王道金

(湖北省廣水市第一高級(jí)中學(xué),湖北 廣水 432700)

空間角包括二面角、線面角、線線角,平面角是空間角的基礎(chǔ),文[1]和文[2]指出了常用的解決空間角問(wèn)題的幾何法(添加輔助線結(jié)合空間角的定義)和空間向量法(建立空間坐標(biāo)系).文[3]則提出了解決空間角問(wèn)題的幾何法與空間向量法(提出了方程思想),也提出了構(gòu)造法.筆者發(fā)現(xiàn),在特定環(huán)境下,空間角之間可以相互轉(zhuǎn)化,利用空間角度的變換可以簡(jiǎn)化空間角的作圖和計(jì)算.有幾個(gè)關(guān)于空間角關(guān)系的基本事實(shí),可以用來(lái)簡(jiǎn)化空間角的求解過(guò)程.下面以四個(gè)基本事實(shí)作為依據(jù),以角度變換的視角求解高考中的空間角問(wèn)題.

1 對(duì)有公共棱的二面角實(shí)施和差變換

變換依據(jù)如圖1,平面ABEF在二面角D-AB-M的兩個(gè)半平面ABCD和ABNM之間,二面角D-AB-M大小為θ,二面角D-AB-E大小為α,二面角E-AB-M大小為β,則有θ=α+β.

圖1 二面角和差變換示意圖

問(wèn)題1 (2023年全國(guó)Ⅱ卷20)如圖2,三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E為BC中點(diǎn),

(1)證明:BC⊥AD;

又DE⊥BC,所以BC⊥平面ADE.所以BC⊥AD.

(2)如圖3,二面角D-AB-F的大小設(shè)為θ,可以看成二面角D-AB-C和二面角F-AB-C組成的.

圖3 問(wèn)題1解答示意圖

二面角F-AB-C為直二面角,作EM⊥AB于點(diǎn)M,連接DM,則由DE⊥平面ABC得到∠DME為二面角D-AB-C的平面角.

圖4 問(wèn)題2原題圖

(1)證明:DE⊥平面ACD;

(2)求二面角B-AD-E的大小.

圖6 問(wèn)題3原題圖

分析三個(gè)二面角D1-AC-D,D1-AC-B1,B1-AC-B之和為π,可以先求二面角D1-AC-D與二面角B1-AC-B.

設(shè)二面角D1-AC-D的大小為α,設(shè)二面角B1-AC-B的大小為β,可以證明AC⊥AB,AC⊥平面ABB1,∠B1AB=β,tanβ=2.如圖7,設(shè)H為AC中點(diǎn),連接DH,D1H,則有DH⊥AC.

圖7 問(wèn)題3解答示意圖

2 對(duì)二面角實(shí)施降維變換

變換依據(jù)如圖8,OP⊥平面ABNM,OQ⊥平面ABCD,則∠POQ與二面角M-AB-D的平面角相等或者互補(bǔ).

圖8 二面角降維變換示意圖

圖9 問(wèn)題4原題圖

問(wèn)題5 (2016年全國(guó)Ⅰ卷理18)如圖11,在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中,面ABEF為正方形,AF=2FD,∠AFD= 90°,且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°.求二面角E-BC-A的余弦值.

圖11 問(wèn)題5原題圖

分析如圖12,考慮尋找平面ABCD與平面BCE的垂線,作CM⊥EF,垂足為點(diǎn)M,作MN⊥AB,垂足為點(diǎn)N,連接CN,則AB⊥平面CMN.作MP⊥CN于點(diǎn)P,則MP⊥平面ABC.作MH⊥CE于點(diǎn)H,則由平面BCE⊥平面EFDC得到MH⊥平面BCE[3].

3 對(duì)二面角的半平面實(shí)施位置變換

變換依據(jù)如圖13,平面ABFE∥平面MNCD,則二面角D-AB-E與二面角A-CD-M的大小互補(bǔ).

問(wèn)題6 (2014年全國(guó)Ⅰ卷19)如圖14,三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C.若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.

圖14 問(wèn)題6原題圖

4 對(duì)線面角實(shí)施降維變換

圖16 線面角降維變換示意圖

圖17 問(wèn)題7原題圖

分析設(shè)法找到平面PAM的垂線,先求此垂線與PC所成的角,如圖18,取PA的中點(diǎn)K,OK∥PC,設(shè)I為AK的中點(diǎn),則OI⊥AK.設(shè)AM與BO交于點(diǎn)N,由BO⊥AC,BO⊥平面PAC得到BO⊥AK.

所以AK⊥平面INO.

問(wèn)題8 (2021年全國(guó)甲卷19)如圖19,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點(diǎn),D為棱A1B1上的點(diǎn),BF⊥A1B1.當(dāng)B1D為何值時(shí),面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小?

圖19 問(wèn)題8原題圖

分析因?yàn)锳B⊥平面BCC1B1,要使面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小,需要AB與平面DEF所成角最大.EF為定直線,AB與平面DEF所成角最大值為AB與EF所成角,EF∥AC1,所以需要平面AC1B與平面DEF垂直.

又平面AC1B與直線B1C垂直,所以需要B1C∥平面DEF,如圖20.

5 結(jié)束語(yǔ)

從上面的求解過(guò)程可以看出,角度變換方法可以直接抓住幾何本質(zhì),以較小的運(yùn)算量解決空間角度問(wèn)題,在教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)加以應(yīng)用,這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力,提升學(xué)生的基本學(xué)科素養(yǎng)方面大有益處,值得研究.