姜 萌

(1 西安科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 西安 710054)

(2 西安工程大學(xué)電子信息學(xué)院 西安 710048)

(3 浙江偉盈智能科技股份有限公司 諸暨 311800)

1 引言

高精度時(shí)間是一個(gè)國(guó)家綜合國(guó)力的體現(xiàn)之一,被廣泛應(yīng)用于社會(huì)生活、經(jīng)濟(jì)、軍事等領(lǐng)域[1-2].目前,國(guó)際原子時(shí)是利用全世界七十多家時(shí)間實(shí)驗(yàn)室的六百多臺(tái)守時(shí)型原子鐘加權(quán)平均產(chǎn)生[3].守時(shí)型原子鐘主要分兩種類型: 氫原子鐘和銫原子鐘[4].氫鐘具有良好的短時(shí)特性,而長(zhǎng)時(shí)間特性較差;銫鐘的長(zhǎng)期穩(wěn)定性良好,但短時(shí)波動(dòng)性較大[5-6].如何合理利用兩類原子鐘優(yōu)勢(shì),是提升綜合時(shí)間尺度性能的關(guān)鍵.目前的氫銫聯(lián)合時(shí)間尺度模型主要采用加權(quán)平均方式產(chǎn)生,根據(jù)原子鐘歷史數(shù)據(jù)設(shè)置權(quán)重,更注重綜合時(shí)間尺度的長(zhǎng)期穩(wěn)定度[7].文獻(xiàn)[8]為了充分利用氫原子鐘的短期優(yōu)勢(shì),以氫原子鐘作為參考時(shí)間尺度計(jì)算銫原子鐘噪聲,接著對(duì)銫原子鐘濾波并扣去鐘速,其次估計(jì)氫原子鐘頻率及頻漂參數(shù),將扣除頻漂和鐘速的氫原子鐘數(shù)據(jù)用于綜合時(shí)間尺度的計(jì)算.文獻(xiàn)[9]中以全銫鐘產(chǎn)生的時(shí)間尺度作為參考估計(jì)每臺(tái)氫原子鐘的頻率及頻漂參數(shù),然后經(jīng)小波濾波減弱氫原子鐘噪聲,最終產(chǎn)生綜合時(shí)間尺度.以上研究結(jié)果表明,以氫原子鐘為基準(zhǔn)測(cè)量銫原子鐘的主要噪聲是高斯白噪聲,經(jīng)過(guò)濾波去除噪聲后,其短期性能還是會(huì)受到銫原子鐘噪音的干擾.通過(guò)小波變換雖然可以有效減小銫原子鐘噪聲,但必須兼顧分解層數(shù)、小波函數(shù)的選取等問(wèn)題,而這些主觀因素也直接決定了小波濾波的有效性,從而可能對(duì)綜合時(shí)間尺度性能產(chǎn)生影響.

本文進(jìn)一步對(duì)守時(shí)型原子鐘綜合時(shí)間尺度產(chǎn)生方法進(jìn)行了探索,并對(duì)不同類型時(shí)間尺度的聯(lián)合技術(shù)展開(kāi)了深入研究.通過(guò)改進(jìn)的二次指數(shù)平滑方法產(chǎn)生氫鐘時(shí)間尺度、利用加權(quán)平均算法產(chǎn)生銫鐘時(shí)間尺度,利用Vondrak-Cepek (V-C)平滑對(duì)兩類時(shí)間尺度有效組合,改善守時(shí)型原子鐘綜合時(shí)間尺度準(zhǔn)確度和穩(wěn)定度指標(biāo).首先基于最小誤差的理論基礎(chǔ),對(duì)氫鐘頻漂參數(shù)預(yù)測(cè)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,以更準(zhǔn)確地估計(jì)該參數(shù);然后利用二次指數(shù)平滑方法產(chǎn)生全氫鐘時(shí)間尺度;最后利用V-C平滑方法將兩類原子鐘組時(shí)間尺度進(jìn)行結(jié)合,改善守時(shí)型原子鐘綜合時(shí)間尺度性能.

本文提出的方法的主要?jiǎng)?chuàng)新如下:

1.以最小誤差理論為指導(dǎo),建立氫原子鐘頻率漂移參數(shù)預(yù)測(cè)模型,改善氫原子鐘鐘差預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性;

2.提出在時(shí)間尺度層面對(duì)不同類型原子鐘數(shù)據(jù)進(jìn)行融合的概念,設(shè)計(jì)V-C濾波方法,優(yōu)選參數(shù),并利用全氫鐘時(shí)間尺度的一階導(dǎo)數(shù)改善全銫鐘時(shí)間尺度性能,最終實(shí)現(xiàn)氫銫綜合時(shí)間尺度長(zhǎng)短期穩(wěn)定度性能的提升.

2 理論基礎(chǔ)

2.1 二次指數(shù)平滑鐘差預(yù)測(cè)方法

傳統(tǒng)的二次指數(shù)平滑方法的主要步驟是鐘差預(yù)測(cè)、鐘速預(yù)測(cè)及每臺(tái)原子鐘權(quán)重的確定.以當(dāng)前時(shí)間t的鐘差測(cè)量數(shù)據(jù)為依據(jù),對(duì)下一時(shí)刻的鐘差進(jìn)行估計(jì),

其中Xi(t)、Yi(t)分別是鐘i在時(shí)刻t的鐘差和速率,τ是測(cè)量的時(shí)間間隔,d是原子鐘頻漂參數(shù),τ)是原子鐘i在(t+τ)時(shí)刻的鐘差估計(jì).同時(shí),根據(jù)原子鐘鐘差的數(shù)據(jù)特點(diǎn),對(duì)應(yīng)于n臺(tái)原子鐘可得到n個(gè)主鐘與“紙面時(shí)”的差.最后,對(duì)上述所得的n個(gè)主鐘與“紙面時(shí)”的差進(jìn)行合理的加權(quán)產(chǎn)生最優(yōu)的時(shí)間尺度,

其中Xj(t+τ)是原子鐘j在(t+τ)時(shí)刻的鐘差,wi為第i臺(tái)原子鐘權(quán)重,Xij(t+τ)表示在(t+τ)時(shí)刻原子鐘i和j的鐘差測(cè)量值.d的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度直接影響原子鐘鐘差預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度,進(jìn)而影響綜合時(shí)間尺度性能.

2.2 優(yōu)化的二次指數(shù)平滑方法模型

利用預(yù)測(cè)誤差動(dòng)態(tài)估計(jì)氫原子鐘頻率漂移參數(shù),相比傳統(tǒng)二次指數(shù)平滑鐘差估計(jì),增加了預(yù)測(cè)間隔參數(shù).在該時(shí)間段內(nèi),根據(jù)預(yù)測(cè)誤差RMS(Root Mean Square)最小原則對(duì)d和平均時(shí)間進(jìn)行最優(yōu)估計(jì),從而提升鐘差估計(jì)的準(zhǔn)確度.

預(yù)測(cè)算子表達(dá)式如下

預(yù)測(cè)誤差定義為

其中Δ(τ1)表示測(cè)量間隔為τ1時(shí)的鐘差值和預(yù)測(cè)值之差.

預(yù)測(cè)誤差RMS為

其中f為原子鐘頻率,sxx表示原子鐘鐘差的離差平方和.傳遞函數(shù)|H(j2πf)|2的定義如下,

2.3 Vondrak-Cepek平滑建模

優(yōu)化的二次指數(shù)平滑方法產(chǎn)生氫鐘時(shí)間尺度,改善的加權(quán)平均方法得到全銫鐘時(shí)間尺度,最后對(duì)兩種不同類型的時(shí)間尺度進(jìn)行有機(jī)結(jié)合.這里全銫鐘時(shí)間尺度(TA-Cs)用m(t)表示,它是時(shí)間t的函數(shù),在t時(shí)刻的一階導(dǎo)數(shù)定義為

其中τCs表示銫原子鐘的鐘差測(cè)量間隔.M(t)表示全氫鐘時(shí)間尺度(TA-H),其一階導(dǎo)數(shù)定義為

其中τH表示氫原子鐘的鐘差測(cè)量間隔.m′(t)和M′(t)表示兩類鐘組時(shí)間尺度速率.如果銫原子鐘和氫原子鐘測(cè)量間隔相同,則m′(t)=M′(t).則有

其中MJD (Modified Julian Day)為簡(jiǎn)化儒略日.銫鐘組時(shí)間尺度的估計(jì)計(jì)算如下:

其中Δt表示時(shí)間間隔.

本文在計(jì)算時(shí),選擇的原子鐘數(shù)據(jù)測(cè)量間隔為1 h,因此兩種原子鐘的測(cè)量間隔相同.那么全銫鐘時(shí)間尺度在下一時(shí)刻的鐘差估計(jì)可以使用此時(shí)全銫鐘時(shí)間尺度鐘差值與全氫鐘時(shí)間尺度鐘速和時(shí)間間隔乘積的和產(chǎn)生.原子鐘數(shù)據(jù)測(cè)量間隔的選取也對(duì)時(shí)間尺度的性能有著很大的影響.測(cè)量間隔過(guò)大,對(duì)于氫原子鐘來(lái)說(shuō)在該測(cè)量區(qū)間的頻漂變大,綜合時(shí)間尺度準(zhǔn)確性將受影響;測(cè)量頻率過(guò)大,原子鐘自身的噪聲可能被測(cè)量噪聲所掩蓋,導(dǎo)致原子鐘準(zhǔn)確建模更加困難,最終影響時(shí)間尺度性能.

2.4 算法優(yōu)勢(shì)

文獻(xiàn)[8]中產(chǎn)生氫銫綜合時(shí)間尺度的方法是以高性能氫原子鐘作為測(cè)量參考,獲取每臺(tái)銫原子鐘相對(duì)于該高性能氫原子鐘的鐘差,然后對(duì)每臺(tái)銫原子鐘鐘差數(shù)據(jù)利用數(shù)學(xué)濾波方法去除噪聲,再利用最小二乘法對(duì)銫鐘鐘差數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,估計(jì)每臺(tái)銫原子鐘鐘速,并將其扣除以備使用.同時(shí)氫原子鐘頻率和頻漂參數(shù)是利用二次擬合方法進(jìn)行預(yù)測(cè),最后將扣去鐘速的銫鐘和扣去鐘速頻漂的氫鐘組成守時(shí)鐘組,利用加權(quán)平均方法產(chǎn)生綜合時(shí)間尺度.而本文所提方法避免了使用氫鐘作為測(cè)量基準(zhǔn),利用改進(jìn)的二次平滑動(dòng)態(tài)估計(jì)氫原子鐘參數(shù)產(chǎn)生氫鐘組時(shí)間尺度,并利用加權(quán)平均算法產(chǎn)生銫鐘時(shí)間尺度,最后采用V-C平滑結(jié)合兩類鐘組時(shí)間尺度的長(zhǎng)短期優(yōu)勢(shì).該方法利用最優(yōu)估計(jì)方法動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)氫鐘頻漂參數(shù),較二次擬合方法的頻漂參數(shù)估計(jì)更為準(zhǔn)確合理.同時(shí),利用加權(quán)平均方法產(chǎn)生銫鐘時(shí)間尺度,利用二次平滑方法產(chǎn)生氫鐘時(shí)間尺度.算法選擇時(shí)考慮了加權(quán)平均方法依據(jù)原子鐘所有歷史信息來(lái)分配權(quán)重,更注重時(shí)間尺度的長(zhǎng)期性能,適合長(zhǎng)期性能更好的銫原子鐘組;二次指數(shù)平滑方法則更關(guān)注時(shí)間尺度實(shí)時(shí)性,更適合短期性能良好的氫原子鐘組.最終采用V-C聯(lián)合平滑方法綜合兩類時(shí)間尺度優(yōu)勢(shì),提升綜合時(shí)間尺度性能.

3 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

3.1 算法設(shè)計(jì)

本文基于Fortran語(yǔ)言,在Visual Studio編譯環(huán)境開(kāi)發(fā)了一套軟件系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)改進(jìn)的二次指數(shù)平滑(OX)和V-C平滑(OX+V-C)氫銫綜合時(shí)間尺度算法.圖1為OX+V-C方法設(shè)計(jì)過(guò)程.OX+V-C實(shí)現(xiàn)主要包括如下幾個(gè)環(huán)節(jié):d的估計(jì)、n臺(tái)原子鐘與“紙面時(shí)”的時(shí)差預(yù)測(cè)、每臺(tái)原子鐘取權(quán)、主鐘與“紙面時(shí)”的時(shí)差預(yù)測(cè)及鐘速預(yù)測(cè)、氫鐘組改進(jìn)二次指數(shù)平滑時(shí)間尺度、銫鐘組加權(quán)平均時(shí)間尺度、全氫鐘時(shí)間尺度鐘速產(chǎn)生、V-C濾波器設(shè)計(jì)及結(jié)果評(píng)估.

圖1 OX+V-C氫銫綜合時(shí)間尺度算法流程Fig.1 The algorithm flow of the comprehensive time scale of OX+V-C hydrogen masers and cesium atomic clocks

3.2 實(shí)驗(yàn)過(guò)程及結(jié)果分析

本實(shí)驗(yàn)以氫原子鐘和銫原子鐘為研究對(duì)象,3臺(tái)氫鐘和3臺(tái)銫鐘構(gòu)成守時(shí)鐘組.選擇MJD59945-59975 (2023年1月1日到1月31日)的原子鐘數(shù)據(jù)進(jìn)行本文所提方法有效性驗(yàn)證.首先,根據(jù)最小誤差理論估計(jì)每臺(tái)氫原子鐘頻率漂移參數(shù)并設(shè)計(jì)指數(shù)濾波器,計(jì)算改進(jìn)二次指數(shù)平滑時(shí)間尺度TA-DH.為分析該方法對(duì)時(shí)間尺度性能的提升,與傳統(tǒng)二次指數(shù)平滑的全氫鐘時(shí)間尺度進(jìn)行了對(duì)比.根據(jù)氫原子鐘最后5 d鐘差數(shù)據(jù)的二次擬合對(duì)頻率漂移參數(shù)進(jìn)行估計(jì),并計(jì)算二次指數(shù)平滑時(shí)間尺度TAH,結(jié)果如圖2.同時(shí)計(jì)算兩種時(shí)間尺度的阿倫偏差(ADEV),結(jié)果如表1所示.

表1 改進(jìn)二次指數(shù)平滑時(shí)間尺度和二次指數(shù)平滑時(shí)間尺度阿倫偏差Table 1 The Allan deviation (ADEV) of improved quadratic exponential smoothing time scale and quadratic exponential smoothing time scale

圖2 改進(jìn)二次指數(shù)平滑時(shí)間尺度和二次指數(shù)平滑時(shí)間尺度Fig.2 Improved quadratic exponential smoothing time scale and quadratic exponential smoothing time scale

由圖2可知,改進(jìn)的二次指數(shù)平滑得到的時(shí)間尺度在31 d的時(shí)間間隔中,偏差在4 ns以內(nèi),而固定頻漂方法產(chǎn)生的時(shí)間尺度在相同時(shí)間段內(nèi)的偏差在8 ns之內(nèi).故所提改進(jìn)的二次指數(shù)平滑方法可有效改善全氫鐘時(shí)間尺度的準(zhǔn)確度.由表1得,TA-DH較TA-H在不同的平均時(shí)間下的阿倫偏差值小,說(shuō)明改進(jìn)的二次指數(shù)平滑時(shí)間尺度長(zhǎng)短期穩(wěn)定度略優(yōu)于相同鐘組采用傳統(tǒng)方法計(jì)算的時(shí)間尺度.TA-DH在1 h的穩(wěn)定度為1.29 × 10-14,天穩(wěn)定度為7.0×10-15.綜上所述,改進(jìn)的二次指數(shù)平滑方法可以有效提升時(shí)間尺度的準(zhǔn)確度,同時(shí)對(duì)穩(wěn)定度指標(biāo)也有所改善.

然后,通過(guò)加權(quán)平均算法產(chǎn)生銫鐘組時(shí)間尺度TA-Cs.全銫鐘時(shí)間尺度短期波動(dòng)大,而長(zhǎng)期波動(dòng)較小;全氫鐘時(shí)間尺度則相反,這種情況與V-C平滑理論模型非常相符.最后,通過(guò)計(jì)算全氫鐘時(shí)間尺度一階差分,根據(jù)V-C平滑算法計(jì)算氫銫綜合時(shí)間尺度,時(shí)間尺度曲線見(jiàn)圖3.圖4是3臺(tái)銫鐘加權(quán)平均產(chǎn)生的時(shí)間尺度與OX+V-C時(shí)間尺度殘差分布情況.從圖3可得,兩條曲線走向一致,但OX+VC曲線較TA-Cs平滑很多,證明該方法有效改善了時(shí)間尺度的短期波動(dòng)且保留了全銫鐘時(shí)間尺度的長(zhǎng)期性能.同時(shí),采用全銫鐘時(shí)間尺度與OX+VC時(shí)間尺度之間的均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行評(píng)估,RMSE=0.02,表明V-C平滑方法得到的時(shí)間尺度能夠跟隨TA-Cs的趨勢(shì),保留其大部分信息,以有效利用全銫鐘時(shí)間尺度長(zhǎng)期優(yōu)勢(shì).圖4可得,兩種時(shí)間尺度殘差在0值左右波動(dòng),其殘差也服從正態(tài)時(shí)間分布規(guī)律,這與白噪聲特性吻合.

圖3 氫銫融合時(shí)間尺度和全銫鐘時(shí)間尺度Fig.3 The comprehensive time scale of hydrogen masers and cesium atomic clocks and time scale of all cesium clocks

圖4 氫銫融合時(shí)間尺度和全銫鐘時(shí)間尺度殘差分布Fig.4 Time scale residual distribution of hydrogen maser and cesium atomic clock and all cesium clock

為檢驗(yàn)OX+V-C氫銫綜合時(shí)間尺度方法長(zhǎng)短期穩(wěn)定度是否有所改善,本文也基于AT1、ALGOS以及Kalman濾波的3種經(jīng)典算法產(chǎn)生的綜合時(shí)間尺度相應(yīng)指標(biāo)進(jìn)行了比較.首先將3臺(tái)氫鐘扣去頻率漂移對(duì)鐘差的影響,再與3臺(tái)銫鐘參與計(jì)算,并利用傳統(tǒng)AT1、ALGOS和Kalman濾波3種算法產(chǎn)生的綜合時(shí)間尺度.時(shí)間尺度結(jié)果見(jiàn)圖5.紅色曲線代表ALGOS方法產(chǎn)生的氫銫綜合時(shí)間尺度,藍(lán)色曲線代表AT1方法產(chǎn)生的氫銫綜合時(shí)間尺度,綠色曲線表示本文所提方法OX+V-C產(chǎn)生的氫銫綜合時(shí)間尺度,黑色曲線為Kalman濾波算法產(chǎn)生的氫銫綜合時(shí)間尺度.從圖5可看出,OX+V-C時(shí)間尺度曲線比其他3條平滑,且在一個(gè)月的時(shí)間間隔內(nèi),時(shí)間偏差量最小.同時(shí),計(jì)算以上4種綜合時(shí)間尺度的阿倫偏差,數(shù)據(jù)指標(biāo)和分布情況見(jiàn)表2和圖6.從表2和圖6可得,OX+V-C時(shí)間尺度在1 h穩(wěn)定度為1.60 × 10-15,天穩(wěn)定度為3.0 × 10-15,小于AT1、ALGOS、Kalman濾波3種方法產(chǎn)生的時(shí)間尺度對(duì)應(yīng)指標(biāo).因此,進(jìn)一步說(shuō)明論文中所提方法的長(zhǎng)短期穩(wěn)定度均優(yōu)于3種經(jīng)典方法得到的時(shí)間尺度穩(wěn)定度.同時(shí)證明了該方法能有效利用兩類原子鐘組時(shí)間尺度優(yōu)勢(shì),進(jìn)一步提升綜合時(shí)間尺度性能.

表2 ALGOS、AT1、Kalman和OX+V-C算法方法綜合時(shí)間尺度穩(wěn)定度指標(biāo)Table 2 The stability indicator of comprehensive time scale for ALGOS,AT1,Kalman,and OX+V-C methods

圖5 ALGOS、AT1、Kalman和OX+V-C算法的氫銫綜合時(shí)間尺度Fig.5 Comprehensive time scales of hydrogen maser and cesium atomic clock for ALGOS,AT1,Kalman,and OX+V-C methods

圖6 ALGOS、AT1、Kalman和OX+V-C算法方法綜合時(shí)間尺度阿倫偏差趨勢(shì)圖Fig.6 The trend of Allan deviation of comprehensive time scale of ALGOS,AT1,Kalman,and OX+V-C methods

同時(shí),本文也利用同樣的守時(shí)鐘組原子鐘數(shù)據(jù),依據(jù)文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]中采用的氫銫綜合時(shí)間尺度計(jì)算方法分別產(chǎn)生兩種融合時(shí)間尺度TA1和TA2;利用優(yōu)化的二次平滑方法分別產(chǎn)生氫鐘組和銫鐘組時(shí)間尺度,再經(jīng)V-C平滑產(chǎn)生綜合時(shí)間尺度TAEF-VC.分別計(jì)算3類時(shí)間尺度的穩(wěn)定性指標(biāo),并與本文所提方法進(jìn)行了比較,結(jié)果見(jiàn)表3.從表3中可看出,本文所提方法OX+V-C產(chǎn)生的綜合時(shí)間尺度時(shí)穩(wěn)及天穩(wěn)都高于其他3種時(shí)間尺度的對(duì)應(yīng)指標(biāo),進(jìn)一步證明了OX+V-C算法在本文選定的6臺(tái)原子鐘數(shù)據(jù)計(jì)算中性能最優(yōu).而本文所提方法產(chǎn)生的時(shí)間尺度穩(wěn)定性指標(biāo)也比TA-EF-VC方法更好,分析原因是由于銫鐘無(wú)頻漂項(xiàng),優(yōu)化的二次平滑方法主要針對(duì)氫鐘的頻漂進(jìn)行最優(yōu)估計(jì),關(guān)注時(shí)間尺度的短期穩(wěn)定度,更適合短期性能較好的氫鐘組.

表3 TA1、TA2、TA-EF-VC、OX+V-C綜合時(shí)間尺度穩(wěn)定度指標(biāo)Table 3 The stability indicator of comprehensive time scale of TA1,TA2,TA-EF-VC and OX+V-C

4 結(jié)論

本文基于優(yōu)化的二次指數(shù)平滑和V-C平滑方法,建立一種新的守時(shí)型原子鐘時(shí)間尺度產(chǎn)生模型,通過(guò)氫鐘組時(shí)間尺度的導(dǎo)數(shù)信息改善銫鐘組時(shí)間尺度短期噪聲大的問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)了全氫鐘和全銫鐘在時(shí)間尺度層面的結(jié)合.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文所提方法產(chǎn)生的綜合時(shí)間尺度1 h穩(wěn)定度達(dá)1.60 ×10-15,天穩(wěn)定度達(dá)3.0 × 10-15,較ALGOS、AT1和Kalman濾波3種傳統(tǒng)方法計(jì)算的綜合時(shí)間尺度長(zhǎng)短期性能有明顯提高,達(dá)到了預(yù)期效果,證明了本文所提方法的有效性.