朱長梅

【摘要】相似三角形是初中數(shù)學(xué)十分常見的一類問題，也是必須熟悉和掌握的數(shù)學(xué)內(nèi)容.對相似三角形問題的圖形進(jìn)行分析并歸類，大致可分為A字模型、旋轉(zhuǎn)模型、8字模型等，學(xué)生掌握這些常見模型，能夠加強(qiáng)對相似三角形的理解，也能在一定程度上提高解題的準(zhǔn)確度.本文主要結(jié)合例題分析不同模型對應(yīng)的圖形特點(diǎn)和證明三角形相似的思路，幫助學(xué)生深刻理解，提高得分率.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；相似三角形；解題技巧

1? 旋轉(zhuǎn)相似模型

旋轉(zhuǎn)相似模型具體是指將一個(gè)三角形繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并放大或縮小，得到對應(yīng)圖形，所得到的三角形被稱為旋轉(zhuǎn)相似三角形，且原三角形與旋轉(zhuǎn)得到的三角形相似.根據(jù)這一模型特點(diǎn)，可以解答一類旋轉(zhuǎn)相關(guān)的相似三角形問題，具體解題思路如下所示.

例1? 如圖1所示，已知正方形DEFG的頂點(diǎn)F在正方形ABCD的一邊AD的延長線上，連接AG、CE交于點(diǎn)H，若AB=3，DE=2，則CH的長為.

分析? 首先該題圖形屬于旋轉(zhuǎn)相似模型，唯一不同是旋轉(zhuǎn)的圖形是正方形.需要找出相似的一組三角形并判別，根據(jù)相似邊長比得到CH的長，即可對問題做出解答.

解析? 如圖2所示，連接EG，與DF交于點(diǎn)N，

設(shè)CD和AH交于點(diǎn)M，

所以∠GNA=90°，

DN=FN=EN=GN，

所以△ANG∽△ADM，

所以DMNG=ADAN，

因?yàn)镈E=2，

所以DF=EG=2，DN=NG=1，

因?yàn)锳D=AB=3，

所以DM1=33+1，

解得DM=34，

所以MC=94，

AM=AD2+DM2=3174，

因?yàn)椤螦DM+∠MDG=∠EDG+∠CDG，

所以∠ADG=∠EDC，

在△ADG和△CDE中，AD=CD∠ADG=∠CDEDG=DE，

所以△ADG≌△CDESAS，

所以∠DAG=∠DCE，

因?yàn)椤螦MD=∠CMH，

所以∠ADM=∠CMH=90°，

所以△ADM∽△CHM，

所以ADCH=AMCM，即3CH=317494，

解得CH=91717.

2? 母子相似模型

母子相似模型具體是指兩個(gè)相似三角形具有一條公共邊和一個(gè)公共角的圖形，圖形特點(diǎn)主要是兩三角形互相依靠，是十分常見的一類相似模型.掌握該模型有助于學(xué)生靈活解題，具體解題思路為：①根據(jù)已知條件和圖形特點(diǎn)，找到相同比的一組三角形邊長，②根據(jù)相似三角形判定依據(jù)，找到相似三角形，解答問題.

例2? 如圖3，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB邊運(yùn)動，速度為2m/s，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動，速度為4m/s，如果P、Q兩動點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動，何時(shí)△QBP與△ABC相似？

分析? 該題圖形為母子相似模型，解題時(shí)需要從結(jié)論出發(fā)找到符合題意的條件，即相似三角形的邊長比，根據(jù)判別三角形的定理列出相關(guān)等式，解相關(guān)方程組即可求出具體答案.

解析? 設(shè)經(jīng)過ts時(shí)，△QBP與△ABC相似，由題意可得AP=2t，

BP=8－2t，BQ=4t，

因?yàn)椤螾BQ=∠ABC，

當(dāng)BPAB=BQBC時(shí)，△BPQ∽△BAC，

即8－2t8=4t16，

解得t=2s，

當(dāng)BPBC=BQBA時(shí)，△BPQ∽△BCA，

即8－2t16=4t8，解得t=0.8s，

所以經(jīng)過2秒或經(jīng)過0.8秒時(shí)，△QBP與△ABC相似.

3? 8字相似模型

8字相似模型具體是指圖形交叉特點(diǎn)形似“8”字，且通常認(rèn)為對頂角所對應(yīng)的一對三角形相似.判別8字相似模型中的相似三角形，需要具備平行邊，即對頂角所對的邊平行，即可找到一組相似的三角形.具體解題思路和特點(diǎn)如下例題所示.

例3? 如圖4，在平行四邊形ABCD中，E是邊長AD的中點(diǎn)，連接AC、BE交于點(diǎn)F，若△AEF面積為2，則△ABC的面積為（? ）

（A）8.? （B）10.? （C）12.? （D）14.

分析? 首先要找出△AEF和△ABC之間的聯(lián)系，△AEF和△ABC圖形與“8”字模型十分相似，故可按照8字相似模型解題.根據(jù)相似三角形判別定理判斷相似，其次根據(jù)邊長比得到對應(yīng)面積比，即可得知具體面積值.

解析? 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，

所以AD∥BC，AD=BC，

因?yàn)辄c(diǎn)E是邊長AD的中點(diǎn)，

所以BC=2AE，

因?yàn)锳E∥BC，

所以∠EAC=∠BCA，

因?yàn)椤螮FA=∠BFC，

所以△AEF∽△CBF，

如圖5所示，過點(diǎn)F做FH⊥AD于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥BC于點(diǎn)G，

則EFBF=AFCF=AEBC=HFFG=12，

所以S△AEFS△ABC=12AE·FH12BC·HG=12BC·FHBC·3HG=16，

因?yàn)镾△AEF=2，

所以S△ABC=6S△AEF=12.

4? 結(jié)語

靈活應(yīng)用并判別相似三角形模型，是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中需要掌握的內(nèi)容.上述例題分別對不同相似模型做出分析和應(yīng)用，各種模型都有各自的圖形特點(diǎn)，在解題中應(yīng)引起學(xué)生的重視.掌握基礎(chǔ)知識和判別三角形相似的定理，是解答相似三角形的基礎(chǔ)，也是學(xué)生必須掌握的內(nèi)容.

參考文獻(xiàn)：

［1］江田.相似三角形中的探索型問題例析［J］.語數(shù)外學(xué)習(xí)（初中版），2020（04）：24-25.

［2］陸志才.相似三角形探索題例析［J］.中學(xué)生數(shù)理化（初中版），2006（Z1）：26-29.