徐亞洲，魏克倫，丁艷瓊

(西安建筑科技大學(xué)土木工程學(xué)院，陜西，西安 710055)

鋼筋混凝土橋墩在強震作用下通常會表現(xiàn)出明顯的強度退化、剛度退化和捏縮效應(yīng)等非線性滯回特性。建立能夠反映鋼筋混凝土橋墩滯回特性的非線性滯回模型，是準確、有效地預(yù)測其在強震作用下地震響應(yīng)的基礎(chǔ)[1]。

目前，研究人員已經(jīng)提出了多種可以用來模擬非線性滯回性能的滯回模型。根據(jù)光滑程度，這些滯回模型可以分為折線型滯回模型和光滑型滯回模型[2]。折線型滯回模型采用線段直觀描述滯回曲線的加卸載規(guī)律，如Clough 模型[3]、Takeda模型[4]等。折線型滯回模型雖然相對簡單，但是存在剛度變化不連續(xù)、程序?qū)崿F(xiàn)不方便等缺點。相比之下，光滑型滯回模型的剛度變化連續(xù)且易于程序化[2]。BOUC[5]首先提出了用微分形式的數(shù)學(xué)模型來模擬滯回非線性系統(tǒng)，即Bouc 模型，但該模型不能考慮強度退化、剛度退化和捏縮效應(yīng)。WEN[6]通過對原有的Bouc 模型進行改進，建立了用于結(jié)構(gòu)隨機振動分析的光滑型滯回模型，稱為Bouc-Wen 模型。BABER 和WEN[7]通過引入剛度退化和強度退化參數(shù)改進了Bouc-Wen 模型，其中剛度退化和強度退化參數(shù)通過累積滯回耗能準則定義，并廣泛應(yīng)用于磁流變阻尼器[8]、消能減震結(jié)構(gòu)[9]、阻尼耗能支撐[10]等。該模型雖然可以考慮剛度和強度的退化，但是不能模擬捏縮效應(yīng)。

鑒于此，BABER 和NOORI[11]以考慮剛度、強度退化的Bouc-Wen 模型為基礎(chǔ)，通過構(gòu)建含有6 個參數(shù)的“捏縮效應(yīng)”函數(shù)提出了改進Bouc-Wen 模型，稱為Bouc-Wen-Baber-Noori(BWBN)模型。該模型能綜合考慮非線性系統(tǒng)的滯回性能，包括強度退化、剛度退化和捏縮效應(yīng)等。余波等[12]采用BWBN 模型，結(jié)合微分進化算法研究了鋼筋混凝土柱的恢復(fù)力模型。韓強等[13]運用無跡卡爾曼濾波(UKF)對BWBN 模型進行參數(shù)識別，建立了鋼筋混凝土橋墩的滯回模型。郭秀秀等[14]基于BWBN 模型建立了木排架結(jié)構(gòu)的恢復(fù)力模型，并以此為基礎(chǔ)研究了木排架結(jié)構(gòu)在強震作用下的地震響應(yīng)。上述研究成果表明：BWBN 模型已廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的滯回性能模擬。但是BWBN模型也存在函數(shù)復(fù)雜、參數(shù)太多的問題，導(dǎo)致其計算效率較低。因此，有必要在Bouc-wen 模型的基礎(chǔ)上，提出一種計算效率更高的光滑型滯回模型。

本文基于近似狄拉克δ函數(shù)構(gòu)建更簡單、高效的“捏縮效應(yīng)”函數(shù)，進而提出了一種新的改進Bouc-Wen(MBW)模型。與BWBN 模型相比，MBW模型需要識別的參數(shù)更少。本文基于預(yù)制RC 橋墩的擬靜力試驗數(shù)據(jù)，利用MATLAB 遺傳算法工具箱對BWBN 模型和MBW 模型進行參數(shù)識別。結(jié)果表明：本文提出的MBW 模型能夠很好地模擬預(yù)制RC 橋墩在往復(fù)荷載作用下的滯回性能，并具有更高的計算精度。

1 Bouc-Wen-Baber-Noori 模型

Bouc-Wen-Baber-Noori(BWBN)模型是以考慮剛度、強度退化的Bouc-Wen 模型為基礎(chǔ)，通過構(gòu)建含有6 個參數(shù)的“捏縮效應(yīng)”函數(shù)來實現(xiàn)捏縮效應(yīng)。BWBN 模型可以較好模擬鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的滯回性能，包括強度退化、剛度退化和捏縮效應(yīng)等[15-19]。

基于BWBN 模型，預(yù)制RC 橋墩的恢復(fù)力可以表示為：

式中：F(u,z)為橋墩恢復(fù)力；k0為初始線彈性剛度； α為屈服后剛度比；u為橋墩頂部位移；z為滯回位移。

橋墩頂部位移u與滯回位移z之間的關(guān)系為：

式中：A、 β 、 γ和n為控制滯回曲線形狀的模型參數(shù)； δη和 δν分別為控制滯回曲線剛度退化和強度退化的模型參數(shù)； ε為累積滯回耗能；h(z)為“捏縮效應(yīng)”函數(shù)，可以表示為：

本文用MATLAB 編程實現(xiàn)了BWBN 模型，分別研究了控制捏縮效應(yīng)的模型參數(shù)對滯回曲線的影響，如圖1～圖6 所示。參數(shù)q控制捏縮效應(yīng)的開始。參數(shù)p主要控制捏縮效應(yīng)的捏縮斜率。參數(shù)ζs控制總滑移量。參數(shù) ψ 、 δψ和 λ對滯回曲線的影響基本一致，隨著參數(shù) ψ 、 δψ和 λ的增大，滯回曲線的捏縮量逐漸增大，捏縮效應(yīng)越來越強烈，可以認為參數(shù) ψ 、 δψ和λ共同控制滯回曲線的總捏縮量。

綜上所述，滯回曲線的捏縮效應(yīng)由4 個因素控制：捏縮效應(yīng)的開始、捏縮斜率、總滑移量和總捏縮量。同時，由圖4～圖6 可知，參數(shù) ψ、δψ和 λ對滯回曲線的作用相似，說明BWBN 模型存在功能冗余，具有進一步優(yōu)化的空間。

2 新的改進Bouc-Wen 模型

本文提出的改進Bouc-Wen (MBW)模型的恢復(fù)力表達式與BWBN 模型的恢復(fù)力表達式一致，如式(1)所示。與BWBN 模型的不同之處在于，MBW 模型采用更簡單、高效“捏縮效應(yīng)”函數(shù)來實現(xiàn)捏縮效應(yīng)。MBW 模型中，橋墩頂部位移u與滯回位移z之間的關(guān)系如式(10)所示：

式中：u為橋墩頂部位移；z為滯回位移；A、 β、γ和n控制滯回曲線形狀的模型參數(shù)； η和ν分別控制滯回曲線的剛度退化和強度退化，其計算公式見式(3)和式(4)。h(u,ε)為新的“捏縮效應(yīng)”函數(shù)，可以表示為：

式中： ρ 、 θ、φ和τ為控制捏縮效應(yīng)的模型參數(shù)；ε為累積滯回耗能。

“捏縮效應(yīng)”函數(shù)h(u,ε)對滯回曲線的影響如圖7 所示。

圖7 “捏縮效應(yīng)”函數(shù)對滯回曲線的影響Fig.7 Effect of pinching function on hysteretic curve

當(dāng)h(u,ε)=1，滯回模型為不考慮捏縮效應(yīng)的Bouc-Wen 光滑模型，如圖7(a)所示。

“捏縮效應(yīng)”函數(shù)h(u,ε)的函數(shù)形狀為U 形，如圖7(b)所示。在原點附近為函數(shù)曲線平直，函數(shù)值最??；兩側(cè)是光滑曲線，隨著遠離原點其函數(shù)值逐漸增大，而斜率逐漸減小。

“捏縮效應(yīng)”函數(shù)(圖7(b))通過控制Bouc-Wen 光滑模型(圖7(a))滯回位移z的變化來實現(xiàn)捏縮效應(yīng)，得到考慮捏縮效應(yīng)的MBW 模型滯回曲線，如圖7(c)所示。由式(10)可知，在原點附近“捏縮效應(yīng)”函數(shù)h(u,ε)可以通過函數(shù)值的降低直接減小滯回位移z。又由式(1)可知，滯回位移z的減小會直接降低恢復(fù)力F(u,z)，由此實現(xiàn)滯回曲線在原點附近的捏縮。

2.1 “捏縮效應(yīng)”函數(shù)

本文提出的改進Bouc-Wen (MBW)模型，創(chuàng)新之處在于基于近似狄拉克δ函數(shù)[20]構(gòu)建一個更簡單、高效的“捏縮效應(yīng)”函數(shù)h(u,ε)。該函數(shù)只有4 個參數(shù)，每個參數(shù)都有明確的物理意義。MBW模型的“捏縮效應(yīng)”函數(shù)h(u,ε)分3 步構(gòu)建，如圖8所示。

圖8 “捏縮效應(yīng)”函數(shù)的構(gòu)建過程Fig.8 Process of constructing the pinching function

1) 構(gòu)建近似狄拉克δ函數(shù)f(u)。

式中：u為橋墩頂部位移；φ和θ為“捏縮效應(yīng)”函數(shù)的參數(shù)。參數(shù)φ的建議取值范圍為[0,umax]，參數(shù)θ的建議取值范圍為[2, 8]。其中u取絕對值是為了保證參數(shù) θ可以取值連續(xù)，從而使基于函數(shù)f(u)構(gòu)造的“捏縮效應(yīng)”函數(shù)更加精確。

近似狄拉克 δ函數(shù)f(u)如圖8(a)所示。函數(shù)f(u)在原點附近急劇增加，并在原點處達到最大值；在遠離原點的地方，函數(shù)f(u)基本為0。

2) 進行近似狄拉克δ函數(shù)f(u)歸一化[21]，得到fn(u)。

函數(shù)fn(u)如圖8(b)所示。函數(shù)的最大值為1，函數(shù)形狀為倒U 形，頂部為平直區(qū)，兩側(cè)是光滑曲線，其斜率隨著遠離原點而逐漸減小。

3) 構(gòu)建“捏縮效應(yīng)”函數(shù)h(u,ε)。

在式(13)的基礎(chǔ)上構(gòu)建“捏縮效應(yīng)”函數(shù)h(u,ε)，如式(11)所示。

圖8(c)模擬了單個滯回環(huán)中函數(shù)h(u,ε)隨u變化的規(guī)律。為了便于研究，不考慮累積滯回耗能ε的變化。

如圖8(c)所示，在單個滯回環(huán)中，當(dāng)u=0，“捏縮效應(yīng)”函數(shù)值最小，h(0,ε)=1-ρ(1-exp(-τε))，此時“捏縮效應(yīng)”函數(shù)h(u,ε)在該滯回環(huán)中引起的捏縮效應(yīng)最強。

參數(shù) θ和φ對“捏縮效應(yīng)”函數(shù)的影響如圖9所示。從圖9(a)中可以看出，隨著參數(shù)θ的增大，函數(shù)曲線兩側(cè)的斜率逐漸變大，曲線越來越陡。從圖9(b)可以看出，隨著參數(shù)φ的增大，函數(shù)曲線頂部平直區(qū)的寬度逐漸增加。

本文基于加載過程中累積滯回耗能ε的變化來考慮捏縮效應(yīng)的發(fā)展。由圖8(c)可知，h(0,ε)可以衡量試驗加載過程中各個滯回環(huán)的捏縮幅度。

根據(jù)某現(xiàn)澆橋墩的擬靜力試驗數(shù)據(jù)，得到累積滯回耗能ε隨滯回環(huán)數(shù)的變化曲線。并以此為基礎(chǔ)，研究了在試驗加載中各個滯回環(huán)中h(0,ε)隨著累積滯回耗能ε增加的變化規(guī)律，如圖10 所示。

由圖10 可以看出，在試驗加載中h(0,ε)的變化可以分為3 個階段：1) 在試驗初期，試件處于彈性階段，累積滯回耗能 ε很低，此時h(0,ε)的值近似等于1，滯回曲線不發(fā)生捏縮效應(yīng)；2) 隨著試件進入塑性階段，累積滯回耗能ε逐漸增加，此時h(0,ε)的值逐漸減小，滯回曲線開始出現(xiàn)捏縮效應(yīng)并逐漸加強； 3) 當(dāng)累積滯回耗能 ε增大到一定水平時，h(0,ε)的值下降到1-ρ，并保持恒定，此時滯回曲線捏縮效應(yīng)最強，同時捏縮量達到整個試驗加載中的最大值。

由圖10(a)可以看出，參數(shù) ρ控制總捏縮量，隨著參數(shù) ρ的增加，總捏縮量呈現(xiàn)線性增加。由圖10(b)可以看出，參數(shù)τ控制捏縮效應(yīng)的開始。隨著參數(shù)τ的增大，捏縮效應(yīng)開始的時間越來越早，捏縮效應(yīng)的發(fā)展速率越來越快。

2.2 控制捏縮效應(yīng)的模型參數(shù)對滯回曲線的影響

本文用MATLAB 編程實現(xiàn)了MBW 模型，分別研究了控制捏縮效應(yīng)的模型參數(shù)對滯回曲線的影響，如圖11～圖14 所示。

從圖11 可以看出，參數(shù) ρ控制著總捏縮量。隨著參數(shù) ρ的增大，捏縮量逐漸增大。從圖12 可以看出，參數(shù)θ控制滯回曲線的捏縮斜率。隨著參數(shù)θ的增大，滯回曲線變得越來越陡，斜率逐漸增大。從圖13 可以看出，參數(shù)φ控制滯回曲線的總滑移量。隨著參數(shù)φ的增大，滯回曲線滑移區(qū)的寬度逐漸增大，同時捏縮量也逐漸增加。由圖14 可知，參數(shù)τ控制著捏縮效應(yīng)的開始。隨著參數(shù)τ值的增大，捏縮效應(yīng)的發(fā)展速率逐漸增大，捏縮效應(yīng)出現(xiàn)的時間越來越早。

由圖11～圖14 可知，MBW 模型的“捏縮效應(yīng)”函數(shù)能夠有效地模擬捏縮效應(yīng)。“捏縮效應(yīng)”函數(shù)的各個參數(shù)都具有明確的物理意義，同時參數(shù)之間也存在相互影響。

值得注意的是，BWBN 模型的“捏縮效應(yīng)”函數(shù)是一個包含6 個參數(shù)的非常復(fù)雜的函數(shù)，如式(6)～式(9)所示。而MBW 模型的“捏縮效應(yīng)”函數(shù)只包含4 個模型參數(shù)，函數(shù)表達式也更簡單明了，如式(11)所示。

綜上所述，與BWBN 模型相比，MBW 模型“捏縮效應(yīng)”函數(shù)的參數(shù)更少，同時其簡潔的函數(shù)表達式也更有利于程序化和提高計算效率。

3 模型驗證

3.1 參數(shù)識別

BWBN 模型和MBW 模型中參數(shù)的作用如表1和表2 所示，BWBN 模型包括14 個模型參數(shù)(k0、 α、A、 β 、 γ、n、 δη、 δν、q、p、 ζs、 ψ 、δψ和 λ)，而MBW 模型包括12 個模型參數(shù)(k0、 α、A、 β 、 γ、n、 δη、 δν、φ、 θ 、 ρ和τ)。BWBN 模型和MBW 模型的參數(shù)較多，同時參數(shù)之間相互影響，無法直接通過計算公式確定模型參數(shù)的準確值。

表1 BWBN 模型參數(shù)[12]Table 1 BWBN model parameters[12]

表2 MBW 模型參數(shù)Table 2 MBW model parameters

本文利用MATLAB 遺傳算法工具箱[22]進行參數(shù)識別。滯回模型的參數(shù)識別過程為優(yōu)化問題，通過尋找最優(yōu)的模型參數(shù)使得目標函數(shù)值最小。其中，目標函數(shù)為滯回模型計算得到的恢復(fù)力預(yù)測值與恢復(fù)力試驗值之間的誤差，可以表示為[12]：

本文參數(shù)識別過程中，MATLAB 遺傳算法工具箱的設(shè)置為，種群個數(shù)100 個，迭代代數(shù)100 代。

3.2 模型驗證算例

本文選取的預(yù)制RC 橋墩試驗數(shù)據(jù)為西安建筑科技大學(xué)徐亞洲等[23]于2021 年所做的螺紋鋼法蘭連接預(yù)制裝配橋墩擬靜力試驗，包括一個現(xiàn)澆試件(CIP)和兩個預(yù)制試件(PC1 和PC2)，試件參數(shù)見表3，具體試驗方案見文獻[23]。利用MATLAB遺傳算法工具箱，對BWBN 模型和MBW 模型進行參數(shù)識別，并結(jié)合試驗結(jié)果對BWBN 模型和MBW模型的數(shù)值模擬結(jié)果進行對比分析。

表3 試件參數(shù)Table 3 Details of specimens

CIP 試件、PC1 試件和PC2 試件滯回模型的初始線彈性剛度k0，通過擬靜力試驗數(shù)據(jù)計算得到：21.56 kN/mm、15.23 kN/mm 和20.19 kN/mm。

CIP 試件、PC1 試件和PC2 試件的BWBN 模型第100 代的參數(shù)識別結(jié)果見表4，MBW 模型第100 代的參數(shù)識別結(jié)果見表5。表6 顯示了BWBN模型和MBW 模型的數(shù)值模擬結(jié)果與試驗結(jié)果之間的誤差。

表4 BWBN 模型參數(shù)識別結(jié)果Table 4 Parameter identification results of BWBN model

表5 MBW 模型參數(shù)識別結(jié)果Table 5 Parameter identification results of MBW model

表6 試驗結(jié)果與滯回模型之間的誤差Table 6 Error between test results and hysteretic model

圖15 顯示了三個橋墩試件在參數(shù)識別過程的目標函數(shù)值隨進化代數(shù)變化的軌跡，圖中水平參考線(虛線)為BWBN 模型第100 代目標函數(shù)值。從圖15 可見，CIP 試件、PC1 試件和PC2 試件的MBW 模型分別在第15 代、34 代和16 代達到BWBN 模型第100 代目標函數(shù)值，表明參數(shù)識別過程中MBW 模型需要的進化代數(shù)降低了66%以上，具有更高的計算效率。參數(shù)識別過程中第100 代的目標函數(shù)值見表6。從表6 中可見，MBW 模型具有更高計算精度。

圖15 目標函數(shù)值隨進化代數(shù)變化的軌跡Fig.15 Trace of objective function values along with evolutionary generations

圖16 將BWBN 模型和MBW 模型模擬的滯回曲線與試驗數(shù)據(jù)進行對比分析。從圖16 可以看出，MBW 模型模擬的滯回曲線與試驗數(shù)據(jù)吻合更好。調(diào)用Matlab 中的corrcoef 函數(shù)，計算得到BWBN 模型和MBW 模型模擬的恢復(fù)力預(yù)測值與恢復(fù)力試驗值之間的相關(guān)性系數(shù)見表6。結(jié)果表明：MBW 模型模擬的滯回曲線與試驗數(shù)據(jù)具有更高的相關(guān)性。

圖16 試驗結(jié)果與滯回模型之間滯回曲線對比Fig.16 Comparison of hysteretic curves between test results and hysteretic model

圖17 將BWBN 模型和MBW 模型模擬得到的骨架曲線與試驗數(shù)據(jù)進行對比分析。從圖17 中可以看出，BWBN 模型和MBW 模型模擬的骨架曲線與試驗數(shù)據(jù)在彈性階段、屈服階段和下降階段具有相同的趨勢。骨架曲線的正向峰值荷載和負向峰值荷載見表6，結(jié)果表明：MBW 模型模擬的骨架曲線與試驗數(shù)據(jù)之間誤差更小。

圖17 試驗結(jié)果與滯回模型之間骨架曲線對比Fig.17 Comparison of skeleton curves between test results and hysteretic model

圖18 將BWBN 模型和MBW 模型模擬得到的累積滯回耗能與試驗數(shù)據(jù)進行對比分析。從圖18中可以看出，MBW 模型模擬得到的累積滯回耗能曲線與試驗數(shù)據(jù)吻合更好。最終的累積滯回耗能見表6，結(jié)果表明：MBW 模型模擬得到的累積滯回耗能與試驗數(shù)據(jù)之間誤差更小。

圖18 試驗結(jié)果與滯回模型之間累積滯回耗能對比Fig.18 Comparison of cumulative dissipated energy curves between test results and hysteretic model

綜上所述，MBW 模型不但可以很好地模擬預(yù)制RC 橋墩的強度退化、剛度退化和捏縮效應(yīng)等滯回性能，而且，與BWBN 模型相比，MBW 模型具有更高的計算精度。需要指出的是，由圖15 可以看出，在第100 代時BWBN 模型的目標函數(shù)值軌跡仍有下降趨勢，這說明，BWBN 模型具有繼續(xù)進行參數(shù)識別、優(yōu)化的空間，但是需要更多的進化代數(shù)、更大的計算代價才能達到MBW 模型第100 代結(jié)果的精度。

4 結(jié)論

由于Bouc-Wen-Baber-Noori (BWBN)模型中“捏縮效應(yīng)”函數(shù)復(fù)雜且參數(shù)較多，其計算效率較低。鑒于此，本文基于近似狄拉克δ函數(shù)提出了新的改進Bouc-Wen (MBW)模型，并結(jié)合預(yù)制RC 橋墩的擬靜力試驗數(shù)據(jù)驗證了MBW 模型的有效性，所得結(jié)論如下：

(1) 相比于BWBN 模型，MBW 模型的“捏縮效應(yīng)”函數(shù)更加簡單，能夠以更少的參數(shù)實現(xiàn)捏縮效應(yīng)。

(2) 本文建立的MBW 模型可以很好地模擬預(yù)制RC 橋墩的強度退化、剛度退化和捏縮效應(yīng)等滯回性能。

(3) 與BWBN 模型相比，MBW 模型所得到的滯回曲線、骨架曲線、累積滯回耗能曲線與試驗數(shù)據(jù)吻合更好，并具有更高的計算精度。