重慶市綦江中學(xué)(401420) 晏炳剛 劉燕

圓錐曲線運(yùn)動試題模型中,隨著點(diǎn)或線的運(yùn)動,整個體系中關(guān)聯(lián)的點(diǎn)、線、角度、斜率、距離、面積等跟著聯(lián)動起來.運(yùn)動變化過程中幾何特征或數(shù)值的不變性是值得思考和關(guān)注的.因此定點(diǎn)、定值等不變特征問題成為這類題目教學(xué)研究、考試命題的重要素材.基于此,本文對一道高三聯(lián)考雙曲線題目作背景探究和類比推廣,得到了運(yùn)動中不變性即斜率乘積為定值和到定點(diǎn)距離為定長(點(diǎn)在圓上)的結(jié)論.

1 題目分析

題目(23 年11 月浙江9+1 聯(lián)盟高三聯(lián)考) 已知雙曲線E:=1(a ＞0,b ＞0)過點(diǎn)Q(3,2),且離心率e=2.F2,F1是雙曲線E的上下焦點(diǎn),雙曲線E在Q處的切線與圓F2:x2+(y-c)2=10 交于A,B兩點(diǎn).

(1)求ΔF1AB面積;

(2)點(diǎn)P為圓F2上的一動點(diǎn),過P作雙曲線E的兩條切線,切點(diǎn)分別為M,N,記F1M,F1N的斜率分別為k1,k2,證明k1k2為定值.

分析第(1)問先求雙曲線方程為y2-=1,再由切點(diǎn)求出切線方程為2y-x=1,最后由切線方程和圓方程聯(lián)立求得面積為第(2)問是因點(diǎn)P在圓F2上運(yùn)動而產(chǎn)生的運(yùn)動系統(tǒng),并證明運(yùn)動系統(tǒng)中的不變性即斜率乘積為定值.解答此問路徑為: 先設(shè)P坐標(biāo)P(x0,y0),并由切點(diǎn)弦知識寫出切點(diǎn)弦MN方程,再聯(lián)立直線MN與雙曲線方程得韋達(dá)定理,最后用韋達(dá)定理和P(x0,y0)滿足的式子代入k1k2的式子化簡得定值為詳細(xì)過程略.

2 結(jié)論探究

中國高考評價體系要求“設(shè)置新穎的試題呈現(xiàn)方式,促使學(xué)生主動思考,發(fā)現(xiàn)新問題、找到新規(guī)律、得出新結(jié)論”[1],結(jié)合閱讀文獻(xiàn)[2-3]的研究思路,做完此題,不難有以下思考:

(1)在一般的雙曲線背景下是否有斜率積為定值;

(2)點(diǎn)P運(yùn)動的圓F2半徑有無具體要求;

(3)雙曲線焦點(diǎn)在x軸后,結(jié)論會有什么變化.帶著這些問題研究后有下面結(jié)論.

結(jié)論證明過程略,由結(jié)論知道焦點(diǎn)在x軸和y軸時,斜率積互為倒數(shù),且式子結(jié)構(gòu)都為有關(guān)離心率的一個對稱優(yōu)美簡潔的式子.

3 橫向類比

橫向類比到橢圓中有以下結(jié)論3 和4.

需要注意的是結(jié)論1-4 中,沒有指出的特殊情況即直線中有一條斜率不存在時,此刻另一條直線斜率為0.

4 逆向探索

需要說明的是,結(jié)論5 和8 中,特殊情況即直線F1M,F1N中有一條斜率不存在時,另一條直線斜率為0,此刻正好可以把P的軌跡補(bǔ)足為整圓.

5 優(yōu)美結(jié)果

由8 個結(jié)論知道:

(1)焦點(diǎn)在x軸時,雙曲線和橢圓結(jié)論是一致的;焦點(diǎn)在y軸,結(jié)論也是一致的.區(qū)別是焦點(diǎn)在x軸和在y軸時,斜率積互為倒數(shù).

(2)點(diǎn)P所在圓半徑平方為2(a2+c2),此結(jié)構(gòu)形式簡潔優(yōu)美.

(4)直線F1M,F1N中當(dāng)一條斜率不存在時,另一條斜率為0.在橢圓背景中,當(dāng)考慮這個因素,那么P的軌跡為整圓.

6 結(jié)束語

圓錐曲線運(yùn)動體系下的定點(diǎn)定值定線問題,以其題目多樣、背景豐富、理論經(jīng)典、結(jié)果優(yōu)美而得以長盛不衰.師生在解析幾何的題目探究中,無論題目運(yùn)動變化怎樣,尋找變化中的不變性,得到優(yōu)美簡潔的結(jié)論,是數(shù)學(xué)解題的美妙所在,也是培養(yǎng)訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的重要途經(jīng).教師在此類題目教學(xué)上,學(xué)生在此類題目的解答里,就不能僅僅思考一般解答過程,更應(yīng)探究一般情況下的變化中的不變性,若能尋找優(yōu)美簡潔結(jié)論更好.只有如此,才能高效培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng),并使得考題研究真正能走到“立德樹人、服務(wù)選材、引導(dǎo)教學(xué),實(shí)現(xiàn)高考的核心功能”這一步.