廣東省佛山市南海區(qū)南海中學(xué)(528200) 黃志斌 周鴻高

1 試題呈現(xiàn)

題目(2023 年高考全國Ⅰ卷第21 題)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下: 若命中則此人繼續(xù)投籃,若未命中則換為對(duì)方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1 次投籃的人選,第1 次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2 次投籃的人是乙的概率;

(2)求第i 次投籃的人是甲的概率;

(3)已知:若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,···,n,則記前n 次(即從第1 次到n 次投籃)中甲投籃的次數(shù)為Y,求E(Y).

2 命題思想分析

《中國高考評(píng)價(jià)體系》闡述了高考的三大核心功能,即“立德樹人,服務(wù)選才,引導(dǎo)教學(xué)”,也是對(duì)“為什么考”[2]問題的回答.該試題作為壓軸題之一放在第21 題位置,其知識(shí)內(nèi)容、考查方式、難度設(shè)計(jì)等所蘊(yùn)含的命題思想在育人價(jià)值、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)這幾個(gè)方面都起到一定的指導(dǎo)作用.

該試題第(1)問從難度上來說比較簡單,屬于基礎(chǔ)題,直接考查全概率公式的知識(shí).這一問絕大多數(shù)考生都能做,但能拿到滿分的同學(xué)不夠多,部分考生在概率語言表述的嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性上表現(xiàn)欠缺,還有的考生全概率公式記錯(cuò),基礎(chǔ)不牢,甚至簡單的計(jì)算出錯(cuò),沒拿到滿分的考生中大多在這里丟了分.從學(xué)生的作答情況來看,第一問對(duì)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的科學(xué)態(tài)度和平時(shí)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣比以前要求更高.

《中國高考評(píng)價(jià)體系》明確指出,高考要立足于服務(wù)國家、服務(wù)高校選才這一基點(diǎn),高考要為國家和高校選拔出符合要求的新生[2].該試題第(2)問是在第(1)問的基礎(chǔ)上深化,第(1)問是一種特殊的具體情境,而第(2)問就把研究的問題一般化,答對(duì)的考生比第(1)問少得多,第(3)問繼續(xù)拔高,難度較大,能得分的更少.三個(gè)問題難度依次增大,具有明顯的梯度和較好的區(qū)分度,對(duì)不同基礎(chǔ)不同層次不同類別的考生能夠進(jìn)行合理分流,促進(jìn)人才合理配置,有利于國家和社會(huì)及高校選拔人才.

高考的社會(huì)政治影響比較大,客觀上對(duì)高中教學(xué)起到重要的引導(dǎo)作用,對(duì)地方教育的發(fā)展、評(píng)價(jià)、教育資源配置和對(duì)考生未來的人生發(fā)展影響重大[2].因此,高考試題的設(shè)計(jì)要能夠起到引導(dǎo)教學(xué)的作用.該試題根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容要求命制,源于課本又高于課本,出自教材的課后習(xí)題,第(1)問直接考查全概率基本的數(shù)學(xué)概念和知識(shí)原理,沒有大量文字和復(fù)雜的情景,體現(xiàn)數(shù)學(xué)簡潔性的特點(diǎn);第(2)問與數(shù)列知識(shí)結(jié)合,體現(xiàn)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想和解決問題的通性通法;第(3)問是對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用和創(chuàng)新方面等關(guān)鍵能力的考查.這有利于引導(dǎo)基礎(chǔ)教育一線教師重視教材,理順教考銜接,實(shí)現(xiàn)以考促教、以考促學(xué),注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)原理和解決問題通性通法的教學(xué),重視課本及課本資源的研究和挖掘,不搞偏怪的東西,避免灌輸機(jī)械刷題和題海戰(zhàn)術(shù)的教學(xué)觀念.

3 試題的設(shè)計(jì)和特點(diǎn)分析

2023 年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷繼續(xù)落實(shí)新高考政策,試題根據(jù)新課標(biāo)的內(nèi)容要求,圍繞高考立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)的核心功能,聚焦核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)的考查內(nèi)容,突出基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查要求來設(shè)計(jì),體現(xiàn)了新高考和新課程的思想理念.

首先,今年概率試題與以往的一個(gè)不同之處是降低了文字閱讀量,沒有復(fù)雜的情景和形式,而且也淡化了運(yùn)算技巧,沒有特別繁瑣單純的計(jì)算,更多的是從數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的角度來設(shè)計(jì)試題.而且,本試題3 個(gè)小問設(shè)問難度遞增,梯度人性化,從考生的作答情況來看具有較好的區(qū)分度.

其次,將概率試題放在倒數(shù)第2 題的位置,打亂往常題目板塊的順序,考生心理上多少有點(diǎn)不太習(xí)慣和適應(yīng)這種變化,考場上有一定的心理壓力.其設(shè)計(jì)可以避免學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)和考試過程中養(yǎng)成機(jī)械式訓(xùn)練的固化模式,增強(qiáng)考生在不同形式和不同環(huán)境下能夠正常發(fā)揮出數(shù)學(xué)思維的引導(dǎo)作用,考驗(yàn)學(xué)生的心理素質(zhì)和應(yīng)變能力.

最后,本試題源于教材課后習(xí)題又高于教材,重視教材例題習(xí)題的教學(xué).其涉及到的知識(shí)點(diǎn)主要有全概率公式、數(shù)列遞推關(guān)系求通項(xiàng)求和、兩點(diǎn)分布,考查新教材新增的全概率公式.其設(shè)計(jì)思想重視數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)原理,加強(qiáng)數(shù)學(xué)本質(zhì)和理性思維的考查,突出數(shù)學(xué)語言表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性,可以說本試題“回歸到了數(shù)學(xué)的本質(zhì)”[3].華南師大數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院蘇洪雨和馮偉貞兩位老師曾在2022 年高考試題分析時(shí)也指出: 新高考在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020年修訂)》和《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》的指導(dǎo)下,降低了試題結(jié)構(gòu)、題型、題設(shè)、表達(dá)等形式的復(fù)雜性,提高了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的考查,回歸了數(shù)學(xué)的簡潔、抽象、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋举|(zhì)[4].該試題在這一點(diǎn)上已經(jīng)正式邁開了步伐.

4 題源研究

4.1 追根溯源

前文提到,該試題源自教材的一道課后習(xí)題改編,新教材人教A 版選擇性必修第三冊(cè)第七章第91 頁“復(fù)習(xí)參考題”第10 題:

甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練,第1 次由甲將球傳出,每次傳球時(shí),傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人.求n 次傳球后球在甲手中的概率.

從教材上的這道習(xí)題來看,可以說今年高考的概率題前兩問基本就是該習(xí)題的復(fù)制品,教師用書上給的參考答案也基本是高考閱卷的給分設(shè)置情況.因此,研究高考試題可以引導(dǎo)我們一線教師教學(xué)和備考,研究和挖掘教材的例題習(xí)題也可以使我們的備考方向不偏不倚.

對(duì)該試題繼續(xù)進(jìn)行深入研究,可見它的知識(shí)背景是馬爾科夫鏈概率模型,馬爾科夫鏈可以簡單地理解為: 假設(shè)X1,X2,···,Xi,Xi+1是離散序列事件,事件Xi+1發(fā)生的條件概率僅依賴前一事件的狀態(tài),即

則根據(jù)全概率公式有P(Ai+1)=P(Ai)P(Ai+1|Ai) +如果我們熟悉這一知識(shí)背景,教材的這道課后習(xí)題和今年的高考試題就非常簡單了.

4.2 備考模擬試題中的馬爾科夫鏈概率模型

筆者在對(duì)今年概率試題的題源研究中發(fā)現(xiàn),平時(shí)我們的備考訓(xùn)練和模擬考試中也經(jīng)常有涉及到馬爾可夫鏈概率模型的題目出現(xiàn),比如一月份的佛山一模、四月份的佛山二模還有廣州一模等基本就是原型.

2023 屆高三1 月佛山一模第20題近幾年,隨著生活水平的提高,人們對(duì)水果的需求量也隨之增加,我市精品水果店大街小巷遍地開花,其中中華獼猴桃的口感甜酸、可口,風(fēng)味較好,廣受消費(fèi)者的喜愛.在某水果店,某種獼猴桃整盒出售,每盒20 個(gè).已知各盒含0,1 個(gè)爛果的概率分別為0.8,0.2.

(1)顧客甲任取一盒,隨機(jī)檢查其中4 個(gè)獼猴桃,若當(dāng)中沒有爛果,則買下這盒獼猴桃,否則不會(huì)購買此種獼猴桃.求甲購買一盒獼猴桃的概率;

(2)顧客乙第1 周網(wǎng)購了一盒這種獼猴桃,若當(dāng)中沒有爛果,則下一周繼續(xù)網(wǎng)購一盒;若當(dāng)中有爛果,則隔一周再網(wǎng)購一盒;以此類推,求乙第5 周網(wǎng)購一盒獼猴桃的概率.

2023 屆高三4 月佛山一模第16 題有n 個(gè)編號(hào)分別為1,2,…,n 的盒子,第1 個(gè)盒子中有2 個(gè)白球1 個(gè)黑球,其余盒子中均為1 個(gè)白球1 個(gè)黑球,現(xiàn)從第1 個(gè)盒子中任取一球放入第2 個(gè)盒子,再從第2 個(gè)盒子中任取一球放入第3 個(gè)盒子,以此類推,則從第2 個(gè)盒子中取到白球的概率是____,從第n 個(gè)盒子中取到白球的概率是____.

2023 屆高三廣州一模第20題為了拓展學(xué)生的知識(shí)面,提高學(xué)生對(duì)航空航天科技的興趣,培養(yǎng)學(xué)生良好的科學(xué)素養(yǎng),某校組織學(xué)生參加航空航天科普知識(shí)答題競賽,每位參賽學(xué)生答題若干次,答題賦分方法如下: 第1 次答題,答對(duì)得20分,答錯(cuò)得10 分: 從第2 次答題開始,答對(duì)則獲得上一次答題得分的兩倍,答錯(cuò)得10 分.學(xué)生甲參加答題競賽,每次答對(duì)的概率為一,各次答題結(jié)果互不影響.

(1)求甲前3 次答題得分之和為40 分的概率;

(2)記甲第i 次答題所得分?jǐn)?shù)Xi(i ∈N*)的數(shù)學(xué)期望為E(Xi).

1○寫出E(Xi-1)與E(Xi)滿足的等量關(guān)系式(直接寫出結(jié)果,不必證明);

2○若E(Xi)＞100,求i 的最小值.

5 考生答題情況分析

5.1 主要解法歸納

(1) 解法1設(shè)第2 次投籃的人是乙為事件A : P(A)=0.5×(1-0.6)+0.8=0.6,所以第2 次投籃的人是乙的概率為0.2+0.4=0.6.

解法2第2 次投籃的人是乙,共有下面兩種情況: 第1次投籃的人是甲且甲未命中,概率為0.5×(1-0.6)=0.2.第1 次投籃的人是乙且乙命中,概率為0.5×0.8=0.4.所以第2 次投籃的人是乙的概率為0.2+0.4=0.6.

解法5建立樹狀圖,由樹狀圖知: 第1 次投籃的人是甲且甲未命中概率為0.5×(1-0.6)=0.2,第1次投籃的人是乙且乙命中概率為0.5×0.8=0.4,所以第2 次投籃的人是乙的概率為0.2+0.4=0.6.

(2) 解法1該解法是國標(biāo)給的參考答案,先引進(jìn)變量k,求出Pk,再回到要求的問題Pi.

5.2 典型錯(cuò)誤及原因分析

從抽查的情況來看,比較典型的主要有以下幾類錯(cuò)誤:

錯(cuò)誤1描述事件方面的錯(cuò)誤,沒有描述事件或描述不規(guī)范或描述過于省略.

錯(cuò)誤表現(xiàn)1.沒有描述,如: 第2 次乙投籃的概率為P=···;

2.描述不規(guī)范,如: 第2 次投籃是乙為P2=···;

3.描述過于省略,如: 所求事件為A.

出錯(cuò)原因概率語言表達(dá)的意識(shí)和能力薄弱或欠缺.

錯(cuò)誤2事件的概念與概率的概念混淆.

錯(cuò)誤表現(xiàn)如,記第2 次乙投籃的概率為事件A.

出錯(cuò)原因基本的數(shù)學(xué)概念不清楚,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)平時(shí)沒注意規(guī)范性和嚴(yán)謹(jǐn)性,態(tài)度上不認(rèn)真.

錯(cuò)誤3計(jì)算類錯(cuò)誤.

錯(cuò)誤表現(xiàn)如0.5×0.4+0.5×0.8=0.06;0.5×0.4+0.5×0.8=0.7;漏了括號(hào)0.5×1-0.6+0.5×0.8=0.6.

出錯(cuò)原因粗心大意,沒有養(yǎng)成良好的計(jì)算習(xí)慣.

錯(cuò)誤4公式類錯(cuò)誤.

錯(cuò)誤表現(xiàn)如

出錯(cuò)原因?qū)θ怕使讲焕斫?生搬硬套,不能將問題情景抽象成數(shù)學(xué)模型,建模能力較弱.

錯(cuò)誤5對(duì)問題情景認(rèn)識(shí)和分類錯(cuò)誤.

錯(cuò)誤表現(xiàn)情況列舉漏掉或重復(fù);樹狀圖畫錯(cuò).

出錯(cuò)原因認(rèn)知和分析問題的數(shù)學(xué)思維較弱;不能將問題從特殊到一般進(jìn)行抽象概括.

錯(cuò)誤6數(shù)列知識(shí)沒過關(guān).

錯(cuò)誤表現(xiàn)不能準(zhǔn)確求出遞推關(guān)系或者不會(huì)分組求和.

出錯(cuò)原因數(shù)列的基本知識(shí)和基本技能方法沒掌握和理解.

錯(cuò)誤7沒回到問題的解答.

錯(cuò)誤表現(xiàn)Pn=

出錯(cuò)原因不能將問題情景與數(shù)學(xué)邏輯較好地聯(lián)系起來.

錯(cuò)誤8兩點(diǎn)分布理解出了問題.

錯(cuò)誤表現(xiàn)沒有交待清楚兩點(diǎn)分布的變量.

錯(cuò)誤原因不理解問題情境中所涉及的兩點(diǎn)分布表示的概率意義.

錯(cuò)誤9第(3)問沒有分解事件.

錯(cuò)誤表現(xiàn)硬套題目所給的公式.

錯(cuò)誤原因數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法沒掌握好.

6 教學(xué)啟示和備考建議

從該題閱卷的視角來看,結(jié)合考生的作答情況,綜合上述分析,我們可以從如下幾方面來落實(shí)平時(shí)的教學(xué)和備考.

加強(qiáng)教考銜接理順教考銜接,實(shí)現(xiàn)以考促教、以考促學(xué),重視教材,回歸教材.

必備知識(shí)學(xué)習(xí)注重?cái)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的概念、原理教學(xué),學(xué)生對(duì)概念、原理的理解是解決復(fù)雜問題的基礎(chǔ).

關(guān)鍵能力培養(yǎng)在平時(shí)的習(xí)題課教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生將問題情景與數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來的數(shù)學(xué)化的能力,重點(diǎn)培養(yǎng)邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能力.

科學(xué)合理學(xué)法注重培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,如耐心閱讀審題的習(xí)慣、細(xì)心計(jì)算習(xí)慣、規(guī)范書寫表達(dá)習(xí)慣,重視基礎(chǔ)知識(shí)與基本技巧的掌握,注重通性通法的訓(xùn)練,重視教材例題習(xí)題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,抓好落實(shí).

關(guān)注高考動(dòng)向了解學(xué)習(xí)高考政策,把握復(fù)習(xí)備考方向,不偏不倚,研究新課標(biāo)、新教材、評(píng)價(jià)體系、年度試題分析報(bào)告.

適量選題訓(xùn)練合理、適量選題、掌握解題方法和考試作答策略,避免機(jī)械刷題和題海戰(zhàn)術(shù).