趙向領(lǐng)，左 蕾，李云飛，徐吉輝

（1.中國民航大學(xué)空中交通管理學(xué)院，天津 300300，2.空軍工程大學(xué)裝備管理與無人機(jī)工程學(xué)院，西安 710051）

飛機(jī)的載重平衡是與民用航空貨運(yùn)直接相關(guān)的運(yùn)行保障工作之一。配載員根據(jù)實(shí)際運(yùn)輸需求把裝載好的不同類型集裝器（ULD，unit loading devices）分配到飛機(jī)的不同機(jī)艙位置，確保飛機(jī)重心在合理范圍之內(nèi)，并盡量減少燃油成本，增大運(yùn)輸效益[1]。

飛機(jī)載重平衡的合理性是影響飛機(jī)安全高效運(yùn)行的重要因素之一[2]。飛機(jī)載重平衡不合理將會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的后果，如在起飛中，飛機(jī)重心太靠后會(huì)容易造成飛機(jī)抬前輪時(shí)攻角過大，從而引起機(jī)尾擦地；飛機(jī)重心太靠前易造成飛機(jī)駕駛桿力過大，飛機(jī)滑跑距離過長(zhǎng)，造成跑道長(zhǎng)度不夠用。在飛行中，重心配置不均衡會(huì)導(dǎo)致飛機(jī)飛行姿態(tài)控制困難，遇到顛簸氣流極易觸發(fā)風(fēng)險(xiǎn)并增加操控難度，產(chǎn)生難以預(yù)料的嚴(yán)重后果。鑒于此，做好飛機(jī)配載平衡，對(duì)于避免飛行事故極為重要。

合理的載重平衡計(jì)劃對(duì)航空公司降低燃油消耗及運(yùn)營(yíng)成本和提高運(yùn)營(yíng)效率均有很大幫助[3]。一架B737-800 飛機(jī)在26 000 ft（1 ft=0.304 8 m）的航行高度和0.6 馬赫的飛行條件下，飛機(jī)重心從22%平均空氣動(dòng)力弦（MAC，mean aerodynamic chord）轉(zhuǎn)變到24%MAC 時(shí)，可以降低0.05%的阻力，大約可以減少0.05%的耗油量。由此可見，合理的飛機(jī)載重平衡可帶來更好的節(jié)油效果。

在實(shí)際操作中，多數(shù)航空公司使用相關(guān)圖表和軟件進(jìn)行配載計(jì)算，然而這些圖表和軟件大多用于計(jì)算重心和約束，失去了大量?jī)?yōu)化裝載和降低燃油消耗的機(jī)會(huì)。更重要的是，配載通常在飛機(jī)起飛前1 h 進(jìn)行規(guī)劃和實(shí)施，時(shí)間有限。對(duì)于復(fù)雜的貨運(yùn)配載，由于航空公司配載員手工操作能力有限，因配載造成航班延誤的事情時(shí)有發(fā)生。因此，對(duì)飛機(jī)的載重與平衡計(jì)劃進(jìn)行及時(shí)優(yōu)化不僅可以提高航班運(yùn)行效率，還能讓飛機(jī)在使用更少油量的情況下飛行得更安全。

在學(xué)術(shù)研究方面，飛機(jī)的載重平衡問題是典型的NP 難題（NP-hard problem）[4]。貨物裝載計(jì)劃的困難會(huì)隨貨艙分艙的大小和航段數(shù)量的增加而增大。在新冠肺炎疫情期間，多數(shù)航空公司采取“客改貨”的方式進(jìn)行貨物運(yùn)輸，客改貨飛機(jī)在載重平衡上與貨機(jī)有著很大不同，客改貨飛機(jī)主貨艙用于裝載ULD 屬于指派問題，而下貨艙裝載散貨屬于裝箱問題，因此，客改貨飛機(jī)的載重平衡問題屬于指派問題和裝箱問題的組合優(yōu)化問題。

因此，有必要對(duì)民用航空運(yùn)輸配載的發(fā)展和研究方法進(jìn)行研究。本文致力于從學(xué)術(shù)角度整理配載的研究過程，在研究前人成果的基礎(chǔ)上，提出未來的配載技術(shù)將以實(shí)際重心包線為基礎(chǔ)，由枚舉法過渡到整數(shù)規(guī)劃方法，逐步實(shí)現(xiàn)配載優(yōu)化，并借助機(jī)器學(xué)習(xí)等技術(shù)實(shí)現(xiàn)屬于航空公司偏好的智能配載方案。

1 載重平衡的基本問題

1.1 重量

飛機(jī)各部分所受重力的合力稱為飛機(jī)的重力（簡(jiǎn)稱重量）。重量約束是飛機(jī)安全運(yùn)行的最重要約束之一。飛機(jī)總重量W 包括3 部分：營(yíng)運(yùn)空機(jī)重量（OEW，operation empty weight），業(yè)載（PL，pay load）重量和燃油（fuel）重量，飛機(jī)總重量可表示如下

式中：WOEW表示營(yíng)運(yùn)空機(jī)重量；WPL表示業(yè)載重量，即旅客、貨物、行李等運(yùn)輸重量之和；Wfuel表示燃油重量。

根據(jù)裝載的燃油量，飛機(jī)重量可以分為3 種情況：起飛重量（TOW，takeoff weight）、著陸重量（LW，landing weight）和無油重量（ZFW，zero fuel weight）。由起飛油量（TOF，takeoff fuel）和航段耗油量（TripF，trip fuel）可得

式中：WTOW表示起飛重量；WLW表示著陸重量；WZFW表示無油重量；WTOF表示起飛油量重量；WTripF表示航段耗油重量。

飛機(jī)的起飛重量、著陸重量和無油重量，分別受到其最大重量限制，其中最大起飛重量（MTOW，maximum takeoff weight），最大著陸重量（MLW，maximum landing weight），最大無油重量（MZFW，maximumzerofuelweight）三者有如下限制關(guān)系

式中：WMZFW表示最大無油重量；WMTOW表示最大起飛重量；WMLW表示最大著陸重量。

根據(jù)式（1）～（3）可計(jì)算出飛機(jī)的3 個(gè)可用業(yè)載重量，即基于MTOW 限制的飛機(jī)最大業(yè)載WMPL1、基于MLW 限制的飛機(jī)最大業(yè)載WMPL2和基于MZFW 限制的飛機(jī)最大業(yè)載WMPL3，由于3 種重量是不同方面對(duì)重量的約束，所以計(jì)算出的最大業(yè)載也不相同，本文選擇最小業(yè)載作為飛機(jī)實(shí)際的可用業(yè)載，可表示如下

則實(shí)際業(yè)載（APL，actualpayload）重量和剩余業(yè)載（RPL，remaining pay load）分別與可用業(yè)載存在如下關(guān)系

式中：WAPL為實(shí)際業(yè)載重量；WRPL為剩余業(yè)載重量。

1.2 重心

重心是飛機(jī)各部分重量合力的著力點(diǎn)，重心位置在很大程度上影響飛行員對(duì)飛機(jī)的操控和航班的燃油消耗。確定重心的力學(xué)原理是合力矩定理，即合力對(duì)作用點(diǎn)的力矩等于各分力對(duì)作用點(diǎn)的力矩之和，如圖1 所示，其中產(chǎn)生力矩的主要重量有業(yè)載重量、燃油重量以及營(yíng)運(yùn)空機(jī)重量。

圖1 合力矩定理原理Fig.1 Principle of resultant moment theorem

圖1 中，假設(shè)營(yíng)運(yùn)空機(jī)重量為200 kg，業(yè)載重量為100 kg，燃油重量為100 kg。飛機(jī)的基準(zhǔn)（datum）通常在其前面。平衡力臂（BA，balance arm）是基準(zhǔn)與重心（CG，centre of gravity）之間的距離，其中LBA1、LBA2和LBA3分別為營(yíng)運(yùn)空機(jī)、燃油和業(yè)載的平衡力臂。由合力矩定理可知圖1 中裝載業(yè)載和燃油后飛機(jī)的平衡力臂LBACG為110 m。

因此LBACG的表達(dá)式如下

式中：Wi為飛機(jī)第i 個(gè)部分的重量；LBAi表示飛機(jī)第i個(gè)部分的平衡力臂。

飛機(jī)重心位置描述通常有兩種方式，分別是平衡力臂與平均空氣動(dòng)力弦（MAC），平衡力臂描述如式（6）所示。平均空氣動(dòng)力弦是用平衡力臂LBACG與平均空氣動(dòng)力弦前緣長(zhǎng)度的差與平均空氣動(dòng)力弦長(zhǎng)度的比值表示，即

式中：LMAC為平均空氣動(dòng)力弦的長(zhǎng)度；LEMAC為平均空氣動(dòng)力弦前緣長(zhǎng)度。圖2 為客機(jī)改裝后的參數(shù)示意圖。

圖2 飛機(jī)客艙改裝后參數(shù)示意圖Fig.2 Schematic diagram of aircraft cabin parameters after modification

1.3 重心包線

為了保障航行中飛機(jī)的平衡與安全，業(yè)載應(yīng)被放置在貨艙內(nèi)合適的位置，使飛機(jī)重心正好在重心包線的范圍內(nèi)。飛機(jī)的重心包線是分段非線性函數(shù)，由最大起飛重量、最大著陸重量和最大無油重量等不同重量的最小重心和最大重心所組成。B757 的重心包線如圖3 所示。

圖3 B757 的重心包線Fig.3 CG envelope of B757

其中，縱軸表示飛機(jī)的總重量，橫軸為指數(shù)，表示力矩。重心包線的應(yīng)用可以避免相關(guān)風(fēng)險(xiǎn)，使航行中的飛機(jī)實(shí)現(xiàn)高效安全運(yùn)行，且其在現(xiàn)實(shí)的飛機(jī)載重與平衡工作中非常重要，目前尚無法替代。

2 民用航空貨運(yùn)配載問題研究方向

文獻(xiàn)[5]最早對(duì)飛機(jī)載重平衡問題研究文獻(xiàn)進(jìn)行了綜述。其中提出，1985 年之前大多數(shù)配載都是由手工和計(jì)算機(jī)協(xié)助完成的。配載員的工作是制定一個(gè)可行計(jì)劃，而不是一個(gè)理想的配載方案。重心的約束通常通過金字塔模式裝載來解決，即依次將最重的貨物分配到飛機(jī)中心位置，然后交替對(duì)飛機(jī)的前后艙進(jìn)行裝載。

根據(jù)文獻(xiàn)研究方向的不同，航空貨運(yùn)配載有關(guān)研究文獻(xiàn)可以分為3 類，即貨物運(yùn)輸計(jì)劃、貨物裝箱問題和集裝器裝載配平問題。

2.1 貨物運(yùn)輸計(jì)劃

貨物運(yùn)輸計(jì)劃指的是對(duì)給定的一組貨物選擇合適的飛機(jī)機(jī)隊(duì)，按要求在指定的時(shí)間窗口內(nèi)將貨物分配到飛機(jī)上允許的位置，并運(yùn)送到目的地。圖4 是根據(jù)時(shí)間進(jìn)程繪制的部分學(xué)者研究成果。

圖4 貨物運(yùn)輸計(jì)劃研究成果Fig.4 Research results of cargo transportation planning

文獻(xiàn)[6]開發(fā)了用于快速生成空運(yùn)裝載計(jì)劃的可部署機(jī)動(dòng)執(zhí)行系統(tǒng)，該系統(tǒng)旨在提高飛機(jī)在空運(yùn)中的利用率和響應(yīng)能力。文獻(xiàn)[7]引入自動(dòng)裝載計(jì)劃系統(tǒng)，用來協(xié)助運(yùn)輸員生成實(shí)時(shí)裝載計(jì)劃，評(píng)估特定裝載策略的效果并驗(yàn)證根據(jù)用戶需求制定的裝載計(jì)劃是否滿足所有特定約束。文獻(xiàn)[8]開發(fā)了飛機(jī)空運(yùn)部署分析系統(tǒng)，用來調(diào)度飛機(jī)、機(jī)組和任務(wù)資源，可以最大程度地按時(shí)交付貨物并送達(dá)乘客。文獻(xiàn)[9]針對(duì)軍事航空貨物運(yùn)輸問題，提出所有空運(yùn)貨物可以通過分支定界法按照指定優(yōu)先順序?qū)崿F(xiàn)完全裝載，為作戰(zhàn)行動(dòng)提供及時(shí)的貨物運(yùn)輸計(jì)劃。

文獻(xiàn)[10]提出一種稱為NRMO（NPS/RAND mobility optimizer）的優(yōu)化算法，該算法可在具有時(shí)間窗口的部署環(huán)境中優(yōu)化軍事空運(yùn)，可用來分析機(jī)隊(duì)現(xiàn)代化水平和資源分配能力。文獻(xiàn)[11]使用兩階段求解方法來滿足飛機(jī)從出發(fā)地到目的地的運(yùn)輸需求，其考慮了業(yè)載、起落港口及時(shí)間窗口。文獻(xiàn)[12]提出了一種基于Web程序的貨物裝載計(jì)劃與分析系統(tǒng)（CLPA，cargo load plan and analysis system），該系統(tǒng)基于對(duì)歷史數(shù)據(jù)的分析預(yù)測(cè)，通過數(shù)學(xué)方法優(yōu)化貨物裝載計(jì)劃，從而提高業(yè)載的載荷系數(shù)，提高航班利潤(rùn)。文獻(xiàn)[13]運(yùn)用禁忌搜索算法來解決動(dòng)態(tài)空運(yùn)裝載問題，模型首先給定一組需要在預(yù)先指定時(shí)間內(nèi)從始發(fā)地運(yùn)輸?shù)侥康牡氐呢浳?，再通過動(dòng)態(tài)空運(yùn)裝載將貨物劃分為飛機(jī)載荷，最后選擇有效飛機(jī)，將貨物分配到飛機(jī)上特定的位置。

2.2 貨物裝箱問題

貨物裝箱問題是指如何分配一組貨物，并將其裝到合適的集裝器中。根據(jù)時(shí)間進(jìn)程繪制的部分學(xué)者研究成果如圖5 所示。

圖5 航空貨運(yùn)裝箱問題研究成果Fig.5 Research results of air cargo packing problems

文獻(xiàn)[14]建立了將不規(guī)則物體裝載到三維集裝器中的0-1 混合整數(shù)線性規(guī)劃模型。文獻(xiàn)[15]使用多目標(biāo)粒子群方法研究多目標(biāo)二維裝箱問題，目標(biāo)一是最大程度地減少集裝器使用的數(shù)量，目標(biāo)二是最小化飛機(jī)重心與指定目標(biāo)重心的偏差。文獻(xiàn)[16]提出了一種非線性的混合整數(shù)規(guī)劃模型，用于解決集裝器裝載計(jì)劃問題，目標(biāo)是最大程度地減少集裝器裝卸成本；其考慮了始發(fā)地和目的地需求、集裝器容量、集裝器數(shù)量以及每個(gè)通道集裝器的裝卸能力和航空器容量。文獻(xiàn)[17]提出折中的大規(guī)模鄰域搜索啟發(fā)式算法，用于將貨物分配到集裝器內(nèi)，以此幫助貨運(yùn)代理將總貨運(yùn)成本降至最低；與傳統(tǒng)鄰域搜索和混合整數(shù)規(guī)劃模型相比，該算法性能更加優(yōu)越且穩(wěn)定。文獻(xiàn)[18]提出一種用于解決隨機(jī)需求下空運(yùn)貨物裝載問題的方法，將情景分解和遺傳算法技術(shù)相結(jié)合。文獻(xiàn)[19]在總結(jié)航空貨物運(yùn)輸研究文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，指出飛機(jī)裝載平衡問題是航空運(yùn)輸中最基本的NP 難題之一，貨物裝入集裝器后，需要考慮如何分配集裝器，以滿足飛機(jī)運(yùn)行的各種要求，并達(dá)到某一優(yōu)化效果。文獻(xiàn)[20-23]考慮了含有不同特殊物品約束要求的三維裝箱問題，進(jìn)而考慮了將集裝器裝入飛機(jī)貨艙內(nèi)的問題，目標(biāo)是最大程度地減少貨艙內(nèi)未使用的體積。

2.3 集裝器裝載配平問題

考慮把裝好的集裝器如何合理地分配到飛機(jī)不同機(jī)艙的不同位置，并在滿足實(shí)際運(yùn)行限制條件下，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的優(yōu)化，即集裝器裝載配平問題。該方面的研究從方法上可以分為啟發(fā)式算法和（混合）整數(shù)線性規(guī)劃方法。

2.3.1 啟發(fā)式算法求解裝載配平問題

早期對(duì)裝載配平問題的學(xué)術(shù)研究相對(duì)簡(jiǎn)單，考慮實(shí)際條件較少，因此數(shù)學(xué)模型比較簡(jiǎn)單，且由于載重配平問題為典型NP 難題，因此在早期的研究中主要以簡(jiǎn)化模型和啟發(fā)式智能算法為主。圖6 是根據(jù)時(shí)間進(jìn)程繪制的部分學(xué)者研究成果。

圖6 啟發(fā)式算法求解裝載配平問題研究成果Fig.6 Research results of the loading balance problem solved by heuristic algorithm

文獻(xiàn)[4]開發(fā)了一種基于啟發(fā)式算法的程序來創(chuàng)建裝載計(jì)劃，以便將業(yè)載裝載到B747 飛機(jī)上;目標(biāo)一是在多航段的航班中盡量減少貨物的額外裝卸操作，目標(biāo)二是獲得可行的重心。該模型考慮了貨艙穩(wěn)定性、組合載重、貨物位置、貨艙容積和重量平衡約束。文獻(xiàn)[24]分析飛機(jī)一維裝載平衡問題，認(rèn)為飛機(jī)裝載是一個(gè)NP 難題，并考慮了裝載集裝器的種類、位置和裝載優(yōu)先次序。文獻(xiàn)[25]將飛機(jī)裝載平衡問題看作是裝箱問題，把飛機(jī)當(dāng)作箱子，集裝器當(dāng)作待裝載貨物，并運(yùn)用了文獻(xiàn)[24]的思想，使用遺傳算法進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[26]針對(duì)飛機(jī)一維裝載平衡問題提出一種貪婪啟發(fā)式算法，其目標(biāo)是將給定長(zhǎng)度和重量的箱子放入集裝器中，盡可能使該區(qū)域的重心達(dá)到既定目標(biāo)。文獻(xiàn)[27]認(rèn)為在飛機(jī)上的貨物裝箱屬于二維裝箱問題，考慮了縱向平衡、橫向平衡、貨物在地板上接觸點(diǎn)的最大重量、貨物所在地板區(qū)域內(nèi)可承受的最大重量等約束。文獻(xiàn)[28-29]提出一種多目標(biāo)粒子群優(yōu)化方法，將一組貨物分配到最小數(shù)量的集裝器中，然后將其放置到飛機(jī)特定的貨艙內(nèi)，模型目標(biāo)是最大化總重量和已裝載貨物的總優(yōu)先級(jí)，約束條件是當(dāng)前重心與指定最優(yōu)重心的偏離程度。文獻(xiàn)[30]運(yùn)用改進(jìn)的蟻群算法開發(fā)了面向C919 的配載優(yōu)化系統(tǒng)。文獻(xiàn)[31-34]采用遺傳算法求解飛機(jī)的重量與平衡問題。

隨著對(duì)配載問題研究的深入，配載問題的結(jié)構(gòu)越來越透徹，學(xué)者們開始逐步建立配載的數(shù)學(xué)模型。

2.3.2 （混合）整數(shù)線性規(guī)劃方法

隨著航空業(yè)的發(fā)展，航空運(yùn)輸對(duì)配載問題的要求越來越嚴(yán)格，形成了很多嚴(yán)格的操作規(guī)定，簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)約束模型很難滿足實(shí)際生產(chǎn)的需求，迫切需要能夠滿足生產(chǎn)需求且能夠準(zhǔn)確描述現(xiàn)場(chǎng)操作情景的模型和方法。此外，啟發(fā)式算法在處理大規(guī)模離散式多峰多約束模型時(shí)比較困難，且獲得最優(yōu)解花費(fèi)時(shí)間較長(zhǎng)，求解技術(shù)不能滿足需求。2000 年之后，由于模型約束比較多，且隨著分支定界、列分解的線性求解技術(shù)的發(fā)展，一批成熟的線性求解器相繼出現(xiàn)，推動(dòng)了載重配平問題的進(jìn)一步發(fā)展，建立了相對(duì)復(fù)雜的（混合）整數(shù)線性規(guī)劃模型，并通過線性求解器來解決實(shí)際問題。圖7 是根據(jù)時(shí)間進(jìn)程繪制的部分學(xué)者研究成果。

圖7 （混合）整數(shù)線性規(guī)劃方法求解裝載配平問題研究成果Fig.7 Research results of the loading balance problem solved by（mixed）integer linear programming method

文獻(xiàn)[35]提出飛機(jī)貨艙貨物分配的整數(shù)線性規(guī)劃模型，目標(biāo)是使運(yùn)輸貨物的利潤(rùn)最大，但其沒有考慮為飛機(jī)內(nèi)特定集裝器分配位置，同時(shí)包含重心的線性約束在計(jì)算公式中會(huì)產(chǎn)生非線性約束。文獻(xiàn)[36]針對(duì)輕型飛機(jī)建立了一種整數(shù)線性規(guī)劃模型，該模型用來解決輕型飛機(jī)遇到的剪切極限問題。文獻(xiàn)[37]提出一種整數(shù)線性規(guī)劃模型，目標(biāo)為業(yè)載量最大，約束主要包含預(yù)定位置類型限制、各貨艙容積限制、重量限制、多種集裝器混裝限制和重心限制等。文獻(xiàn)[38]針對(duì)軍用飛機(jī)建立混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，目標(biāo)是最小化重心偏移量和最大化運(yùn)輸貨物的價(jià)值，但其僅考慮了空間和重心約束，沒有考慮在商業(yè)航空貨運(yùn)中起關(guān)鍵作用的約束。文獻(xiàn)[39]建立了混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，目標(biāo)是使飛機(jī)重心偏離目標(biāo)值最小和所裝載貨物價(jià)值最大。該模型求解速度較快，然而重心約束與目標(biāo)值存在一定偏差，也沒有使用飛機(jī)重心包線，這導(dǎo)致飛機(jī)在實(shí)際工作中存在安全風(fēng)險(xiǎn)。文獻(xiàn)[40]提出了集裝器分配到裝載位置的混合整數(shù)線性規(guī)劃模型。該模型考慮了飛機(jī)的縱向和橫向不平衡、集裝器的組合裝載、累積裝載等約束，目標(biāo)是使飛機(jī)的慣性矩和飛機(jī)結(jié)構(gòu)應(yīng)力以及燃油消耗最小化，但該模型無法解決集裝器多于預(yù)定義位置的問題。

對(duì)于多航段飛行飛機(jī)配載問題，文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[41]建立了一種用于解決多航段飛行飛機(jī)配載問題的混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，目標(biāo)是最小化由重心變化引起的燃油成本和中轉(zhuǎn)機(jī)場(chǎng)重新裝載集裝器的操作成本之和，考慮艙位重量、組合重量、累積重量限制和貨運(yùn)約束。但在中間機(jī)場(chǎng)不允許過站集裝器調(diào)整位置，失去為后一航段優(yōu)化重心的機(jī)會(huì)。文獻(xiàn)[42]建立了一種多航段貨運(yùn)配載問題的混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，目標(biāo)是最大化裝載量、最小化重心偏離量和減少中間機(jī)場(chǎng)額外的集裝器裝卸操作。模型中考慮了多種現(xiàn)實(shí)操作的限制條件，但位置重量、累積重量和上下艙聯(lián)合重量限制被定義為統(tǒng)一的重量限制約束，與實(shí)際運(yùn)行相差較遠(yuǎn)，且在中間機(jī)場(chǎng)操作中并未考慮被留在貨艙集裝器的位置變化。文獻(xiàn)[43]提出了一種基于不同狀態(tài)下實(shí)際重心變化的重心包線約束，并對(duì)重心進(jìn)行了精確描述，進(jìn)而設(shè)計(jì)了線性化策略來簡(jiǎn)化非線性的重心包線，在考慮位置、重量、平衡等約束條件下，建立了總業(yè)載最大、重心偏差最小的混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，使用商業(yè)求解器可在幾秒鐘內(nèi)得到最優(yōu)解。

2.4 整數(shù)規(guī)劃模型的對(duì)比

整數(shù)規(guī)劃模型已逐漸成熟，以下討論生產(chǎn)實(shí)踐中需要的約束問題。飛機(jī)載重配平問題的約束主要如表1 所示。

表1 載重配平問題Tab.1 Load balancing issues

表2 中詳細(xì)對(duì)比了不同混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，其中相同的約束已經(jīng)略去。文獻(xiàn)[39]、文獻(xiàn)[41]和文獻(xiàn)[42]考慮的是集裝器的數(shù)量少于可用的預(yù)定義位置數(shù)量，因此假設(shè)所有的集裝器都可以裝入飛機(jī)。因此，業(yè)載是不變的，只需考慮不同集裝器裝在什么位置，這可以歸類為廣義的指派問題。

表2 混合整數(shù)線性規(guī)劃模型對(duì)比Tab.2 Comparison of mixed integer linear programming models

對(duì)于航空運(yùn)輸來說，最大裝載量就是最大化經(jīng)濟(jì)效益。多數(shù)情況下，航空貨運(yùn)公司對(duì)應(yīng)的航線都會(huì)存在需要緊急運(yùn)送的貨物，因此最大裝載量有很重要的現(xiàn)實(shí)意義。

文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[38]首先從備選集裝器中選擇幾組集裝器，將其分配到飛機(jī)不同的機(jī)艙內(nèi)，從而實(shí)現(xiàn)最大業(yè)載或運(yùn)輸效益，這相當(dāng)于背包問題。其次，每個(gè)被選中的集裝器要分配到相應(yīng)的位置，使得重心偏離指定重心最小，這屬于廣義的指派問題，因而載重配平問題是一個(gè)組合優(yōu)化問題。

文獻(xiàn)[40]和文獻(xiàn)[41]研究中，因集裝器可以全部裝上，業(yè)載不變，如果給定航班則燃油也是常數(shù)，則配載不會(huì)使飛機(jī)的重量發(fā)生變化。因此在其研究中沒必要考慮重心包線問題。因?yàn)橹亓亢愣?，重心前限和后限不?huì)隨重量發(fā)生變化，只需根據(jù)當(dāng)前的飛機(jī)重量確定飛機(jī)的重心前限和后限即可，如圖3 所示。為了更簡(jiǎn)化模型，其采用了重心偏差約束，即重心要落在允許的重心偏差范圍之內(nèi)，如圖8 所示，其中Xtarget表示飛機(jī)的最優(yōu)重心，ε 表示飛機(jī)重心可偏離的范圍。

圖8 重心偏差約束Fig.8 Devitation constraint of CG

但這種脫離重心包線的方法無法在實(shí)際中應(yīng)用，重心包線檢查是飛機(jī)放行中非常重要的環(huán)節(jié)。

文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[38]以裝載最大業(yè)載為目標(biāo)，文獻(xiàn)[42]以最大化裝載量為目標(biāo)，這使得飛機(jī)的業(yè)載和總重量會(huì)隨著選擇不同集裝器而發(fā)生變化。由圖3 可知，當(dāng)重量變化時(shí)，重心范圍也會(huì)發(fā)生變化。但其在重心約束方面，仍然沒有采用重心包線約束，而是采用了力矩偏差。

載重配平的關(guān)鍵約束是重心約束，其本質(zhì)是重心必須落在重心包線之內(nèi)，但就當(dāng)前所掌握的文獻(xiàn)而言，還沒有文獻(xiàn)把完整的重心包線考慮進(jìn)去，也沒有文獻(xiàn)對(duì)重心包線進(jìn)行數(shù)學(xué)建模。而重心包線是在實(shí)際操作中必須執(zhí)行的，是航班放行的條件，因而當(dāng)前文獻(xiàn)模型還無法完全應(yīng)用于實(shí)際配載操作中。

重心包線是重量的函數(shù)，重量與業(yè)載相關(guān)，航班的業(yè)載取決于選擇的集裝器，因此重心前后限制與集裝器的選擇有關(guān)，而重心位置也與集裝器選擇有關(guān)；又因力矩（或指數(shù)）是重量與重心位置的乘積，因此重心包線約束至少是二次約束，不是線性約束。對(duì)于非線性模型，再結(jié)合其他眾多約束，使得在模型求解時(shí)無法采用現(xiàn)有的Cplex 等通用求解器求解。這也是早期的配載模型采用啟發(fā)式算法求解的原因。而近期的研究模型（表2）中，盡管模型已經(jīng)與實(shí)際操作非常接近，但在關(guān)鍵的重心包線方面還是做了不同程度的簡(jiǎn)化。

3 配載技術(shù)的發(fā)展及應(yīng)用現(xiàn)狀

3.1 配載技術(shù)的發(fā)展

從航空發(fā)展歷史來看，飛機(jī)的載重配平問題經(jīng)歷了3 個(gè)階段。

（1）手工配載階段。民航發(fā)展初期，航班配載主要通過手工艙單進(jìn)行操作，人工操作和計(jì)算耗時(shí)較長(zhǎng)，特別是大型飛機(jī)的貨運(yùn)配載需要的時(shí)間更長(zhǎng)，誤差也較大，為了克服誤差帶來的潛在威脅，很多航空公司對(duì)包線進(jìn)行縮減。目前絕大多數(shù)航空公司已經(jīng)不再進(jìn)行完全的手工操作。

（2）計(jì)算機(jī)輔助的半手工配載階段。計(jì)算機(jī)軟件用于輔助配載，在很大程度上解決了人工手動(dòng)操作時(shí)間較長(zhǎng)的問題，當(dāng)前多數(shù)航空公司和配載單位都處于該階段。典型的代表有EXCEL 輔助重心計(jì)算，某航空公司的EXCEL 輔助配載如圖9 所示，EXCEL 函數(shù)功能能夠?qū)崿F(xiàn)自動(dòng)計(jì)算配載力矩、重心位置等基本參數(shù)，但是仍需要手動(dòng)輸入各集裝器信息，如何配載仍然需要人工決策。

圖9 EXCEL 輔助配載Fig.9 EXCEL assisted loading

近幾年，窗口版配載系統(tǒng)在部分航空公司出現(xiàn)，如圖10 所示，其主要功能是人機(jī)交互式配載、配載規(guī)則自動(dòng)檢查、配載單自動(dòng)打印和發(fā)送等。但配載方案仍需要人來提供。

圖10 交互配載系統(tǒng)Fig.10 Interactive loading system

（3）自動(dòng)配載階段。配載軟件能夠根據(jù)給定的機(jī)型、貨物、旅客、集裝器等情況自動(dòng)給出一種或多種配載方案，供配載人員選擇，并能夠根據(jù)需要進(jìn)行人工交互調(diào)整。當(dāng)前部分公司已經(jīng)進(jìn)入該階段。但自動(dòng)配載依然在多集裝器混裝、多航段聯(lián)合、業(yè)載優(yōu)化、重心偏差分析、配載專家經(jīng)驗(yàn)偏好等方面還存在欠缺。

這3 個(gè)階段配載方法的本質(zhì)是相同的，都是枚舉法。手工階段和計(jì)算機(jī)輔助的半手工階段是通過配載員個(gè)人經(jīng)驗(yàn)枚舉出配載方案，然后按照規(guī)則進(jìn)行檢查，如配載方案不符合規(guī)則或與期望配載結(jié)果相差太遠(yuǎn)，則重新調(diào)整枚舉方案，直到獲得滿意的配載方案，但耗時(shí)較長(zhǎng)，且配載結(jié)果依賴于個(gè)人經(jīng)驗(yàn)；目前自動(dòng)配載階段的軟件方法依然屬于枚舉法，是把人工操作過程通過軟件實(shí)現(xiàn)，通過軟件自動(dòng)產(chǎn)生初始配載方案，通過“冒泡”“爬山”等排序法反復(fù)調(diào)整和檢查配載方案，最終獲得可行的配載方案。

枚舉法的優(yōu)點(diǎn)在于符合傳統(tǒng)配載操作思維習(xí)慣，容易接受。但其缺點(diǎn)也很明顯，即無法遍歷所有可行域，獲得全局優(yōu)化，最終只能找到一個(gè)可行方案，不能窮舉所有配載方案。因此，該方法的本質(zhì)決定了在混裝、重心和業(yè)載優(yōu)化、重心偏差、過站操作、公司政策偏好等智能方面優(yōu)化能力不強(qiáng)，無法給出智能化、個(gè)性化方案。

一方面由于多數(shù)航空公司配載還沒進(jìn)入自動(dòng)化階段，另一方面隨著計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的不斷增強(qiáng)，使得配載的枚舉法還會(huì)繼續(xù)存在一段時(shí)間。但隨著航空公司的精細(xì)化發(fā)展，對(duì)各環(huán)節(jié)利益訴求逐漸增強(qiáng)，對(duì)配載方案的要求越來越多，該方法的弊端將會(huì)逐漸暴露，將會(huì)阻礙航空公司的精細(xì)化、智能化進(jìn)程。

3.2 集中配載的應(yīng)用

集中配載是以載重平衡為中心，實(shí)現(xiàn)集中控制其他航站載重平衡工作的一種全新運(yùn)行模式。當(dāng)前航空公司在配載模式上依然采用分散配載，分散配載存在貨運(yùn)系統(tǒng)與配載系統(tǒng)數(shù)據(jù)自動(dòng)化對(duì)接的困難，而集中配載可實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)資源共享，遠(yuǎn)程操控等。

4 對(duì)配載技術(shù)的展望

民用航空運(yùn)輸載重配平在未來可采用機(jī)器學(xué)習(xí)、整數(shù)規(guī)劃方法、智能優(yōu)化算法等人工智能技術(shù)，主要解決以下幾個(gè)問題：

（1）飛機(jī)載重配平的智能化水平不高，配載員業(yè)務(wù)水平存在差異，專家經(jīng)驗(yàn)依賴性強(qiáng)，多種集裝器或特殊物品混裝時(shí)手工操作復(fù)雜度高；

（2）重心優(yōu)化少，缺少航班運(yùn)行各階段實(shí)際重心與理論重心的偏差預(yù)測(cè)，有備選集裝器可供選擇的條件下業(yè)載優(yōu)化較少，多航段關(guān)聯(lián)配載時(shí)存在中間機(jī)場(chǎng)額外裝卸操作等一系列問題。

基于上述對(duì)配載問題的分析，對(duì)配載的未來展望如下：

（1）實(shí)現(xiàn)集中配載，將航空公司運(yùn)營(yíng)的所有航班集中在一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行飛機(jī)配載，便于集中培訓(xùn)、統(tǒng)一操作標(biāo)準(zhǔn)和降低不安全事件的發(fā)生率；

（2）優(yōu)化航空運(yùn)輸中飛機(jī)的載重配平，實(shí)現(xiàn)配載的自動(dòng)化和智能化，集中配載數(shù)據(jù)，以提高配載效率；

（3）通過專家經(jīng)驗(yàn)、飛行中的重心變化推演和突發(fā)擾動(dòng)下的重心偏離分析，建立配載效果的評(píng)價(jià)指標(biāo)體系；通過AI 機(jī)器學(xué)習(xí)算法，對(duì)優(yōu)秀配載案例進(jìn)行特征學(xué)習(xí)；建立具有公司偏好的整數(shù)規(guī)劃模型，實(shí)現(xiàn)具備公司特征的智能配載方案。通過計(jì)算機(jī)歸納、學(xué)習(xí)優(yōu)秀員工的先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)，可使配載方案更貼切公司運(yùn)行特征需求。

5 結(jié)語

民航貨運(yùn)載重與平衡問題屬于典型的NP 難題，需要綜合考慮重心約束、載重量、體積利用率和航空公司所得利潤(rùn)等，建立模型需選擇合適的求解方法。本文主要介紹了國內(nèi)外學(xué)者對(duì)載重平衡問題的建模與求解方法，并且將其分為3 大類，即貨物運(yùn)輸計(jì)劃問題、貨物裝箱問題和集裝器裝載配平問題。根據(jù)模型的求解方法將配載問題又分為兩大類，即啟發(fā)式算法和（混合）整數(shù)線性規(guī)劃方法。盡管目前的配載模型解決了大量問題，但還有待進(jìn)一步完善。

啟發(fā)式算法盡管在某些條件下可以獲得滿意解，但其依然是行業(yè)“枚舉法”的延續(xù)，并不能很好地解決配載問題。（混合）整數(shù)線性規(guī)劃方法目前的配載模型已經(jīng)與實(shí)際問題非常接近，但在重心包線問題上卻進(jìn)行了簡(jiǎn)化，使得該方法偏離了實(shí)際操作。

因此，未來飛機(jī)載重配平問題應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步完善（混合）整數(shù)線性規(guī)劃模型，將重心包線模型化、線性化，徹底實(shí)現(xiàn)載重配平問題的數(shù)學(xué)模型表述。另一方面，配載中還存在一些實(shí)際問題，如多航段關(guān)聯(lián)配載、超大貨物或不規(guī)則貨物的配載、集裝器的重心不確定性、符合各公司特殊要求和政策的個(gè)性化配載、專家經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合的智能化配載以及基于風(fēng)險(xiǎn)思維的航空配載運(yùn)輸任務(wù)方案優(yōu)化與評(píng)估等問題。