金聰鶴，錢永久，徐望喜，黎 璟

(1.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川，成都 610031；2.蜀道投資集團(tuán)有限責(zé)任公司，四川，成都 610093)

我國(guó)公路橋梁受到交通量和負(fù)載持續(xù)增長(zhǎng)的車輛荷載作用[1]，長(zhǎng)期處于“帶病工作”的狀態(tài)，安全問題日益突出[2-3]。據(jù)統(tǒng)計(jì)，2008 年-2010 年，我國(guó)公路危橋數(shù)量由6000 座猛增至9.35 萬座[4-5]；2005 年-2018 年期間，全國(guó)至少發(fā)生28 起大中型橋梁垮塌事故，其中35%由車輛超載引發(fā)，80%的橋梁剩余使用壽命不足30 年[6]。車輛超重、交通量急劇增長(zhǎng)等因素使服役橋梁損失的承載力遠(yuǎn)超預(yù)期，增大了車輛和行人通勤的風(fēng)險(xiǎn)，如不采取措施，可能造成難以挽回的損失[7]。然而，對(duì)所有公路橋梁都進(jìn)行徹底的檢測(cè)和加固，既不經(jīng)濟(jì)，也在技術(shù)上難以實(shí)現(xiàn)[8]?？扇〉淖龇ㄊ牵合葘?duì)橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行基于可靠性理論的安全性能評(píng)估，以此作為其后續(xù)養(yǎng)護(hù)維修的科學(xué)依據(jù)[3-4,8-9]。

對(duì)于在役橋梁，由于設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)材料強(qiáng)度、車輛通勤頻率和荷重的增長(zhǎng)缺乏預(yù)估，以致不少橋梁在設(shè)計(jì)使用年限內(nèi)已出現(xiàn)了混凝土開裂、鋼筋銹蝕等病害[10]?？紤]到我國(guó)公路橋梁服役狀況十分嚴(yán)峻，若沿用《公路工程結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》[11]中基于極限狀態(tài)設(shè)計(jì)原則的瞬時(shí)可靠度指標(biāo)計(jì)算方法，不能考慮結(jié)構(gòu)抗力隨時(shí)間劣化的效應(yīng)，不利于對(duì)在役橋梁進(jìn)行安全狀況評(píng)估。

為了考慮橋梁承載力的時(shí)變效應(yīng)，1993 年MORI 和ELLINGWOOD[12]基于考察時(shí)段內(nèi)結(jié)構(gòu)的首次穿越問題，假設(shè)荷載服從平穩(wěn)Poisson 過程且彼此獨(dú)立，提出了時(shí)變可靠度理論，并用MCS法對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。時(shí)變可靠度理論是基于參數(shù)隨機(jī)性評(píng)估結(jié)構(gòu)剩余壽命的最佳工具之一[13]，具備廣泛的工程前景與重大經(jīng)濟(jì)社會(huì)效益，成為了國(guó)內(nèi)外十分關(guān)注的課題[14-15]。王草等[3-4]和LI等[16]提出了獨(dú)立荷載基于非平穩(wěn)Poisson 過程的時(shí)變可靠度計(jì)算方法；葉新一等[9]將可靠度積分轉(zhuǎn)化為近似度較高的代數(shù)運(yùn)算；李全旺和王草[17]、金聰鶴等[8]基于MCS 實(shí)驗(yàn)討論了荷載相關(guān)性對(duì)結(jié)構(gòu)可靠度的影響；YUAN 等[18-19]基于Markov 過程和Gamma 過程建立了橋梁時(shí)變抗力的非平穩(wěn)劣化模型；WANG[20]提出了基于復(fù)合Poisson 過程的時(shí)變抗力沖擊衰減模型；金聰鶴等[15]將Poisson參數(shù)λ 表示為頻率函數(shù)λ(t)，提出了荷載發(fā)生頻率隨時(shí)間增大的時(shí)變可靠度分析方法；徐望喜等[21]基于時(shí)變可靠度理論中車載分布的非平穩(wěn)極值效應(yīng)，運(yùn)用改進(jìn)廣義帕累托分布模型對(duì)隨機(jī)車流作用下的荷載效應(yīng)進(jìn)行極值外推分析；另有學(xué)者[14,22-24]考慮歷史車輛荷載對(duì)服役橋梁時(shí)變抗力的驗(yàn)證作用，提出了基于歷史荷載信息的結(jié)構(gòu)時(shí)變可靠度分析方法。

除了上文提到的穿越概率法和數(shù)值模擬法，近些年國(guó)內(nèi)外學(xué)者還提出了許多新穎的時(shí)變可靠度分析模型，包括代理模型法和準(zhǔn)靜態(tài)法等[25-26]。HAWCHAR、DAI 和ZHENG 等[27-29]提出基于多項(xiàng)式混沌理論(polynomial chaos theory)和Karhunen-Loeve 展開式的時(shí)變可靠度代理模型；ZHAO 等[26]基于包絡(luò)函數(shù)算法提出了考慮認(rèn)知不確定性(epistemic uncertainty)的結(jié)構(gòu)使用壽命預(yù)測(cè)方法；周建方等[30]對(duì)基于模糊可靠度理論的幾種準(zhǔn)靜態(tài)算法進(jìn)行了對(duì)比；宋帥等[31]基于Copula 函數(shù)建立了橋梁地震易損性分析模型；AMINI 等[32]研究了受益于多項(xiàng)式混沌Kringing(PCK)模型的自適應(yīng)可靠性算法，并利用C-vine 和D-vine Copula 理論研究了隨機(jī)變量之間的非線性依賴關(guān)系。

多荷載分布的概率計(jì)算涉及復(fù)雜的積分運(yùn)算，且時(shí)變抗力和荷載通常均不服從正態(tài)分布[7,21,33]，因此，提出合理的可靠度計(jì)算方法，兼顧運(yùn)算效率和解決實(shí)際工程問題是當(dāng)下的研究重點(diǎn)，亦是本文的核心。當(dāng)斯—托馬斯悖論(Downs-Thomson paradox)指出，過路費(fèi)的增加和路面運(yùn)力的改善可能造成交通擁堵[34]。若服役橋梁處于擁堵路徑之中，則其負(fù)載與交通主管的定期策略相關(guān)；且作用于工程結(jié)構(gòu)的荷載通常認(rèn)為具備時(shí)間相關(guān)性[8,17,35-37]。因此，橋梁安全性能評(píng)價(jià)不能忽視車輛荷載時(shí)間相關(guān)性的影響。另外，構(gòu)件抗力隨時(shí)間的劣化是單調(diào)不可逆的[38]，更符合一個(gè)“經(jīng)歷‘λT’次衰減總共需要消耗多少抗力”的Gamma 過程[18,39]。綜上，本文基于時(shí)變可靠度理論，將劣化抗力表示為單調(diào)遞減的Gamma 過程；考慮結(jié)構(gòu)服役期間荷載均值增大的效應(yīng)以及它們之間的時(shí)間相關(guān)性，提出了基于時(shí)變抗力和車輛荷載同為非平穩(wěn)過程的橋梁時(shí)變可靠度分析方法，并給出了計(jì)算公式。

1 橋梁時(shí)變可靠度分析理論

在時(shí)變可靠度分析中，穿越概率指考察時(shí)段內(nèi)荷載首次超越抗力的概率，如圖1 所示。R(t)和S(t)分別表示時(shí)變抗力和連續(xù)荷載過程，功能函數(shù)寫為Z(t)=R(t)-S(t)，考察時(shí)段為(0,T)，記T0=0。實(shí)際上，可能使結(jié)構(gòu)失效的荷載通常為強(qiáng)度較高、頻率較低的瞬時(shí)荷載，因此通常采用Poisson 隨機(jī)過程予以描述。假設(shè)這段時(shí)間發(fā)生了n次荷載作用S1,S2,···,Sn，任意t∈(0,T)時(shí)刻的時(shí)變抗力R(t)可以表示為初始抗力R0與抗力衰減函數(shù)g(t)的乘積：R(t)=R0·g(t)。荷載Si對(duì)應(yīng)的發(fā)生時(shí)刻Ti服從(0,T)的均勻分布[9](i=1, 2, ···,n；T1

圖1 時(shí)變抗力與荷載Poisson 過程Fig.1 Time-dependent resistance and Poisson process of load

若考察時(shí)段任意荷載均不大于對(duì)應(yīng)時(shí)刻的時(shí)變抗力值，則結(jié)構(gòu)在考察時(shí)段內(nèi)可靠，它的概率Pl(T)=P[R(T1)>S1∩R(T2)>S2∩···∩R(Tn)>Sn] =P[Z(t)>0,?t∈(0,T)]表示結(jié)構(gòu)在(0,T)的時(shí)變可靠度。從而穿越概率即結(jié)構(gòu)在(0,T)的時(shí)變失效概率，記為Pf(T)=1-Pl(T)。設(shè)n個(gè)荷載的聯(lián)合累積分布函數(shù)為FS1,S2,···,Sn(·)，Pl(T)可以表示為：

對(duì)于任意荷載Si，其發(fā)生時(shí)刻Ti的聯(lián)合密度函數(shù)fTi(t)為：

從而式(2)可寫作：

聯(lián)立式(2)和式(5)，由全概率公式得[4,40]：

式(6)成立的必要條件為P[N(T)=0]；結(jié)構(gòu)在考察時(shí)段發(fā)生首次超越事件即告失效，因此抗力大 于 荷 載 的 時(shí) 長(zhǎng)Ts可 以 表 示 為將Ts代入式(1)同樣可以得到上述結(jié)果。考慮初始抗力R0的隨機(jī)性，如圖1 所示，設(shè)其概率密度函數(shù)為fR0(r)，則式(6)可寫為：

式(7)即假定荷載為平穩(wěn)Poisson 過程的時(shí)變可靠度計(jì)算公式。將FS(·)的均值參數(shù)表示為一個(gè)與時(shí)間t相關(guān)的隨機(jī)變量，可以擴(kuò)展到荷載非平穩(wěn)Poisson 過程的可靠度計(jì)算中[3]，不過這種算法僅考慮了荷載均值增大的情況，并未考慮抗力劣化的非平穩(wěn)性。

對(duì)式(7)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行MCS 實(shí)驗(yàn)，由于荷載的頻率已知，而發(fā)生時(shí)間未知，因此將目標(biāo)考察時(shí)段劃分為n個(gè)相等時(shí)長(zhǎng)的子區(qū)間，(0,T1], (T1,T2], … , (Tn-1,T]，如圖2 所示。其中第i個(gè)子區(qū)間的最大荷載為Si(0

圖2 時(shí)變可靠度MCS 模型Fig.2 MCS model of time-dependent reliability

若荷載之間具備相關(guān)性，由于FS1,S2,···,Sn(R1,此時(shí)式(7)不再成立，需要尋求其他結(jié)構(gòu)時(shí)變可靠度評(píng)估方法。Copula 函數(shù)理論能夠準(zhǔn)確地描述變量的相關(guān)性，是解決高維隨機(jī)變量聯(lián)合概率分布問題的常用方法[41]。根據(jù)Sklar 定理的n維情形，對(duì)實(shí)數(shù)域內(nèi)的任意隨機(jī)變量si∈，總是存在一個(gè)n元Copula 函數(shù)滿足：

式(8)表明：n維荷載變量的聯(lián)合分布總是客觀存在的。設(shè)ri=r·g(ti)表示時(shí)變抗力ri的隨機(jī)變量形式，則任意子時(shí)段荷載發(fā)生時(shí)刻的聯(lián)合密度函數(shù)為：聯(lián)立式(2)與式(8)得：

式(9)即考慮n維相關(guān)荷載的時(shí)變可靠度計(jì)算公式。當(dāng)n>2 時(shí)，若關(guān)聯(lián)的多元荷載服從正態(tài)分布或t分布，可以采用金聰鶴等[8]提出的Copula隨機(jī)數(shù)方法給出式(9)基于MCS 的模擬解，并同樣可以擴(kuò)展到荷載非平穩(wěn)過程的模擬，除此以外很難通過直接計(jì)算Copula 函數(shù)積分獲得數(shù)值解?；趧?dòng)態(tài)稱重系統(tǒng)(WIM)的研究表明，作用于橋梁的車輛荷載效應(yīng)服從極值I 型分布[7,21,42]，上述方法便不再適用。Gamma 過程可以很好地應(yīng)用于模擬結(jié)構(gòu)性能的退化，例如腐蝕、開裂和服役性能降低[43]。YUAN 等[18]和YANG 等[44]提出了利用Gamma 過程更新結(jié)構(gòu)抗力的方法；WANG[45]將子區(qū)間(Ti-1,Ti]抗力的劣化值 Δi表示為服從Gamma分布的隨機(jī)變量，將每個(gè)子時(shí)段內(nèi)結(jié)構(gòu)的可靠度作為獨(dú)立事件，依據(jù)條件概率分布，提出了將抗力表示為可疊加的Gamma 分布的時(shí)變可靠度計(jì)算方法：

式(10)是一個(gè)貝葉斯公式，表示P(Ri-Δi+1>Si+1)是P(Ri>Si)的條件概率，并且與其他抗力大于荷載事件相獨(dú)立。根據(jù)Gamma 分布的可加性，若Δi服從形狀參數(shù)和統(tǒng)一尺度參數(shù)分別為 ηi和ξ 的Gamma 分布，那么服從均值和方差分別為的Gamma 分布。不過，該模型并未涉及荷載之間的相關(guān)性，以及尺度參數(shù)變化對(duì)可靠度計(jì)算結(jié)果的影響。為了避免三重以上積分的求解，本文假設(shè)僅相鄰荷載之間具備相關(guān)性，并與其他相鄰荷載的結(jié)構(gòu)可靠性互為獨(dú)立事件，對(duì)服從極值I 型分布車輛荷載的二元Copula 聯(lián)合分布函數(shù)(JCDF)進(jìn)行積分，基于貝葉斯原理，計(jì)算并討論了荷載相關(guān)性和抗力劣化的非平穩(wěn)性對(duì)時(shí)變可靠度結(jié)果的影響；并采用MCS 方法對(duì)荷載完全獨(dú)立時(shí)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，具體步驟可參考文獻(xiàn)[3]。

2 考慮抗力Gamma 劣化和關(guān)聯(lián)荷載的時(shí)變可靠度模型

服從極值I 型分布的二維隨機(jī)變量Si和Si+1的Copula JCDF 可寫為[46]：

式中，ui和αi為邊緣分布Si的參數(shù)，按下式計(jì)算：

Si的邊緣分布寫為：

式中：μSi和 σSi分別表示荷載Si的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；γ ≈0.5772為Euler 常數(shù)。為了考慮荷載隨結(jié)構(gòu)服役增大的特性，設(shè)年均增長(zhǎng)率為ε，荷載均值按照線性增長(zhǎng)進(jìn)行估算：

式中：μS0為初始荷載均值；系數(shù)χi,i+1按下式計(jì)算：

式中，ρi,i+1表示相鄰荷載的相關(guān)系數(shù)。假設(shè)相鄰荷載具備時(shí)間相關(guān)性，可以按照指數(shù)衰減規(guī)律進(jìn)行描述[17,36]：

式中：m為參數(shù)；ti為服從(0,T)均勻分布的隨機(jī)變量。當(dāng)相鄰荷載發(fā)生時(shí)刻間隔越長(zhǎng)，相關(guān)性越低，符合期望。根據(jù)貝葉斯原理，若P(Ri+1=Ri-Δi+1>Si+1)可視為P(Ri>Si)的條件概率， 則P(Ri>Si,Ri-Δi+1>Si+1)也可作為P(Ri>Si)的條件概率。從而將可靠度表示為：

式中：n=λT；fRi(r)為第i個(gè)子時(shí)段服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布抗力Ri的邊緣分布：

式中，θi和ζ分別為抗力Ri的分布參數(shù)，按下式計(jì)算：

式中：μR0為初始抗力R0的均值；VR為與混凝土材料相關(guān)的抗力變異系數(shù)；fΔi(δ)為服從Gamma分布的抗力劣化值 Δi的密度函數(shù)：

即以每個(gè)時(shí)間間隔基于衰減函數(shù)的劣化值作為形狀參數(shù)。式中，抗力衰減函數(shù)g(t)按照下式進(jìn)行計(jì)算[16]：

式中，a和b為參數(shù)。如圖3 所示，為了使抗力劣化的Gamma 過程與衰減函數(shù)g(t)的1 倍相對(duì)應(yīng)，根據(jù)Gamma 分布的可加性，fRi,Gam(r)作為服從Gamma 分布時(shí)變抗力的均值和方差分別為表示為：

圖3 抗力Gamma 劣化模型Fig.3 Gamma degradation model of resistance

依據(jù)Gamma 過程的性質(zhì)，當(dāng)尺度參數(shù)ξ 足夠小時(shí)，Ri的Gamma 分布集中在均值附近，使得劣化過程非常接近衰減函數(shù)；反之，ξ 越大，則Ri的分布越松散，抗力在短時(shí)間驟降的可能性增大，突變性增強(qiáng)。注意到對(duì)x＜0.3 有e-x≈1-x，從而式(11)可簡(jiǎn)化為：

聯(lián)立式(17)、式(18)、式(20)、式(24)，得到關(guān)聯(lián)荷載基于抗力非平穩(wěn)劣化的橋梁時(shí)變可靠度算式：

在具體應(yīng)用時(shí)，先計(jì)算n的值及每個(gè)子時(shí)段Ri>Si的概率fRi(r)FSi(r)dr，將結(jié)果保存起來；然后計(jì)算分母的二重積分結(jié)果，再將所得子區(qū)間的條件概率值連乘，并與fR1(r)FS1(r)dr的結(jié)果相乘，最終得到結(jié)構(gòu)的可靠度。當(dāng)二重積分FSi,Si+1(r,r-δ)fRi(r)fΔi(δ)drdδ的結(jié)果不小于0.7 時(shí)，可以依據(jù)式(25)計(jì)算結(jié)構(gòu)基于二維關(guān)聯(lián)荷載和抗力非平穩(wěn)劣化時(shí)變可靠度。式(25)可從三個(gè)參數(shù)角度來分析結(jié)構(gòu)的可靠性變化，分別是：抗力劣化的尺度參數(shù)ξ、荷載年均增長(zhǎng)率ε 以及荷載相關(guān)性參數(shù)m。在適用性和一般性放面已達(dá)到足夠的評(píng)估需求；荷載頻率λ只影響發(fā)生次數(shù)n的期望，并不直接參與式(25)的積分運(yùn)算，因此不再考慮其為時(shí)間函數(shù)λ(t)的情形。

3 實(shí)例分析

四川省某II 類環(huán)境條件鋼筋混凝土簡(jiǎn)支梁橋，上部結(jié)構(gòu)為T 型梁，計(jì)算跨徑20 m，橫截面尺寸如圖4 所示?；炷翉?qiáng)度等級(jí)C40，縱向鋼筋和箍筋等級(jí)分別為HRB335 和 HPB300。依據(jù)《公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范》[47]和《公路橋梁技術(shù)狀況評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)》[48]對(duì)該橋主梁進(jìn)行自然電位法檢測(cè)。結(jié)果表明：下部受拉鋼筋表面有銹斑，但銹蝕深度較淺，初步判定為結(jié)構(gòu)抗力開始衰減?，F(xiàn)基于時(shí)變可靠度理論，對(duì)該橋梁未來30 年內(nèi)的安全性能進(jìn)行基于本文可靠性模型的評(píng)估。

圖4 主梁橫截面圖 /mmFig.4 Cross section of main girder

依據(jù)《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》[49]對(duì)主梁進(jìn)行正截面承載力復(fù)核，得到除去自重的初始抗力為R0=6000 kN·m，以跨中截面彎矩進(jìn)行表示，服從變異系數(shù)為0.15 的對(duì)數(shù)正態(tài)分布[33]。由于主梁為適筋梁，僅考慮下部受拉鋼筋完全拉斷的正截面承載力失效，忽略剪切變形和偏心受壓等復(fù)雜的失效情形。根據(jù)當(dāng)?shù)貧庀髼l件，得出g(t)的參數(shù)a=0.0005，b=1.8。據(jù)當(dāng)?shù)仄渌麡蛄簹v史數(shù)據(jù)，得到2 年一遇(λ=0.5 a-1)的最大初始荷載S0為R0的33%，且年均增長(zhǎng)率ε 介于1%～3%。

圖5 和圖6 給出了結(jié)構(gòu)在服役第10 年(i=5)時(shí)抗力的密度函數(shù)fR5(r)以及采用尺度參數(shù) ξ由1 增大至1000 時(shí)對(duì)應(yīng)的Gamma 分布fR5_Gam(r)的比較結(jié)果。由結(jié)果可知， ξ越小，R5在其均值附近取值的概率越大，分布越密集；反之，則R5的分布越離散，取值范圍增大。

圖5 R5 的分布對(duì)比圖(ξ=1, 10)Fig.5 Distribution comparison of R5 (ξ=1, 10)

圖6 R5 的分布對(duì)比圖(ξ=100, 1000)Fig.6 Distribution comparison of R5 (ξ=100, 1000)

圖7 所示為不同尺度參數(shù)下對(duì)應(yīng)的抗力可能發(fā)生的Gamma 劣化過程，但未示出ξ=1的結(jié)果，因?yàn)榇藭r(shí)Gamma 過程與R(t)幾乎完全重合；當(dāng)ξ由10 增大到1000，每個(gè)子區(qū)間抗力劣化的突變性增大，這與圖5 和圖6 的結(jié)果相符。 ξ增大意味著抗力突變的概率增加，劣化的非平穩(wěn)特性更顯著，可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效概率增大。在尺度參數(shù)取值方面， ξ取1000 的時(shí)變抗力在20 年～22 年并未發(fā)生衰減，然而從22 年～24 年由5131 kN·m 驟降至3716 kN·m，這非常不符正常運(yùn)營(yíng)的橋梁承載力狀態(tài)。試算表明， ξ過大可能使得式(20)中δ/ξ在n和m較小時(shí)無解。因此本文分別取 ξ取1、10、50 進(jìn)行時(shí)變可靠度分析。

圖7 多尺度參數(shù)的抗力可能劣化路徑Fig.7 Possible resistance deterioration of multiple scale parameters

3.1 計(jì)算結(jié)果與分析

表1 展示了當(dāng)ε=3%時(shí)，結(jié)構(gòu)在4 年～30 年的部分計(jì)算結(jié)果，以時(shí)變失效概率Pf(T)表示。

表1 部分時(shí)變失效概率計(jì)算結(jié)果Table 1 Partial calculation results of time-dependent failure reliability

T=0 時(shí)結(jié)構(gòu)完全可靠；T=(0, 2)的失效概率可通過計(jì)算P(R1>S1)直接獲得。其中m=0.001 和m=10 分別表示荷載幾乎完全相關(guān)以及荷載趨近于完全獨(dú)立兩種情形，而ξ=1 和ξ=50 則分別表示抗力衰減由平穩(wěn)過程向非平穩(wěn)過程的過渡。由結(jié)果可知，較強(qiáng)的荷載相關(guān)性降低了服役期內(nèi)荷載出現(xiàn)極值的可能，因此結(jié)構(gòu)失效概率降低，可靠性增加，這與相關(guān)研究[8,17]得出的結(jié)論一致。當(dāng)ξ 增大時(shí)，結(jié)構(gòu)的失效概率增加，這表明抗力劣化的非平穩(wěn)性會(huì)增大結(jié)構(gòu)的失效概率；ξ=1，m=0.001時(shí)，結(jié)構(gòu)在(0,Ti) (i=2, 3, 4, ···, 15)的Pf(Ti)與ξ=50，m=0.001 的Pf(Ti)的比率介于1.019～1.205；而在m=10 時(shí)，ξ=50 的Pf(Ti)與ξ=1 的Pf(Ti)的比率介于1.009～1.021，說明荷載相關(guān)性是影響結(jié)構(gòu)時(shí)變可靠度的主要原因，但是當(dāng)相關(guān)性較強(qiáng)時(shí)，結(jié)構(gòu)抗力劣化的非平穩(wěn)特性對(duì)時(shí)變可靠度的影響不能忽略。

對(duì)式(25)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，本文采用了圖2 所示的均分時(shí)間段方法，在任意子區(qū)間荷載的二維分布FSi,Si+1(r,r-δ)、抗力的分布fRi(r)和抗力劣化值的分布fΔi+1(δ)是唯一確定的(i=1, 2, 3, ···,n-1)。為了討論時(shí)間分布的隨機(jī)性對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生影響，在計(jì)算相關(guān)參數(shù)ρi,i+1時(shí)，本文分別采取第i個(gè)荷載Si發(fā)生時(shí)刻TSi為(Ti-1,Ti)中間時(shí)刻的方式及(0,T)均勻分布的方式(先生成隨機(jī)數(shù)，然后對(duì)其排序)。前者將固定荷載相關(guān)參數(shù)，而后者則將荷載相關(guān)參數(shù)隨機(jī)化。對(duì)比結(jié)果如圖8 所示，其中ε=0.03， ξ=50，m=0.1。三個(gè)對(duì)照組均為任意荷載發(fā)生時(shí)刻服從(0,T)均勻分布的結(jié)果。

圖8 荷載發(fā)生時(shí)刻固定與隨機(jī)分布的結(jié)構(gòu)時(shí)變失效概率Fig.8 Structural time-dependent failure probability with fixed and stochastic time of load occurrence

由圖8 可知，將荷載相關(guān)參數(shù)隨機(jī)化后，計(jì)算所得的時(shí)變失效概率為一個(gè)范圍。考慮到荷載非平穩(wěn)性參數(shù)ξ的取值受限，對(duì)照組方法可能使抗力非平穩(wěn)劣化對(duì)結(jié)構(gòu)可靠度的影響無法體現(xiàn)。因此后續(xù)計(jì)算均采用荷載發(fā)生時(shí)刻為該子區(qū)間中間時(shí)刻的方式。不過，在確定性的概率分布下，通過隨機(jī)化相關(guān)性參數(shù)，便可得到一個(gè)可靠度范圍，對(duì)于解決荷載中度相關(guān)的問題十分有意義，例如經(jīng)常擁堵橋梁的安全性能評(píng)估問題。

圖9 和圖10 展示了ε=3%的所有時(shí)變失效概率計(jì)算結(jié)果?？芍?，當(dāng)ξ 由1 分別增大到10 和50，不論荷載的相關(guān)性強(qiáng)弱如何，結(jié)構(gòu)的失效概率都有略微的增大，但相較于荷載相關(guān)性的影響偏弱。m越大，荷載獨(dú)立性越強(qiáng)，ξ 變化對(duì)結(jié)構(gòu)失效概率的影響越不顯著。這表明：不論荷載是否具備相關(guān)性，忽略橋梁抗力的非平穩(wěn)劣化特性都會(huì)高估橋梁的可靠性；ξ 越大，表明抗力發(fā)生驟降的程度越高，因此結(jié)構(gòu)失效的概率也越大。由表1可知，考慮抗力非平穩(wěn)劣化的結(jié)構(gòu)時(shí)變失效概率與不考慮的比值大于1.01，因此橋梁實(shí)際服役期間的可靠性要偏低一些。

圖9 結(jié)構(gòu)在16 年以內(nèi)的時(shí)變失效概率Fig.9 Structural time-dependent failure probability within 16 years

圖10 結(jié)構(gòu)在18 年～30 年的時(shí)變失效概率Fig.10 Structural time-dependent failure probability within 18 to 30 years

圖11 給出了當(dāng)ξ 和m分別為50 和10 時(shí)，結(jié)構(gòu)在ε 分別為1%、2%和3%的時(shí)變失效概率結(jié)果?？芍汉奢d均值的增長(zhǎng)率對(duì)結(jié)構(gòu)失效概率影響較大。即使不考慮荷載強(qiáng)度幾何增長(zhǎng)的情形，結(jié)構(gòu)在T=30 a 的時(shí)變失效概率Pf(30)分別為0.023、0.128 和0.466，如果考慮荷載為幾何級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)，或者λ 為時(shí)間相關(guān)的增函數(shù)，那么失效概率還會(huì)進(jìn)一步增大。不過，當(dāng)ε=3%時(shí)，荷載在T=26、28 和30 的時(shí)變失效概率增長(zhǎng)過快，這表明該子區(qū)間的FSi,Si+1(r,r-δ)fRi(r)fΔi(δ)drdδ的積分可能小于0.7，使得計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)。另外，2%的年均荷載增長(zhǎng)率可以視為橋梁服役安全與否的閾值。若超過該值，應(yīng)當(dāng)限制重車超重車的負(fù)載，并定期對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)主要承重構(gòu)件進(jìn)行檢測(cè)、維修或更換。否則結(jié)構(gòu)服役30 年內(nèi)的失效風(fēng)險(xiǎn)較大。

圖12 給出了式(25)與MCS 結(jié)果的比較，其中m=10，表示荷載幾乎彼此獨(dú)立；ξ=50；MCS 的模擬次數(shù)為200 萬。ε=0.03 時(shí)橋梁在T=26 a～30 a 的時(shí)變失效概率較MCS 結(jié)果偏離較大，原因是T>24 a 時(shí)FSi,Si+1(r,r-δ)fRi(r)fΔi(δ)drdδ的積分結(jié)果小于0.7，因此e-x>1-x，被積函數(shù)偏小使得計(jì)算結(jié)果較MCS 模擬結(jié)果存在較大誤差；而ε=0.01 時(shí)則不存在上述問題，因此得出的計(jì)算結(jié)果與MCS 結(jié)果十分接近，證明了本文所提公式的正確性。

圖12 公式解與MCS 對(duì)比Fig.12 Comparison between equation solution and MCS

4 結(jié)論

本文基于時(shí)變可靠度理論，將抗力的劣化表示為Gamma 非平穩(wěn)隨機(jī)過程；考慮相鄰荷載之間的時(shí)間相關(guān)性，將二維荷載的可靠度作為條件概率，基于貝葉斯原理，提出了考慮抗力非平穩(wěn)劣化和荷載相關(guān)性的橋梁時(shí)變可靠度分析模型，給出了計(jì)算公式，并采用MCS 方法進(jìn)行了驗(yàn)證。結(jié)果表明，當(dāng)時(shí)變失效概率計(jì)算結(jié)果小于0.2 時(shí)，本文所提公式精度較高。得出以下結(jié)論：

(1) 不考慮結(jié)構(gòu)抗力劣化的非平穩(wěn)性會(huì)一定程度上高估結(jié)構(gòu)的可靠性，荷載相關(guān)性越強(qiáng)，高估的程度越大。荷載相關(guān)性對(duì)結(jié)構(gòu)可靠性的影響大于抗力劣化非平穩(wěn)性。

(2) 其他條件相同的情況下，劣化抗力的尺度參數(shù)越大，結(jié)構(gòu)失效概率越高。因此，經(jīng)受了較高強(qiáng)度荷載作用的橋梁結(jié)構(gòu)，例如地震、大風(fēng)、交通事故、渡輪撞擊等，要確保對(duì)關(guān)鍵承重構(gòu)件的及時(shí)檢測(cè)、養(yǎng)護(hù)和更換，以防止承載力驟降威脅橋梁安全。

(3) 荷載相關(guān)性越高，結(jié)構(gòu)的失效概率越低，安全性能越有保障。對(duì)此合理的解釋類似本文抗力Gamma 劣化過程的分析，即關(guān)聯(lián)的荷載過程降低了其在橋梁后繼服役期的變異性，同時(shí)降低了其大于驟降抗力的概率。因此道路主管部門可以對(duì)超重車進(jìn)行限制，增大其相關(guān)性，以提升公路橋梁安全性，例如在橋梁服役的某段時(shí)期允許重車超重車通勤。

(4) 對(duì)于在役橋梁，若已服役期的年均交通增長(zhǎng)率超過2%，那么結(jié)構(gòu)在30 年內(nèi)失效風(fēng)險(xiǎn)較高，應(yīng)當(dāng)限制后繼服役期車輛的通勤數(shù)量和軸重。