廣東省中山紀念中學(528454) 鄧啟龍

試題已知橢圓E的中心為坐標原點,對稱軸為x軸,y軸,且過A(0,-2),B(,-1)兩點.

(1)求橢圓E的方程;

(2)設過點P(1,-2)的動直線l交橢圓E于M,N兩點,過M且平行于x軸的直線與直線AB交于點T,點H滿足證明: 直線HN過定點.

解析易得橢圓E的方程為=1.先考慮過P的兩條特殊直線l1:x=1和l2:y=-2x,分別得到對應的直線HN,這兩條直線的交點即定點,通過計算發(fā)現定點是A.然后考慮一般情況,設直線l的方程為y=k(x-1)-2,得到M,N,T,H的坐標后,驗證直線HA和直線NA的斜率相等(或同時不存在),即可說明直線HN過點A,于是得到解法1.但是解法一運算量較大,能否改進方法,減少運算量? 本文經過探究,發(fā)現利用直線l的參數方程,可減少運算量,于是得到解法2.

2.若l的斜率不存在,則l的方程為x=1,同解法一可得直線HN也過點A.所以直線HN過點A.

在試題中,點P,A,B有什么特殊性呢? 經過探究發(fā)現,直線PA,PB與橢圓E相切,切點分別為A,B,直線MT平行于x軸,即直線MT平行于PA,T為線段MH的中點.設直線NT與PA交于點C,由H,N,A三點共線可得C為線段PA的中點.本文經過深入探究,將試題一般化,得到以下結論.

結論1點P在橢圓E外,過P作橢圓E的切線,切點分別為A,B,線段PA,PB的中點分別為C,D.過P的動直線l與橢圓E交于M,N兩點,過M作PA,PB的平行線,分別與直線AB交于點T,S,則C,T,N三點共線,且D,S,N三點共線.

由MT//PA,MS//PB可得T,S的坐標,然后通過計算得到kT C=kNC,kSD=kND,從而推出C,T,N三點共線,且D,S,N三點共線.這種方法思路可行,但是運算量太大,有沒有減少運算量的更好的方法?

結論2點P在圓E外,過P作圓E的切線,切點分別為A,B,線段PA,PB的中點分別為C,D.過P的動直線l與圓E交于M,N兩點,過M作PA,PB的平行線,分別與直線AB交于點T,S,則C,T,N三點共線,且D,S,N三點共線.

解析由于結論2 與坐標系無關,為了方便計算,以圓心E為坐標原點,直線AE為y軸,建立平面直角坐標系.

本文通過仿射變換,將橢圓變成圓,通過證明圓中的結論2,從而證明橢圓中的結論1.能否不將橢圓仿射成圓,直接證明結論1 呢? 在結論1 中,注意到直線AB是點P的極線,本文經過深入探究,利用極點極線的性質,直接證明結論1.

在證明結論1 之前,先簡單介紹橢圓中極點和極線的相關知識.

引理1已知橢圓E:=1(a ＞b ＞0),點P(x0,y0)不在橢圓E上,且P與原點不重合.

(1)過P的直線l與橢圓E交于A,B兩點,l上存在異于P的點Q滿足AP·BQ=AQ·BP(點P,Q調和分割線段AB),則Q在P的極線上;

(2)過P的直線l與橢圓E交于A,B兩點,與P的極線交于點Q,則AP·BQ=AQ·BP(點P,Q調和分割線段AB).

結論1 的證明設l與直線AB交于點Q,注意到直線AB是點P的極線,由引理1得PM·QN=PN·QM.于是

對于雙曲線和拋物線,有類似的結論.

結論3點P在雙曲線E外(P不在雙曲線E的漸近線上),過P作雙曲線E的切線,切點分別為A,B,線段PA,PB的中點分別為C,D.過P的動直線l與雙曲線E交于M,N兩點,過M作PA,PB的平行線,分別與直線AB交于點T,S,則C,T,N三點共線,且D,S,N三點共線.

結論4點P在拋物線E外,過P作拋物線E的切線,切點分別為A,B,線段PA,PB的中點分別為C,D.過P的動直線l與拋物線E交于M,N兩點,過M作PA,PB的平行線,分別與直線AB交于點T,S,則C,T,N三點共線,且D,S,N三點共線.

接下來給出結論4 的證明.