謝應(yīng)梅

【摘要】解一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是方程里最重要的代數(shù)運(yùn)算，也是學(xué)好后續(xù)內(nèi)容的必備知識(shí)．對(duì)于剛接觸一元二次方程的學(xué)生來(lái)說(shuō)，掌握一元二次方程的四種解法及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的基礎(chǔ)，但要提高到“運(yùn)用”層次并形成解題能力光有這些還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠．我們還要精選典型例題，加以分析訓(xùn)練，完成知識(shí)到素養(yǎng)的遷移．本文選擇若干例題進(jìn)行分類(lèi)解析，以培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)、抽象能力、運(yùn)算能力、數(shù)據(jù)觀念、應(yīng)用意識(shí)等核心素養(yǎng)．

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；一元二次方程；解題技巧

1? 直接開(kāi)平方法

將方程轉(zhuǎn)化為x2＝p的形式，當(dāng)p＞0時(shí)，x1＝p，x2＝-p；當(dāng)p＝0時(shí)，x1＝x2＝0；當(dāng)p＜0時(shí)，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

例1? 數(shù)學(xué)課上馬小虎同學(xué)解方程（x-4）2＝（5-2x）2時(shí)，直接得出x-4= 5-2x，老師指出來(lái)，說(shuō)漏掉了一個(gè)方程，這個(gè)方程應(yīng)該是．

解析? 開(kāi)平方，得x-4＝±（5-2x），

所以x-4=5-2x或x-4＝-（5-2x），

所以漏掉的方程為x-4＝-（5-2x）．

點(diǎn)評(píng)? 本題根據(jù)學(xué)生平時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤設(shè)置問(wèn)題，重點(diǎn)考查學(xué)生的糾錯(cuò)能力．雖然沒(méi)有直接解一元二次方程，但突出了直接開(kāi)方法的關(guān)鍵步驟，屬創(chuàng)新試題．

2? 配方法

用配方法解一元二次方程時(shí)，要知道使用配方法的方程的特征：二次項(xiàng)的系數(shù)化為1，一次項(xiàng)的系數(shù)不變，兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．

例2? 若A＝x2-x+（3－k2），無(wú)論x取何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式A的值都不是負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是．

解析? 因?yàn)锳＝x2-x+（3－k2）

＝x2-x+14－14+（3－k2）

＝（x－12）2－14+（3－k2），

若x取任何實(shí)數(shù)，A的值都不是負(fù)數(shù)，

所以－14+（3－k2）≥0，

解得：k≤112．

點(diǎn)評(píng)? 此題同樣考查學(xué)生對(duì)配方法的靈活運(yùn)用，涉及配方思想、完全平方式、建立不等式模型并解不等式等眾多知識(shí)與方法，突出對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)部知識(shí)的綜合與聯(lián)系．

3? 公式法

當(dāng)Δ≤0時(shí)，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的實(shí)數(shù)根為x＝－b±b2－4ac2a．

例3? 已知關(guān)于x的一元二次方程（x-3）.（x-2）-p2=0，下列結(jié)論：

①方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

②若兩個(gè)根為x1，x2，且x1＞x2，則x1＞3，x2＜3；

③若兩個(gè)根為x1，x2，則（x1-2）（x2-2）=（x1-3）（x2-3）；

④若x＝5+p2+12（p為常數(shù)），則代數(shù)式（x-3）（x-2）的值為一個(gè)完全平方數(shù)．

其中正確的結(jié)論是 ．

解析? 由（x-3）（x-2）-p2＝0得x2-5x+6-p2＝0，

①Δ＝25-4×（6-p2）＝1+4p2＞0，

所以（x-3）（x-2）-p2＝0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故①正確；

②設(shè)p＝0，關(guān)于x的一元二次方程為（x-3）（x-2）＝0，

若兩個(gè)根為x1，x2，且x1＞x2，

則x1＝3，x2＝2，

這與x1＞3不符合，故②不正確；

③若x2-5x+6-p2＝0的兩個(gè)根為x1，x2，

則x1+x2＝5，x1·x2＝6-p2，

則（x1-2）（x2-2）＝x1·x2-2（x1+x2）+4＝6-p2-2×5+4＝-p2，

（x1-3）（x2-3）＝x1·x2-3（x1+x2）+9＝6-p2-3×5+9＝-p2，

所以（x1-2）（x2-2）＝（x1-3）（x2-3），

故③正確；

④因?yàn)閤＝5+p2+12（p為常數(shù)），

所以（x-3）（x-2）＝x2-5x+6

＝（x－52）2－14

＝（5+p2+12－52）2－14

＝p24

＝（p2）2，

當(dāng)p為奇數(shù)時(shí)，p2不是整數(shù)，此時(shí)（x-3）（x-2）不是完全平方數(shù)，故④不正確．

故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)? 本例題源于課本，是一道課本改編題，還涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，如根的判別式、乘法公式、配方法、韋達(dá)定理等，涉及舉反例、兩邊推證等解題策略，有較大難度．

4? 因式分解法

將方程化成一邊為0，另一邊為一個(gè)多項(xiàng)式的形式，再運(yùn)用因式分解法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．

例4? 我們給“倍根方程”的定義是：若ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則此方程為“倍根方程”．例如，x2－6x+8=0就是倍根方程．

（1）若一元二次方程x2-3 x＋c＝0是“倍根方程”，則c=．

（2）判斷方程x2－x－2=0是不是倍根方程？并說(shuō)明理由．

解析? （1）設(shè)方程x2-3 x＋c ＝0的兩根為m，

分別代入原方程得：

m2－3m ＋c＝0，4m2－6m ＋c＝0，

兩式相減，解得m＝1或0（0舍去），所以c＝2．

（2）因?yàn)閤2－x－2=0，

因式分解得（x+1）（x－2）=0 ，

解得x1＝－1，x2＝2，

所以x2x1=2－1=－2 ，

所以方程x2－x－2=0不是倍根方程；

點(diǎn)評(píng)? 本題是典型的新定義問(wèn)題，讀懂新定義，運(yùn)用新定義，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為我們熟悉的問(wèn)題是解題的根本，要注意分類(lèi)討論求代數(shù)式的值．

5? 結(jié)語(yǔ)

解題教學(xué)是課堂教學(xué)的重要內(nèi)容，如何發(fā)揮題目的作用是課堂成敗的關(guān)鍵．因此，精選典型好題，通過(guò)“做”題的過(guò)程，建立對(duì)某一個(gè)主題的系統(tǒng)學(xué)習(xí)，高屋建瓴地為學(xué)生建立知識(shí)框架，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)、建立數(shù)學(xué)模型的意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和模型思想，提高學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力.圍繞具有一定批判性的學(xué)科主題核心知識(shí)，積極參與，完成知識(shí)構(gòu)建，回歸學(xué)科本質(zhì)內(nèi)容，體驗(yàn)成功并獲得發(fā)展的有意義學(xué)習(xí)過(guò)程，獲得適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展的必備品格和關(guān)鍵能力.