楊娥

【摘要】對(duì)稱(chēng)思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，若能巧妙運(yùn)用其對(duì)稱(chēng)性解題，便能化繁為簡(jiǎn)，迅速求解.本文以幾何中形的對(duì)稱(chēng)和代數(shù)中量的對(duì)稱(chēng)為例，為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供新的思路和方向.教師應(yīng)強(qiáng)化對(duì)稱(chēng)美解題的思想方法，提高學(xué)生的解題能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；對(duì)稱(chēng)；解題技巧

對(duì)稱(chēng)思想不僅是數(shù)學(xué)體系七大數(shù)學(xué)思想中特殊與一般思想的具體應(yīng)用，還具有很強(qiáng)的審美價(jià)值.這種形式美一則可以提升學(xué)生審美水平，豐富學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感體驗(yàn)，二則可以啟發(fā)學(xué)生組織數(shù)學(xué)化信息，從而易于發(fā)現(xiàn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路［1］.本文從對(duì)稱(chēng)美的視角出發(fā)，粗略探討其在解題中的運(yùn)用.

1? 幾何圖形中的對(duì)稱(chēng)美

1.1? 巧妙利用中心對(duì)稱(chēng)

例1? 以下（如圖1所示）擺放著五個(gè)半徑相等的圓，下面一排最左邊圓的圓心是點(diǎn)O，如何作一條過(guò)點(diǎn)O的直線，將五個(gè)圓的面積平均分成兩部分？

圖1

圖2

解析? 方法1? 圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，做這道題時(shí)要考慮它的對(duì)稱(chēng)特點(diǎn).可以在右上角補(bǔ)一個(gè)圓心為P的同樣大小的圓，六個(gè)圓就構(gòu)成了一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)的圖形，如圖2所示.連接直線OP，就將這個(gè)圖形分成了同樣大小的兩部分.

方法2? 如果不另外補(bǔ)充圓，只在原有圖形的基礎(chǔ)上考慮，可以嘗試在本來(lái)的圖形中找到對(duì)稱(chēng)點(diǎn).左邊的圓形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，解題的關(guān)鍵就是找到右邊四個(gè)圓形的對(duì)稱(chēng)中心：沿著四個(gè)圓相切的點(diǎn)，作兩條相交的線，交點(diǎn)為P，連接OP即可達(dá)到題目要求如圖3所示.

圖3

圖4

1.2? 掌握對(duì)稱(chēng)思想方法

例2? “今有圓材，埋在壁中，不知其大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？［2］”這是《九章算術(shù)》中的問(wèn)題，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可表述為：有一個(gè)直徑為CD的圓，CD垂直弦AB于點(diǎn)E.已知CE=1寸，AB=10寸，直徑CD的長(zhǎng)是多少？

解析? “圓材埋璧”是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題.本題綜合考查了垂徑定理和勾股定理的性質(zhì)和求法.因?yàn)閳A是軸對(duì)稱(chēng)圖形，教師可以指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)垂徑定理來(lái)證明，解題中讓學(xué)生體會(huì)圓的對(duì)稱(chēng)性質(zhì).根據(jù)垂徑定理可知AE的長(zhǎng)度.在Rt△AOE中，運(yùn)用勾股定理可將圓的半徑求出，進(jìn)而可求出直徑CD的長(zhǎng).

因?yàn)橄褹B⊥CD于點(diǎn)E，CE=1，AB=10，

所以AE=5，OE=OA－1，

在Rt△AOE中，OA2=AE2+OE2，

即OA2=（OA－1）2+52，

解得OA=13，所以直徑CD=2OA=26寸.

解題的關(guān)鍵步驟就是關(guān)注問(wèn)題中所體現(xiàn)出來(lái)的軸對(duì)稱(chēng)，運(yùn)用對(duì)稱(chēng)思想來(lái)審題，尋找其中的對(duì)稱(chēng)性，抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)屬性，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，便可得到較為巧妙的解題思想.

2? 數(shù)式結(jié)構(gòu)中的對(duì)稱(chēng)美

2.1? 以數(shù)列為載體

例3? 由數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成所有可能沒(méi)有重復(fù)的四位數(shù)，它們的和是多少？

解析? 本題容易讓人產(chǎn)生用列舉法解題的念頭，但是由于合乎要求的四位數(shù)多達(dá)（9×8×7×6）=3024個(gè)，顯然這種想法是行不通的.這列數(shù)從小到大依次是：1234，1235，1236，……1239，1243，……9874，9875，9876.觀察容易發(fā)現(xiàn)，此列數(shù)（非等差數(shù)列）具有一定的對(duì)稱(chēng)性：1234+9876=1235+9875=……=1243+9876=11110.顯然，所有四位數(shù)的和就可以輕易求出來(lái)，即（3024÷2）×11110=16798320.

2.2? 以函數(shù)為載體

例4? 若拋物線M：y=x2+（3m－1）x－5與拋物線M′：y=x2－6x－n+1關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，則m，n的值分別為（? ）

（A）m=113，n=－2.? （B）m=－13，n=－2.

（C）m=13，n=－2.? ?（D）m=1，n=－2.

解析? 本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.首先可分別求得拋物線M及M′的對(duì)稱(chēng)軸，再根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，即可求得m的值；根據(jù)拋物線M與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得交點(diǎn)關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)該點(diǎn)在拋物線M′上，據(jù)此即可求解.

由拋物線M：y=x2+（3m－1）x－5可知，拋物線M的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-3m－12，交軸于點(diǎn)（0，－5），

拋物線M′：y=x2－6x－n+1的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-－62=3，

因?yàn)閽佄锞€M：y=x2+（3m－1）x－5與拋物線M′：y=x2－6x－n+1關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，

所以12-3m－12+3=1，

解得m=1，

所以點(diǎn)（0，－5）關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)（2，－5）

在拋物線M′：y=x2－6x－n+1上，

所以把點(diǎn)（2，－5）代入得－5=4－12-n+1，

解得n=-2，故（D）正確.

2.3? 以應(yīng)用為載體

例5? 剪紙藝術(shù)是最古老的中國(guó)民間藝術(shù)之一，很多剪紙作品體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)美，如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對(duì)稱(chēng)圖形，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，如果圖中點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2m，－n），其關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)F的坐標(biāo)（3－n，－m+1），則（m－n）2022的值為（? ）

圖5

（A）32022.? ?（B）-1.? ?（C）1.? ?（D）0.

解析? 本題考查坐標(biāo)與圖形變化——軸對(duì)稱(chēng)，解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì).關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，由此求出m和n，再代入求值.

因?yàn)镋（2m，－n）與F（3－n，－m+1）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

所以2m=－（3－n），－n=－m+1，

解得m=－4，n=-5.

所以（m－n）2022=－4－（－5）2022=12022=1.

故選（C）.

3? 結(jié)語(yǔ)

對(duì)稱(chēng)美是美學(xué)的一個(gè)基本概念，是數(shù)學(xué)美最重要的特征.教師在引導(dǎo)學(xué)生欣賞對(duì)稱(chēng)美的同時(shí)，也要使學(xué)生有意識(shí)地運(yùn)用對(duì)稱(chēng)思想去思考問(wèn)題，幫助學(xué)生在解題時(shí)找到簡(jiǎn)潔的解法，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解.

參考文獻(xiàn)：

［1］張昆.數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計(jì)的創(chuàng)新實(shí)踐研究——基于“美學(xué)”的視點(diǎn)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，24（05）：41-45.

［2］肖燦，朱漢民.勾股新證——岳麓書(shū)院藏秦簡(jiǎn)《數(shù)》的相關(guān)研究［J］.自然科學(xué)史研究，2010，29（03）：313-318.