不妨M(-1,0),設(shè)N(x1,y1),過點(diǎn)N作AM的垂線,則點(diǎn)H在該垂線上,如圖11.

圖11 第21題解析圖

綜上,曲線C的方程為x2-y2=1,點(diǎn)H總在曲線x2-y2=1上.

即4x+π2y-π2-4π=0.

令函數(shù)φ(x)=xcosx-sinx,則φ′(x)=-xsinx<0在(0,π)上恒成立.

則φ(x)在(0,π)上單調(diào)遞減.

故當(dāng)x∈(0,π)時(shí),φ(x)<φ(0)=0.

從而h′(x)<0在(0,π)上恒成立,則h(x)在(0,π)上單調(diào)遞減.

所以存在x∈(x0,π),使得h(x)=0.

又因?yàn)閔(x)在(0,π)上單調(diào)遞減,所以零點(diǎn)是唯一的,即g(x)在(0,π)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).