陜西省榆林市吳堡中學(xué)(718200) 郭蒙

陜西省榆林市吳堡縣教學(xué)教研室(718200) 薛小強

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017 年版2020 年修訂)第88 頁在考試命題原則中強調(diào): 考查內(nèi)容應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容為主線,聚焦學(xué)生對重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用,強調(diào)基礎(chǔ)性、綜合性;注重數(shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法,淡化解題技巧.把握數(shù)學(xué)核心概念的本質(zhì),明晰什么是數(shù)學(xué)的通性通法[1].在第97 頁中強調(diào): 我們教師應(yīng)關(guān)注理解與高中數(shù)學(xué)關(guān)系密切的高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容,能夠從更高的觀點理解高中數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)[1].函數(shù)極限保不等式性屬于必要性探路的一種特殊方法,是一種通性通法,本文主要研究其在導(dǎo)數(shù)壓軸題中的應(yīng)用.

1 保不等式性[2]

定理設(shè)=c.如果存在實數(shù)δ ＞0.對滿足0＜|x-a|＜δ的x,都有f(x)＜g(x),那么b≤c.

證明因為=c,所以對任給的ε ＞0,分別存在正數(shù)δ1,δ2,使得當(dāng)0＜|x-a|＜δ1時有b-ε ＜f(x);當(dāng)0＜|x-a|＜δ2時有g(shù)(x)＜c+ε.令δ3=min{δ,δ1,δ2},則當(dāng)0＜|x-a|＜δ3時,再利用不等式f(x)＜g(x)與上兩式,就有b-ε ＜f(x)＜g(x)＜c+ε,從而b ＜c+2ε,由ε的任意性知b≤c.

評注此定理是大學(xué)《數(shù)學(xué)分析》的課程內(nèi)容,現(xiàn)已調(diào)整到數(shù)學(xué)選修課程A 類微積分一書中第二章函數(shù)的極限第26頁,這樣處理為學(xué)生高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).由定理的證明過程知,條件中的f(x)＜g(x)改為f(x) ≤g(x)時,結(jié)論仍然是成立的,詳細(xì)證明參考文獻[3]第49 頁.

2 函數(shù)極限保不等式性在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

例1(2023 年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理) 16 題)設(shè)a ∈(0,1),若函數(shù)f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是____.

解法1極限保不等式性+必要性探路

注意到f′(x)=axlna+(1+a)xln(1+a) ≥0 在(0,+∞) 上恒成立,由極限保不等式性質(zhì)得,lna+ln(1+a)≥0,解得≤a ＜1.下證充分性.

評注此題利用參數(shù)將兩個指數(shù)函數(shù)巧妙組合,要求考生利用單調(diào)性得到參數(shù)的取值范圍,試題注重基礎(chǔ),強調(diào)函數(shù)基本性質(zhì),導(dǎo)數(shù)的概念,性質(zhì),運算法則與應(yīng)用,符合基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的要求,突出了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)基本性質(zhì)之間的關(guān)聯(lián),利用極限保不等式性得到參數(shù)范圍,在充分性證明即可,此法為分類討論法提供了參數(shù)的分界點.

解法2分類討論

評注利用方法一得到的參數(shù)分界點進行分類討論,縮小了參數(shù)的范圍,降低了思維的成本.

解法3端點策略

由題意可得f′(x)=axlna+(1+a)xln(1+a)≥0 在(0,+∞)上恒成立,f′′(x)=axln2a+(1+a)xln2(1+a)＞0,因此f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立等價于f′(0) ≥0,解得≤a ＜1,故a的取值范圍為

評注此題也可以這樣解答,由f′(x)≥0 可得

例2(2023 年新課標(biāo)全國ⅠⅠ卷數(shù)學(xué)第6 題)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,則a的最小值為()

A.e2B.e C.e-1D.e-2

解法1極限保不等式性+必要性探路

評注試題通過導(dǎo)數(shù)將函數(shù)的單調(diào)性、不等式知識有機融合到問題情境中,考察全面,試題重視基礎(chǔ),考察學(xué)生化歸與轉(zhuǎn)化的能力,能夠很好地引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),有助于實現(xiàn)高考立德樹人、服務(wù)選材、引導(dǎo)教學(xué)的核心功能,利用極限保不等式性得到參數(shù)范圍,在進行充分性證明,此法是一種通法.

解法2分離參數(shù)

評注先對a進行分類討論,再將參數(shù)a分離出來,也可將其轉(zhuǎn)化為≤a,再求出參數(shù)a的范圍.

例3(2023 年高考全國乙卷文科第20 題) 已知函數(shù)f(x)=(+a)ln(1+x),若函數(shù)f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,求a的取值范圍.

解法1 極限保不等式性質(zhì)+必要性探路

由題意得f′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立,因此

評注利用極限保不等式性質(zhì),縮小了參數(shù)a的范圍,在檢驗其充分性,完美解答,在解題過程中,利用對數(shù)單身狗,可以減少求導(dǎo)次數(shù),從而減少運算量.

解法2分類討論

評注利用極限保不等式性質(zhì)得到參數(shù)a的分界點,以此分界點展開分類討論,進而完美解答此題,綜合考察了考生的邏輯推理、運算求解和推理論證能力以及分類討論的思想.

評注以方法一中的3 為分界點進行分類討論,本解法要求學(xué)生具有較強的數(shù)學(xué)運算能力,當(dāng)a ＞3 時,可以直接對原函數(shù)進行放縮或者利用導(dǎo)函數(shù)找矛盾區(qū)間(矛盾點).

解法3分類討論+連續(xù)函數(shù)局部保號性

評注以方法一中的3 為分界點進行分類討論,當(dāng)a ＞3時利用連續(xù)函數(shù)局部的保號性得到g(x)在(0,δ)上大于零,得到矛盾,進而得到參數(shù)的取值范圍,解題過程中用到了連續(xù)函數(shù)的保號性.

例5(2023 年高考全國甲卷文科第20 題) 已知函數(shù)f(x)=ax-,x ∈(0,),若f(x)+sinx ＜0,求a的取值范圍.

解法1分離參數(shù)+極限保不等式性質(zhì)

評注利用極限保不等式性縮小了參數(shù)的范圍,在進行充分性證明,使得問題得以解決,此法為我們用分類討論解題提供了參數(shù)的分界點.

解法2切線放縮法+分類討論法

評注本解法要求學(xué)生具有較強的數(shù)學(xué)運算能力,當(dāng)a ＞0 時,利用切線不等式sinx ＜x,x ∈(0,) 放縮,推導(dǎo)出矛盾,進而得出參數(shù)a的取值范圍,本題其它解法見文獻[5]-[7].

例6(2023 年高考新課標(biāo)ⅠⅠ卷第22 題)

(1)證明: 當(dāng)0＜x ＜1 時,x-x2＜sinx ＜x.

(2) 已知函數(shù)f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的極大值點,求a的取值范圍.

評注此解法充分利用極值點的概念,由于極值點為函數(shù)的局部性質(zhì),只需將區(qū)間限制在充分小的區(qū)間上,再利用極限保不等式性,得到答案的必要條件,使得參數(shù)范圍縮小,在進一步驗證充分性,完美解答此題,此題其它解法見[4].

3 應(yīng)用提升

題1(2019 年高考新課標(biāo)1 文數(shù)第19 題) 已知函數(shù)f(x)=2 sinx-xcosx-x,f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明:f′(x)在區(qū)間(0,π)存在唯一零點;

(2)若x ∈[0,π]時,f(x)≥ax,求a的取值范圍.

解析(1)略;(2)a的取值范圍是(-∞,0].

題2(2018 年新課標(biāo)3 卷理科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0,證明: 當(dāng)-1＜x ＜0 時,f(x)＜0;當(dāng)x ＞0 時,f(x)＞0;

(2)若x=0是f(x)的極大值點,求a.

解(1)略;(2)a=-

題3(2016 年高考全國2 卷文科數(shù)學(xué)第20 題)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

(1)當(dāng)a=4 時,求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;

(2)當(dāng)x ∈(1,+∞)時,f(x)＞0,求a的取值范圍.

解(1)略;(2)a的取值范圍是(-∞,2].

4.總結(jié)

函數(shù)極限保不等式性是解決導(dǎo)數(shù)恒成立問題的一把利器,是一種通性通法,在高三復(fù)習(xí)時,要重視教材的基礎(chǔ)作用和示范作用,講清數(shù)學(xué)概念、原理、方法等,落實四基、四能.對導(dǎo)數(shù)中的一些經(jīng)典問題既要講清通性通法的求解,又要深入挖掘其中的本質(zhì),優(yōu)化解題方法,要不厭其煩地將其中的分析求解過程呈現(xiàn)給學(xué)生,培養(yǎng)學(xué)生的分析推理能力,優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì),提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).由于歷年高考試題具有較強的指導(dǎo)意義,因此要加強真題研究,挖掘高考題的作用,舉一反三、融會貫通,進而提升備考效率,希望本文對讀者的學(xué)習(xí)有一定的啟發(fā)作用.