南京市天印高級(jí)中學(xué)(211100) 袁根福

1 問(wèn)題的緣起

課堂解題教學(xué)中,提倡多角度、多解法、多層面看待和解決問(wèn)題的教學(xué)方式誠(chéng)然對(duì)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維、創(chuàng)新思想等關(guān)鍵能力大有裨益,在此基礎(chǔ)上幫助學(xué)生形成創(chuàng)造性學(xué)習(xí)模式、批判性認(rèn)知模式,以期發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人價(jià)值.但就目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)況而言,相當(dāng)一部分學(xué)生達(dá)不到中檔題與難題一題多解的思維水準(zhǔn).甚至部分基礎(chǔ)扎實(shí)的學(xué)生在學(xué)習(xí)多種解法時(shí)不求甚解,或長(zhǎng)時(shí)間后遺忘,導(dǎo)致考試過(guò)程中因解法多樣,無(wú)法在短時(shí)間內(nèi)調(diào)取解決問(wèn)題的關(guān)鍵邏輯通路,運(yùn)算指向不明而導(dǎo)致答題失敗,浪費(fèi)大量時(shí)間.“多題一解”教學(xué)方式在上述問(wèn)題和要求的基礎(chǔ)上被提出,教師指導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)問(wèn)題中的聯(lián)系與共性,尋求通性通法,為不同層次學(xué)生提供適合自己的解題范式,從知識(shí)本位向?qū)W生中心轉(zhuǎn)變,提高高中數(shù)學(xué)教與學(xué)的質(zhì)量.

2 橢圓焦半徑公式推導(dǎo)及在高考解題中的應(yīng)用

問(wèn)題解決的本質(zhì)要牢牢契合思維發(fā)展的本質(zhì): 知其然,知其所以然,公式的學(xué)習(xí)并不是簡(jiǎn)單地記憶與套用.公式的推導(dǎo)是理解、記憶、掌握和應(yīng)用的基礎(chǔ),公式推導(dǎo)的過(guò)程給學(xué)生呈現(xiàn)的應(yīng)當(dāng)是一種甚至多種問(wèn)題處理的新的思維方式或運(yùn)算技巧.焦半徑公式的推導(dǎo)即可從兩點(diǎn)間長(zhǎng)度處理的通法——兩點(diǎn)距離公式或橢圓的第二定義展開(kāi),明晰公式的算理可以幫助學(xué)生更好地應(yīng)用公式解決相關(guān)高考問(wèn)題,從容應(yīng)對(duì)高考.

2.1 焦半徑公式的推導(dǎo)

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書(shū)中寫(xiě)到: 學(xué)一個(gè)活動(dòng)的最好方法是做[1],焦半徑公式熟練使用的前提是學(xué)生理解并掌握公式的推導(dǎo)與生成過(guò)程,并將之內(nèi)化到自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)與體系中.從學(xué)生解題的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)出發(fā),橢圓=1 兩焦半徑PF1,PF2,F1(-c,0),F2(c,0)分別為橢圓左右兩焦點(diǎn),P(x,y)為橢圓上任意一點(diǎn),x ∈[-a,a].本質(zhì)上為兩點(diǎn)間的線段,故可使用兩點(diǎn)距離公式證明;從學(xué)生概念學(xué)習(xí)的基本思想出發(fā),依據(jù)橢圓第二定義,橢圓上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比為一個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)就是橢圓的離心率以左焦點(diǎn)F1為例,=e.

下面介紹焦半徑公式的兩種證明方法(本文只研究焦半徑長(zhǎng)與點(diǎn)P位置間的關(guān)系,對(duì)焦半徑其他形式的推導(dǎo)與呈現(xiàn)不作贅述).

2.2 高考真題中的應(yīng)用

理在用中方識(shí)妙,學(xué)生在關(guān)于原理性知識(shí)的運(yùn)用中,熟悉知識(shí)的結(jié)構(gòu),從而理解知識(shí),記憶知識(shí),進(jìn)而掌握知識(shí).在橢圓中存在著至簡(jiǎn)的焦半徑公式,如何應(yīng)用到解決具體問(wèn)題中去呢? 我們看幾個(gè)例子:

例1(2019 年高考全國(guó)ⅠⅠ卷(文)第20 題)已知點(diǎn)F1,F2是橢圓C:=1(a ＞b ＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若ΔPOF2為等邊三角形,求C的離心率;

(2)如果存在點(diǎn)P,使得PF1⊥PF2,且ΔF1PF2的面積等于16,求b的值與a的取值范圍.

分析(1)略;(2)由題意知,PF1·PF2=(a+ex)(aex)=a2-e2x2=16×2=32.又有勾股定理+==4c2,即(a+ex)2+(a-ex)2=2a2+2e2x2=4c2,e2x2=2c2-a2=c2-b2≥0,a2-(c2-b2)=32,

則2b2=32,b=4.a2=c2+b2≥2b2=32,a≥

本題作為必做題倒數(shù)第二題,主流參考答案無(wú)外乎需借助向量數(shù)量積為0 或斜率之積為-1,再聯(lián)立點(diǎn)P縱坐標(biāo)與面積的關(guān)系求解,大量的演算過(guò)程隨之伴生,給學(xué)生解題造成困難.但學(xué)生若能善用焦半徑公式解決本題,不僅可以繞開(kāi)對(duì)圖形的觀察,還能將演算鎖定在點(diǎn)P橫坐標(biāo),運(yùn)算程序優(yōu)化,在高考中脫穎而出.

例2(2021 年新高考Ⅰ卷第5 題) 已知F1,F2是橢圓C:=1 的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)M在C上,則|MF1|·|MF2|的最大值為()

A.13 B.12 C.9 D.6

分析利用焦半徑公式可知

分析∠F1PF2作為橢圓兩焦半徑的夾角,OP此時(shí)也作為中線,立刻可以聯(lián)想到以極化恒等式為媒介,將焦半徑和所求聯(lián)系起來(lái),設(shè)點(diǎn)P(x,y),即

解得x2,回代得|OP|.一道單選壓軸題,利用焦半徑公式一步得到答案,深刻體現(xiàn)了知識(shí)間的緊密聯(lián)系,強(qiáng)化了形與數(shù)之間的聯(lián)系,不僅能培養(yǎng)學(xué)生理性思維,還能在此間滲透數(shù)學(xué)運(yùn)算這一核心素養(yǎng).

上述三道題都是新課標(biāo)背景下近五年高考對(duì)橢圓焦半徑相關(guān)計(jì)算的考察,外延考察形式不同,內(nèi)核思路一致.當(dāng)然,這三道題也有其他優(yōu)秀的解法,但在審題時(shí),以焦半徑為知識(shí)起點(diǎn)與思維“啟點(diǎn)”,這一類(lèi)題型都可以被焦半徑公式“秒殺”,不僅可以縮短學(xué)生的思考和運(yùn)算時(shí)間,還能極大增強(qiáng)學(xué)生在后續(xù)答題中的自信心,兼顧智力因素與非智力因素,可謂一舉兩得.2019～2023 年各高考卷也不乏有雙曲線與拋物線焦半徑的相關(guān)題型,若以橢圓焦半徑的研究為生長(zhǎng)點(diǎn),促使教師與學(xué)生對(duì)另兩類(lèi)圓錐曲線的焦半徑作出思考,進(jìn)行類(lèi)比與遷移,以此提升自身能力與素養(yǎng),從而決勝高考.

3 “多題一解”教學(xué)模式的應(yīng)用策略

一線教師精研解題與教學(xué),陳述性知識(shí)積累豐富,問(wèn)題處理的程序化手段多樣,在高等教育期間也接受過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)知識(shí)與技能培訓(xùn),多題一解對(duì)教師而言可謂信手拈來(lái).但學(xué)生囿于數(shù)學(xué)思維、知識(shí)體系、學(xué)習(xí)經(jīng)歷、學(xué)習(xí)方法,多題一解的模式對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)幾乎是全新的、困難的,教師要試圖打破這一困境,就要從自身出發(fā),不斷提升自身的教學(xué)水平,換位思考,尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與知識(shí)發(fā)展規(guī)律,適時(shí)利用專題教學(xué)在“多題”的題組設(shè)置中幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)“一解”的共性,提升學(xué)生能力.

3.1 精研課標(biāo),精選問(wèn)題

“精選課程內(nèi)容,處理好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識(shí)技能之間的關(guān)系”[2]在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020年修訂)》中作為課程育人的基本理念被提出.多題一解的施教過(guò)程是一個(gè)具體到抽象,特殊到一般的過(guò)程,它是師生協(xié)同從“多題”向“一解”中所含共性推進(jìn)的一個(gè)抽絲剝繭的過(guò)程,題的選取是考驗(yàn)教師備課水平的關(guān)鍵.

從宏觀教學(xué)理念而言,新課程標(biāo)準(zhǔn)頒布,國(guó)家和人民對(duì)教育的要求進(jìn)一步提高,人才選拔制度得到進(jìn)一步完善.在這種新的社會(huì)與時(shí)代背景下,教育教學(xué)人員基于課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考、編寫(xiě)和創(chuàng)新得到進(jìn)一步加強(qiáng),也體現(xiàn)在了近幾年高考命題的過(guò)程中.這就要求教師要熟悉課程標(biāo)準(zhǔn),利用好這些優(yōu)秀的教育教學(xué)資源,以課程標(biāo)準(zhǔn)為指導(dǎo)進(jìn)行選題教學(xué).在一線教學(xué)過(guò)程中,不斷學(xué)習(xí),不斷思考,與時(shí)俱進(jìn)地更新自身的眼界和腦海中的問(wèn)題庫(kù).教師題庫(kù)容量的多寡很大程度上決定著“多題”的水平,最終也會(huì)影響學(xué)生對(duì)“一解”中共性的理解與掌握.

從微觀課堂教學(xué)而言,基于維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”理論,教師選題應(yīng)重視班級(jí)全體學(xué)生的實(shí)際學(xué)情,使用好學(xué)生歷次作業(yè)與統(tǒng)計(jì)手段明確學(xué)生學(xué)情所對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題的難度系數(shù)范圍,在同一知識(shí)技能體系與框架下設(shè)置一定難度跨度,激發(fā)和提高學(xué)生的課堂參與度,以面向全體學(xué)生.若將問(wèn)題都設(shè)置于“現(xiàn)有發(fā)展區(qū)”,則學(xué)生無(wú)法感受到學(xué)習(xí)帶來(lái)的挑戰(zhàn)性,就會(huì)產(chǎn)生消極怠學(xué)的情緒.相反,如果跨度太大,就會(huì)加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)而產(chǎn)生逆反厭學(xué)的心理[3],所以選題要遵從基礎(chǔ)性和發(fā)展性兩個(gè)原則,為全體學(xué)生的發(fā)展提供共同的基礎(chǔ),在全體學(xué)生收獲“多題一解”中共性的同時(shí),隨著難度水平與思維層次的拔高,不同的學(xué)生在學(xué)習(xí)中汲取不同的收獲.

3.2 尊重規(guī)律,改進(jìn)教學(xué)

高考試題的命制主要圍繞對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的考查展開(kāi),故數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展應(yīng)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,但數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成不是一蹴而就的,它依賴于教師通過(guò)高考題、教材等教育媒介施教下的學(xué)生內(nèi)在生成與建構(gòu).“多題一解”數(shù)學(xué)教學(xué)模式中,課程內(nèi)容的呈現(xiàn),應(yīng)注意數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律,以及人們的認(rèn)識(shí)規(guī)律,體現(xiàn)從具體到抽象,特殊到一般的原則[4].總的來(lái)說(shuō),教師在進(jìn)行“多題一解”教學(xué)時(shí),教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體,要充分尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與知識(shí)的發(fā)展規(guī)律.

從學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的角度出發(fā),學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)與思維發(fā)展依賴于學(xué)生熟悉的現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn),這也是建構(gòu)主義的基本理論之一.教師在施教前與施教時(shí)要注意學(xué)生現(xiàn)有的經(jīng)驗(yàn)水平,以施教內(nèi)容銜接學(xué)生的新問(wèn)題與舊經(jīng)驗(yàn).“多題一解”的施教方式要契合學(xué)生的心理偏好,如利用焦半徑公式進(jìn)行高考解題教學(xué)時(shí),以上文3 個(gè)例題為例,上文例題的呈現(xiàn)以時(shí)間線為序,但在解題教學(xué)時(shí),首先應(yīng)呈現(xiàn)例2,例2 難度較低,以圖形輔助,學(xué)生很容易就能從現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)中調(diào)取焦半徑公式解決問(wèn)題.例3 的圖形接著呈現(xiàn),讓學(xué)生主動(dòng)尋找兩題求解中都無(wú)法避開(kāi)對(duì)焦半徑PF1,PF2求解的共性,最后呈現(xiàn)例1,同樣方法求解,由易到難,在變化中找共性,符合學(xué)生認(rèn)知.

從知識(shí)發(fā)展規(guī)律的角度出發(fā),教育心理學(xué)將學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)大體分為兩類(lèi),陳述性知識(shí)與程序性知識(shí),前者為公式、定理、概念等記憶性內(nèi)容,后者為解題技能、運(yùn)算技巧等特定的程序化操作,陳述性知識(shí)是程序性知識(shí)的操作基礎(chǔ),程序性知識(shí)的使用反過(guò)來(lái)強(qiáng)化陳述性知識(shí)的記憶.本文例舉的3道例題“一解”的核心技巧都是焦半徑公式的使用,其使用基礎(chǔ)是焦半徑公式的推導(dǎo)、記憶與掌握.學(xué)生在學(xué)習(xí)這一內(nèi)容時(shí),教師首先要呈現(xiàn)橢圓與焦半徑的圖象,學(xué)生在讀圖時(shí)教師標(biāo)上焦半徑對(duì)應(yīng)的字母符號(hào),激活學(xué)生的符號(hào)意識(shí),讓學(xué)生在信息提取階段以“PF1”“PF2”字符的呈現(xiàn)激活腦海中“焦半徑”的概念,達(dá)到文字語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言與幾何圖形的統(tǒng)一,而后基于兩點(diǎn)距離公式與第二定義的公式的推導(dǎo)過(guò)程和結(jié)果則能深刻地內(nèi)化到學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)中,在解題教學(xué)中完成從陳述性知識(shí)到程序性知識(shí)的躍遷,形成學(xué)習(xí)正遷移.

3.3 專題教學(xué),潛移默化

波利亞無(wú)不在自己的論著中體現(xiàn)著這樣一個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科的基本觀點(diǎn): 數(shù)學(xué)具有雙重性,即數(shù)學(xué)既是一門(mén)演繹科學(xué),又是一門(mén)歸納科學(xué).多題一解教學(xué)的思路和方法亦如是,從“多題”中逆向歸納出“一解”,從“一解”的策略中高屋建瓴地正向演繹出“多題”的統(tǒng)一解法.但正是由于題與題之間的聯(lián)系與遷移作為逆向思維難以暴露和發(fā)現(xiàn),多題一解教學(xué)方式的實(shí)施和效果達(dá)成才顯得難度頗高.

這時(shí),專題教學(xué)的效果得以顯現(xiàn).不同于傳統(tǒng)課堂教學(xué)的知識(shí)逐級(jí)萌生與邏輯層次遞進(jìn),學(xué)生所學(xué)內(nèi)容繁復(fù).專題教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)施依賴于范圍小而明確的知識(shí)體系與解題技巧,系統(tǒng)性與遷移性強(qiáng).“多題一解”角度看似單一,但通過(guò)專題教學(xué)的題組設(shè)計(jì)(一般以2-5 道題為宜),針對(duì)性強(qiáng)、指向性明確后學(xué)生參與度高,潛意識(shí)中會(huì)循著這條知識(shí)脈絡(luò)在審題的過(guò)程中不斷挖掘“多題”中的數(shù)學(xué)本質(zhì),強(qiáng)化對(duì)共性的認(rèn)知.如焦半徑公式專題教學(xué)中,由本文例2 設(shè)置如下題組.

上述題組的設(shè)置由焦半徑公式的內(nèi)部運(yùn)算、再到公式與函數(shù)、向量等知識(shí)的雜糅,由易到難、由簡(jiǎn)及繁,或顯或隱都離不開(kāi)焦半徑公式的使用,多題一解的教學(xué)目標(biāo)得到實(shí)現(xiàn).這種層層障礙的設(shè)置有助于學(xué)生在問(wèn)題突破后把握問(wèn)題結(jié)構(gòu),認(rèn)清問(wèn)題本質(zhì).專題教學(xué)的題組設(shè)置可以潛移默化幫助學(xué)生形成自身一套獨(dú)有的“發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題——分析、解決問(wèn)題”的邏輯系統(tǒng).長(zhǎng)此以往,這一邏輯系統(tǒng)經(jīng)過(guò)不斷完善會(huì)形成學(xué)生特定的認(rèn)知模式與問(wèn)題解決模式.廣義上來(lái)說(shuō),它實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的根本任務(wù)即立德樹(shù)人,學(xué)生形成了自己的世界觀方法論,狹義上來(lái)說(shuō),這套邏輯系統(tǒng)下沉到不同的數(shù)學(xué)知識(shí)技巧,就會(huì)形成不同類(lèi)型數(shù)學(xué)問(wèn)題的通性通法,在這一過(guò)程中,數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)得以滲透,學(xué)科的育人價(jià)值也得到體現(xiàn),完成“多題一解”教學(xué)模式的教育閉環(huán).

4 反思

通過(guò)探究具體數(shù)學(xué)問(wèn)題解題思路的行為活動(dòng),鼓勵(lì)學(xué)生萌生與定型具體的數(shù)學(xué)觀念,進(jìn)而形成數(shù)學(xué)觀念系統(tǒng)是重要的教學(xué)目標(biāo)[5].本文以橢圓焦半徑公式在高考解題教學(xué)中的應(yīng)用作為切入點(diǎn)研究多題一解的教學(xué)模式,精心選題,滲透符號(hào)意識(shí),以PF1與PF2的呈現(xiàn)觸發(fā)學(xué)生對(duì)焦半徑公式的信息提取,繼而從同一角度思考并解決不同層次的問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)知識(shí)技能躍遷,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),潛移默化提高學(xué)生的認(rèn)知和思維水平.這種教學(xué)模式的目標(biāo)區(qū)分于“一題多解”,意在實(shí)現(xiàn)全體學(xué)生共同基礎(chǔ)的夯實(shí)與不同層次學(xué)生的多樣化選擇,使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.當(dāng)學(xué)生形成以焦半徑為問(wèn)題中心信息觸發(fā)利用焦半徑公式解決問(wèn)題的觀念機(jī)制,此時(shí)不失時(shí)機(jī)地將“橢圓焦半徑”格局提高至“圓錐曲線焦半徑”,多題一解視角下高屋建瓴地看待所有焦半徑問(wèn)題,學(xué)生由知識(shí)和技巧的主人蛻變?yōu)閱?wèn)題與思維的主人,繼而駕馭高考.