孟祥云

【摘要】等腰三角形是初中幾何問(wèn)題中的一個(gè)重要三角形之一.解決等腰三角形問(wèn)題有兩大思路：一是證明三角形的兩個(gè)腰相等，二是證明三角形中的兩個(gè)內(nèi)角相等.本文介紹一道等腰三角形背景下的判斷形狀問(wèn)題的幾種解法，以供讀者參考.

【關(guān)鍵詞】等腰三角形；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

對(duì)于等腰三角形背景下的判斷形狀問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)，需要判斷的三角形的形狀都是等腰三角形，也有可能是特殊的等腰三角形如等腰直角三角形、等邊三角形等.在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要抓住等腰三角形問(wèn)題的兩大思路，尋找相同的角或者邊，即可求解.以下是一道典型例題的四種解法.

題目 ??如圖1所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是線(xiàn)段CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PD，點(diǎn)M，N分別為BC，AP的中點(diǎn)，連接MN交PD于點(diǎn)Q，判斷△QPM的形狀并加以證明.

圖1

問(wèn)題分析? 對(duì)于此類(lèi)判斷形狀的問(wèn)題，在解題前可以先觀察題目所給的圖形大致判斷形狀，此題不難看出△QPM是等腰三角形.之后，以此結(jié)論為出發(fā)點(diǎn)，理清證明思路，在此過(guò)程中可充分利用全等或者相似三角形來(lái)得到角或者邊相等的結(jié)論.

解法1? 如圖2所示，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE=BP，連接AE.

因?yàn)镻B=CE，

所以PB+BC=CE+BC，即CP=BE.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，

所以AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°.

在△DCP和△ABE中，DC=AB，

∠DCP=∠ABE，CP=BE，

所以△DCP≌△ABE，故∠1=∠E.

因?yàn)辄c(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，

所以MB=MC，MB+BP=MC+CE，

即MP=ME，

所以M為PE的中點(diǎn).

因?yàn)镹是AP的中點(diǎn)，

所以NM∥AE，

所以∠2=∠E，所以∠1=∠2，QP=QM，

所以△QPM是等腰三角形.

解法2? 如圖3所示，延長(zhǎng)MN交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.

過(guò)點(diǎn)M作MF⊥AD于點(diǎn)F，則∠AFM=90°.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，

則∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，

所以四邊形ABMF，四邊形FMCD均是矩形，

所以AB=FM=DC，AF=BM，F(xiàn)D=MC.

因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別為BC，AP的中點(diǎn)，

所以MB=MC，AN=PN，AF=MC.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，

所以AD∥BC.

所以∠E=∠NMP，

∠EAN=∠MPN，

所以△AEN≌△PMN，

則AE=PM，

所以AE+AF=PM+MC，

即EF=PC，

所以tan∠E=FMEF，tan∠DPC=DCPC，

所以∠E=∠DPC=∠NMP，

則QP=QM，

所以△QPM是等腰三角形.

解法3? 如圖4所示，過(guò)點(diǎn)N作NH⊥PM于點(diǎn)H，

則∠NHM=90°.

因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別為BC，AP的中點(diǎn)，

所以MB=12BC，PN=12PA.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，

所以∠ABC=∠BCD=90°，AB=CD.

因?yàn)椤螻HM=∠ABC=90°，

所以NH∥AB，

則NHAB=PNPA=PHPB=12，

所以NH=12AB=12CD，BH=12PB，

HM=BH+MB=12PB+12BC=12PC.

在Rt△NHM中，tan∠QMP=NHHM=CDPC.

在Rt△PCD中，tan∠QPM=CDPC，

所以∠QMP=∠QPM，QP=QM，所以△QPM是等腰三角形.

解法4? 如圖5所示，取AD的中點(diǎn)E，連接NE，NB，

則AE=12AD.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，

所以∠ABC=∠BAD=90°，

AD∥BC，AD=BC，

則∠ABP=90°，∠ADP=∠DPC.

因?yàn)辄c(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，

所以BM=12BC.

因?yàn)锳D=BC，

所以AE=BM.

因?yàn)辄c(diǎn)N，E分別為AP，AD的中點(diǎn)，

所以NE∥PD.

因?yàn)樵赗t△ABP中，點(diǎn)N為AP的中點(diǎn)，

所以NB=12AP=NP=NA，

則∠NAB=∠NBA，∠NAE=∠NBM.

在△NAE和△NBM中，

NA=NB，∠NAE=∠NBM，AE=BM，

所以△NAE≌△NBM，

則∠AEN=∠BMN.

又因?yàn)镹E∥PD，

所以∠AEN=∠ADP=∠DPC，

則∠BMN=∠DPC，

所以QP=QM，

故△QPM是等腰三角形.

結(jié)語(yǔ)

證明等腰三角形，除了常用的“等邊對(duì)等角”，還可以使用相似或者全等三角形，計(jì)算兩角的三角函數(shù)值等結(jié)論.需要注意的是，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題種比較復(fù)雜的情況，一般不會(huì)給出直接的條件，有時(shí)需要學(xué)生能夠靈活構(gòu)造出全等三角形，或者通過(guò)延長(zhǎng)或者旋轉(zhuǎn)的方法來(lái)得到所需條件.