黃俊迦 杜蘭 劉澤軍 張中凱 周佩元 劉隆迪

(信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院 鄭州 450001)

1 引言

地球靜止軌道(Geostationary Earth Orbit,GEO)因其軌道資源的獨(dú)特性與稀缺性,成為各國相互爭奪的重要太空資源[1-4].由于攝動力等因素的影響,GEO目標(biāo)需要頻繁地實(shí)施機(jī)動以保持在分配的定點(diǎn)區(qū)間內(nèi).這種位保機(jī)動破壞了常規(guī)定軌精度的連續(xù)一致性,因此機(jī)動后的快速軌道恢復(fù)對GEO目標(biāo)的常規(guī)管理至關(guān)重要[5].

針對非合作GEO目標(biāo)的監(jiān)視預(yù)警,還要應(yīng)對各種隨機(jī)的特殊任務(wù)機(jī)動,因此監(jiān)測系統(tǒng)的快速響應(yīng)能力也極為迫切.連線干涉測量(Connected Element Interferometry,CEI)是一種基于衛(wèi)星下行射電信號的被動測量方式,可以全天候跟蹤非合作GEO目標(biāo)且具有隱蔽性,已被應(yīng)用于GEO衛(wèi)星的日常機(jī)動監(jiān)視和軌道確定[6].

但是,GEO目標(biāo)機(jī)動后的快速軌道恢復(fù)屬于短弧定軌.由于GEO目標(biāo)的靜地特性,地基跟蹤的軌道力學(xué)約束弱,短弧定軌通常有較強(qiáng)奇異性,從而難以保證精度.文獻(xiàn)[7]依據(jù)測角定軌原理,分析了測軌弧長和測站數(shù)對非合作GEO衛(wèi)星定軌預(yù)報精度的影響.小于4 h弧段的單站定軌,位置誤差均大于3 km;雙站8 h弧長定軌,精度可優(yōu)于3 km.但該方法數(shù)據(jù)累積時間長,對測站構(gòu)型要求較高.文獻(xiàn)[8]提出基于9參數(shù)星歷擬合的短弧運(yùn)動學(xué)定軌方法,針對參數(shù)擬合的奇異問題提出了解決措施.利用C頻段測距對北斗GEO衛(wèi)星的實(shí)驗(yàn)表明,10 min短弧定軌和5 min預(yù)報的位置精度均優(yōu)于20 m,但該方法僅適用于合作目標(biāo).

針對GEO非合作目標(biāo)的CEI短弧定軌的奇異性,提出一種自適應(yīng)優(yōu)化半長軸和附加先驗(yàn)軌道約束的短弧定軌算法.CEI觀測量對衛(wèi)星徑向信息不敏感,表現(xiàn)為形虧,而半長軸與平經(jīng)度有較強(qiáng)誤差相關(guān)性,表現(xiàn)為數(shù)虧.因此,通過附加先驗(yàn)方差約束以減弱算法的病態(tài)性,并針對軌道半長軸的初值對定軌結(jié)果影響大的現(xiàn)象,提出了半長軸初值的自適應(yīng)優(yōu)化方法.利用鄭州的CEI測軌系統(tǒng)對亞太七號衛(wèi)星的實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了該算法對短弧定軌和預(yù)報的精度提升,為GEO機(jī)動后的快速軌道恢復(fù)提供了改進(jìn)依據(jù).

2 CEI短弧定軌原理

2.1 測軌方程

CEI系統(tǒng)的測量原理如圖1所示,CEI觀測量是基線兩端天線接收到的下行信號經(jīng)互相關(guān)后得到的不足一個波長的相位差[9-11].圖中基線AB上的量測方程為:

圖1 CEI系統(tǒng)測量原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of CEI system measurement principle

式中,φ表示相位差觀測值(以長度為單位),λ和N為信號的波長和整周模糊度;ρA與ρB表示衛(wèi)星至主站A與副站B的距離.r(t0)表示衛(wèi)星信號發(fā)出時刻t0衛(wèi)星位置向量,RA和RB則分別是主副站在接收時刻t1和t2的位置向量.Δtclock表示站間鐘同步偏差;Δρa(bǔ)tm和Δρins為大氣傳播延遲和設(shè)備延遲的站間差;ε為觀測噪聲.

連線式CEI通常為數(shù)十米至數(shù)十千米的短基線,相對于高軌靜地GEO衛(wèi)星,相位差觀測量可看作是一種高精度的測角觀測量[12-14].為了使GEO衛(wèi)星的天球面指向精準(zhǔn),至少需要兩條相交基線,最為理想的是兩條正交基線.

需要指出的是,使用CEI相位差觀測的前提是已知整周模糊度N.由于常規(guī)機(jī)動對GEO軌位的改變通常在千米級,且基線越短對這種變軌越不敏感,因此短基線條件下,可以采用機(jī)動前的模糊度解算值.

2.2 短弧定軌方法

GEO衛(wèi)星的初軌狀態(tài)量,在地心慣性系(Earth Center Inertial Coordinates System,ECI)下通常采用專用于小偏心率和小傾角的第二類無奇點(diǎn)根數(shù)表示,即σ0=(a,e,i,λ0)T.它與經(jīng)典開普勒軌道根數(shù)的關(guān)系如下[15-18]:

式中,e為二維偏心率向量;i是二維傾角向量;?ω=Ω+ω;λ0稱為初始時刻的平經(jīng)度,從春分點(diǎn)計量至該時刻的衛(wèi)星位置;M0為初始時刻的平近點(diǎn)角.開普勒軌道根數(shù)(a,e,i,Ω,ω,M)分別表示軌道半長軸、偏心率、軌道傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)、近點(diǎn)角距和平近點(diǎn)角.

短弧定軌的力模型可僅考慮二體問題,弧段內(nèi)任意時刻tj的線性化觀測誤差方程可表示為:

其中δσ0是初軌狀態(tài)的改正數(shù)向量,Δφj是觀測值與理論計算值的差值(即O-C),vj稱為觀測殘差,系數(shù)矩陣為

式中的復(fù)合偏導(dǎo)數(shù)不再贅述.

采用最小二乘平差,即滿足VTP V=min,則可求解初軌狀態(tài)量的最佳改正數(shù)向量:

其中,V是觀測殘差組成的列向量,P是觀測權(quán)矩陣,l是自由項,即弧段內(nèi)Δφj組成的列向量;由于GEO對地的構(gòu)型基本不變,權(quán)矩陣P可取單位陣.

3 短弧定軌的改進(jìn)算法

由于精度要求不高,短弧定軌也可以直接在地心地固系(Earth Centered Earth Fixed System,ECEF)下實(shí)現(xiàn).二體問題下的ECEF初軌狀態(tài),僅需要將第二類無奇點(diǎn)根數(shù)的歷元平經(jīng)度λ0改換為歷元時刻的定點(diǎn)經(jīng)度λe0,即

式中S0是t0時刻的格林尼治時角.

若忽略小傾角和小偏心率的影響,任意時刻t的定點(diǎn)經(jīng)度λe能夠反映GEO衛(wèi)星的對地變化,即

式中n和ne分別是衛(wèi)星運(yùn)動和地球自轉(zhuǎn)的平均角速率,由于GEO的靜地特性,二者僅有微小偏差.

此外,依據(jù)GEO工作衛(wèi)星的軌位分配機(jī)制,定點(diǎn)經(jīng)度λe通常規(guī)定在標(biāo)稱經(jīng)度附近的±0.1°內(nèi)變化,這也為該參數(shù)的先驗(yàn)約束帶來了便利[19].

3.1 病態(tài)性分析

基于CEI的GEO短弧定軌有較強(qiáng)的病態(tài)性,表現(xiàn)為相互關(guān)聯(lián)的形虧和數(shù)虧.

(1)因CEI測角本質(zhì)導(dǎo)致的形虧

CEI的短基線使得高軌衛(wèi)星下行信號的球面波傳播可理想化為平面波傳播.此時,CEI相位差表現(xiàn)為衛(wèi)星相對于基線的方向變化信息,CEI干涉測角示意圖如圖2所示.因此,這種“測角”類型觀測量對衛(wèi)星的徑向位置不敏感,且GEO靜地特性決定了其較弱的軌道力學(xué)約束,短弧情況下約束性更加弱化[20].在缺乏衛(wèi)星測距觀測量的情況下,僅基于CEI的GEO短弧定軌模型魯棒性差,導(dǎo)致無法解算半長軸a.

圖2 CEI干涉測角示意圖Fig.2 Angular measurement of CEI

(2)因軌道狀態(tài)參數(shù)相關(guān)性引起的數(shù)虧

由開普勒第三定律n2a3=μ(μ是地球引力常數(shù)),定點(diǎn)經(jīng)度λe與半長軸a的改正數(shù)之間存在線性漂移,即

式中,Δλe為定點(diǎn)經(jīng)度的變化量,Δn為衛(wèi)星運(yùn)動平均角速率和地球自轉(zhuǎn)平均角速率的差值,Δa為半長軸的變化量.

前面分析了CEI的形虧使得短弧定軌無法改進(jìn)半長軸a,這里半長軸的初值偏差又將直接引起定點(diǎn)經(jīng)度的線性漂移.因此,歷元時刻定點(diǎn)經(jīng)度λe0的解算精度與半長軸初值的精度具有密切關(guān)系,若處理不好兩者均難以得到改進(jìn).

3.2 改進(jìn)算法

為了削弱短弧定軌的病態(tài)性,必須引進(jìn)先驗(yàn)軌道約束.除了增加常規(guī)的參數(shù)先驗(yàn)協(xié)方差約束,還必須確定最優(yōu)的半長軸初值.

(1)附加先驗(yàn)約束

依據(jù)GEO的機(jī)動特性和定點(diǎn)控制區(qū)規(guī)定,部分初軌參數(shù)的先驗(yàn)均方差約束為: 半長軸a取±20 km,歷元時刻的定點(diǎn)經(jīng)度λe0和傾角分量iy取±0.1°.

附加先驗(yàn)約束的初軌改正法方程為:

顯然,先驗(yàn)約束的實(shí)質(zhì)就是增強(qiáng)法矩陣的正定性,從而改善矩陣求逆的病態(tài)問題.

(2)自適應(yīng)優(yōu)化半長軸初值

常規(guī)定軌對初值精度要求不高.以GEO衛(wèi)星為例,半長軸的初值可取為靜止軌道的標(biāo)稱值(42165.76 km),定點(diǎn)經(jīng)度的初值λe0可取為定點(diǎn)經(jīng)度的標(biāo)稱值,其他軌道參數(shù)均取0即可.

但是,在實(shí)際解算中發(fā)現(xiàn),若半長軸初值在標(biāo)稱值附近一定范圍內(nèi)隨機(jī)取值,解算精度會出現(xiàn)較大差異.在沒有其他輔助測量手段的前提下,本文經(jīng)驗(yàn)性地設(shè)計了一種自適應(yīng)選取半長軸初值的優(yōu)化算法.其流程如下: 截取靜止軌道標(biāo)稱值的±20 km作為探測窗口,以0.2 km為步長遍歷窗口并為半長軸賦初值,分別解算軌道.考察解算得到的偏心率序列(即將偏心率極小值對應(yīng)的半長軸作為半長軸的最佳初值.偏心率極小值也能夠一定程度上反映出GEO的近圓特性.

經(jīng)大量仿真和實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證,與采用固定靜止軌道半長軸標(biāo)稱值相比,該優(yōu)化算法的定軌精度更高,且更加穩(wěn)健.

4 實(shí)驗(yàn)

利用位于鄭州的L型正交雙基線CEI測軌系統(tǒng),對亞太七號(Asia-Pacific STAR 7,APSTAR 7)進(jìn)行短弧定軌和預(yù)報實(shí)驗(yàn).CEI的東西和南北基線分別為75 m和35 m,亞太七號下行Ku信標(biāo)信號的頻點(diǎn)為12.442 GHz.由于GEO機(jī)動后的數(shù)小時通常不提供精密軌道,為了驗(yàn)證算法分別采用了CEI的仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測數(shù)據(jù).

4.1 仿真實(shí)驗(yàn)

軌道仿真: 包含東西機(jī)動段在內(nèi)的1 d數(shù)據(jù).初始時刻為UTC (Coordinated Universal Time)2022-06-01 02:00:00,機(jī)動時段為當(dāng)天的07:10:06-07:30:06,共20 min.機(jī)動采用持續(xù)小推力,在近地點(diǎn)附近實(shí)施.仿真采用衛(wèi)星工具包(Satellite Tool Kit,STK)的Astrogator模塊,顧及了10×10階地球引力位、日月引力攝動和光壓.關(guān)鍵時刻的軌道根數(shù)見表1.

表1 APSTAR 7衛(wèi)星的開普勒軌道根數(shù)Table 1 Keplerian orbital elements of APSTAR 7

圖3是軌道半長軸和軌道傾角的時序.可以看出,非機(jī)動期間,半長軸有顯著的半天周期震蕩,機(jī)動期間軌道半長軸快速下降了4 km,軌道傾角則幾乎無變化.

圖3 東西機(jī)動的軌道半長軸和軌道傾角時序Fig.3 Semi-major axis and inclination series including the east-west maneuver

CEI數(shù)據(jù)仿真: 依據(jù)CEI的相位測量方程和7.5 mm隨機(jī)噪聲水平,仿真生成1 d的衛(wèi)星跟蹤數(shù)據(jù),采樣率為10 Hz.假定初始模糊度已知,且暫不考慮模糊度失鎖或周跳現(xiàn)象.

機(jī)動后軌道恢復(fù)及其精度評定: 利用機(jī)動結(jié)束后30 min內(nèi)的CEI數(shù)據(jù)解算弧段中間時刻的初軌改正,并外推10 min.仿真軌道作為真值用于評估短弧定軌-預(yù)報段的軌位精度.需要說明的是,為了保證蒙特卡洛仿真的算法穩(wěn)定性,仿真了20次CEI數(shù)據(jù),統(tǒng)計軌道解算精度.

在無軌道先驗(yàn)約束條件下,CEI短弧定軌不收斂.依據(jù)(10)式增加了部分參數(shù)的協(xié)方差約束條件后短弧定軌均收斂.

令半長軸的初值在靜止軌道的半長軸標(biāo)稱值附近-20 km-20 km窗口內(nèi)變化,短弧定軌的誤差均方根值(Root Mean Square,RMS)隨之變動,如圖4所示.圖中R、T和N分別是初軌位置誤差的徑向、切向和外法向分量.顯然,短弧定軌的精度對半長軸的初值采用值異常敏感,尤其是R位置分量,這與CEI的測角性質(zhì)一致.此外,可以看到初值取標(biāo)稱值時并非對應(yīng)于短弧定軌誤差最小的情況.

圖4 短弧定軌的位置誤差RMSFig.4 RMS of the positional errors of the short-arc orbit determination

為此,采用自適應(yīng)優(yōu)化求解半長軸初值的經(jīng)驗(yàn)算法.圖5給出了初值在半長軸標(biāo)稱值附近±20 km范圍內(nèi)求解的偏心率時序.令偏心率取極小值時對應(yīng)最佳的半長軸初值,可見該值比標(biāo)稱值低約15 km.

圖5 半長軸初值與短弧定軌解算的偏心率時序Fig.5 Initial values of semi-major axis and the solved eccentricities of the short-arc orbit determination

分別采用半長軸的標(biāo)稱值和優(yōu)化值作為初值進(jìn)行短弧定軌和預(yù)報.表2為20次仿真解算的軌位誤差RMS統(tǒng)計,圖6為其中一次解算的軌位誤差時序,圖中實(shí)線和虛線分別對應(yīng)30 min的短弧定軌段和10 min的預(yù)報段.可以看出: (1)由于CEI的測角本質(zhì),R分量的軌道恢復(fù)精度始終低于T和N分量,采用固定靜止軌道半長軸標(biāo)稱值時(圖a),R分量誤差接近10 km;(2)采用自適應(yīng)優(yōu)化的半長軸初值后,R分量改善最為顯著,R、T、N位置分量誤差的RMS均優(yōu)于3 km;(3)優(yōu)化后的半長軸初值,20次的計算平均值比標(biāo)稱值小14.76 km,且該數(shù)值的波動性不大(見表2).

表2 仿真數(shù)據(jù)的短弧定軌和預(yù)報誤差RMS統(tǒng)計Table 2 Error RMS statistics of the short-arc orbit determination and orbit prediction with simulation data

圖6 仿真數(shù)據(jù)的兩種半長軸初值對應(yīng)的短弧定軌和預(yù)報精度Fig.6 The short-arc orbit determination and orbit prediction accuracy with two adopted semi-major axes for simulation data

4.2 實(shí)測數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

目前機(jī)動力的高精度建模尚有困難,機(jī)動后通常需要重新累積測軌數(shù)據(jù),因此機(jī)動后的數(shù)小時內(nèi)無法實(shí)現(xiàn)長弧定軌[21-22].為了模擬機(jī)動后的快速軌道恢復(fù)場景,在亞太七號的非機(jī)動期間(2019年1月7日至10日)分別截取了4段CEI數(shù)據(jù)進(jìn)行短弧定軌,并利用國家授時中心提供的基于測距的長弧定軌結(jié)果(米級精度)進(jìn)行外符合精度評估.CEI測量系統(tǒng)的配置和亞太七號的定點(diǎn)經(jīng)度等與仿真實(shí)驗(yàn)一致.

采用相同的先驗(yàn)信息約束進(jìn)行30 min短弧定軌和10 min預(yù)報,考察了兩種半長軸初值方案:

方案A-采用靜止軌道的半長軸標(biāo)稱值;

方案B-采用自適應(yīng)優(yōu)化的半長軸.

圖7和表3給出了4次實(shí)驗(yàn)的短弧定軌-預(yù)報精度,圖中pos表示位置誤差.對比A、B兩個方案,可以看出: (1)自適應(yīng)優(yōu)化得到的半長軸初值較為穩(wěn)定,比方案A的固定標(biāo)稱值小7.5-10 km;(2)優(yōu)化后的半長軸初值對軌道恢復(fù)精度改善顯著,尤其是R分量,不僅是短弧定軌段,還極大改進(jìn)了預(yù)報精度,三維位置整體預(yù)報精度從A方案的5 km減小到3.5 km左右,前3段甚至優(yōu)于1.5 km.

圖7 實(shí)測數(shù)據(jù)的短弧定軌和預(yù)報精度比較(A: 采用靜止軌道的半長軸標(biāo)稱值,B: 采用自適應(yīng)優(yōu)化的半長軸)Fig.7 Comparisons of the short-arc orbit determination and orbit prediction accuracy with real data (A: With nominal value,B: With optimized value)

因此,對于非合作GEO目標(biāo)公里級的軌道恢復(fù)精度來說,采用自適應(yīng)優(yōu)化的半長軸初值的B方案優(yōu)于采用靜止軌道半長軸標(biāo)稱值的A方案,能夠用于機(jī)動后的快速軌道恢復(fù).

5 結(jié)論

短基線相位干涉測量CEI是一種基于射電波段的高精度被動測角技術(shù),非常適合跟蹤非合作GEO目標(biāo).但是,純測角的GEO短弧定軌算法因病態(tài)性無法解算軌道半長軸,導(dǎo)致定軌精度不高甚至定軌失敗.

本文提出了一種自適應(yīng)先驗(yàn)軌道約束的CEI短弧定軌改進(jìn)算法.綜合利用了優(yōu)化半長軸初值和先驗(yàn)方差約束的策略,削弱了軌道解算的病態(tài)性并提高了定軌精度.基于75 m×35 m的正交雙基線CEI仿真和實(shí)測數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)表明,30 min短弧定軌和10 min預(yù)報的軌位精度優(yōu)于4 km.改進(jìn)算法為機(jī)動后GEO非合作目標(biāo)提供了可行的快速軌道恢復(fù)方案.

致謝感謝國家授時中心提供了亞太七號衛(wèi)星的軌道數(shù)據(jù).