江旭東，馬佳琪，熊 志，滕曉艷，王亞萍

(1.哈爾濱理工大學(xué)機械動力工程學(xué)院，哈爾濱 150080；2.哈爾濱工程大學(xué)機電工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

在飛機、汽車制造與結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域，多材料設(shè)計兼顧每一相基材料的有點，能夠保證結(jié)構(gòu)具有綜合的力學(xué)性能，因而在飛機、汽車與橋梁結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用日益增多[1-3]。拓?fù)鋬?yōu)化方法能夠?qū)で鬂M足性能約束條件下材料的最優(yōu)布局，極大地豐富了多材料結(jié)構(gòu)的設(shè)計手段。與傳統(tǒng)單一材料的拓?fù)鋬?yōu)化相比，多相材料的拓?fù)鋬?yōu)化極大地擴大了設(shè)計空間，能夠提供綜合性能更優(yōu)的最優(yōu)解。隨著多材料增材制造技術(shù)的發(fā)展，依據(jù)最優(yōu)拓?fù)涞挠嬎隳Ｐ?，使通過逐點和逐層方式打印多材料設(shè)計結(jié)構(gòu)成為可能[4-6]。由此，多材料的拓?fù)鋬?yōu)化問題引起了研究機構(gòu)的廣泛關(guān)注。根據(jù)設(shè)計變量的定義方式，多材料拓?fù)鋬?yōu)化方法通常歸納為2 類：基于單元的方法[7-18]和基于邊界的方法[19-23]。在基于單元的方法框架內(nèi)，ZUO 等[7]、杜義賢等[8]、閆浩和吳曉明[9]通過構(gòu)造材料性能的序列插值模型，實現(xiàn)了柔性機構(gòu)和傳熱機構(gòu)的多材料最優(yōu)布局設(shè)計。俞燎宏等[10]和朱本亮等[11]采用交替主動相算法，將多相優(yōu)化布局問題轉(zhuǎn)變?yōu)樾蛄袃上嗖牧蟽?yōu)化子問題，然后通過并行計算策略逐級分層計算。目前，多體積約束下的多材料布局優(yōu)化已拓展至穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)[12]、熱力耦合[13-14]、頻域動力學(xué)[15]和空間桁架結(jié)構(gòu)[16]的最優(yōu)布局問題。最近，YANG和LI[17]、HUANG 和LI[18]則提出了單一質(zhì)量約束下的多材料輕量化設(shè)計方法。在基于邊界方法的框架內(nèi)，水平集法[19-21]和移動構(gòu)件法(MMC)[22-23]因其能使邊界光滑清晰、便于提取設(shè)計構(gòu)型等獨特優(yōu)勢，也受到了一定的關(guān)注與研究。但是，現(xiàn)有的基于邊界的方法未能充分考慮新孔洞的創(chuàng)建，優(yōu)化結(jié)果過度依賴于初始設(shè)計，難于獲得優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解。

拓?fù)鋬?yōu)化框架要求在消耗盡可能小的計算成本下獲得高分辨率的優(yōu)化結(jié)果，而上述目標(biāo)的實現(xiàn)取決于有限元求解器、自由度數(shù)量、優(yōu)化建模策略、材料插值模型以及后處理等諸多因素。SUKUMAR[24]首次提出了多邊形有限元法，數(shù)值實驗表明它非常適于求解具有復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)區(qū)域的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問題。將多邊形單元應(yīng)用于拓?fù)鋬?yōu)化問題，能夠顯著地減小棋盤格和孤島效應(yīng)等數(shù)值奇異性問題[25-28]。為了減少計算成本與提高求解精度，NGUYEN-XUAN[29]構(gòu)建了多邊形有限元法與自適應(yīng)網(wǎng)格重劃技術(shù)融合策略，CHAU 等[30]基于上述研究工作求解了多材料結(jié)構(gòu)的靜態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化問題。另外，NGUYEN 等[31]提出了高分辨率拓?fù)鋬?yōu)化方法 (multiresolution topology optimization，MTOP)，它采用多層級網(wǎng)格優(yōu)化建模策略，即利用粗糙網(wǎng)格完成有限元分析，精細(xì)的重疊網(wǎng)格描述設(shè)計變量和密度變量空間，從而形成高分辨率的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。最近，F(xiàn)ILIPOV 等[32]將多邊形單元替代傳統(tǒng)單元作為分析單元，精確地估計復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)，高效地實現(xiàn)了特征值、受迫振動等結(jié)構(gòu)頻域動力學(xué)問題的高分辨率拓?fù)鋬?yōu)化。

在結(jié)構(gòu)時域動響應(yīng)方面，以提高結(jié)構(gòu)動剛度[27,33]，降低結(jié)構(gòu)振動幅度[34-35]和動應(yīng)力幅值[28]等拓?fù)鋬?yōu)化方法相繼提出。SHOBEIRI[33]在敏度分析中忽略了動能對單元刪除的影響，難于獲得慣性力影響顯著的動力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化解。ZHAO 和WANG[34]、GIRALDO-LONDO?O 等[27-28]分別采用了先微分-后離散和先離散-后微分的伴隨敏度分析方法，但是，后者基于多邊形單元計算結(jié)構(gòu)動響應(yīng)，能夠處理任意曲線邊界結(jié)構(gòu)的動力學(xué)優(yōu)化問題。針對模型減縮技術(shù)在動力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化過程中的有效性問題，ZHAO 和WANG[35]指出模態(tài)加速法在減少響應(yīng)計算規(guī)模和預(yù)測精度上的平衡能力優(yōu)于模態(tài)位移法，然而，如果高頻模態(tài)為主要影響模態(tài)時，模型減縮技術(shù)將失效。

多相材料時域動力學(xué)布局優(yōu)化問題屬于強非自伴隨問題，需要考慮多材料結(jié)構(gòu)的動態(tài)約束條件，致使敏度分析和優(yōu)化問題求解具有挑戰(zhàn)性，因而目前的多相材料布局優(yōu)化集中于靜態(tài)優(yōu)化問題，而多相材料的時域動力學(xué)布局優(yōu)化問題研究相對較少。因此，本文將多邊形網(wǎng)格與MTOP 的融合方法拓展至多材料結(jié)構(gòu)的動態(tài)拓?fù)鋬?yōu)化問題，建立融合框架內(nèi)的多相材料高分辨率布局的時域動力學(xué)優(yōu)化模型。為了避免先微分-后離散方法引起的靈敏度計算的相容性誤差，采用先離散-后微分的伴隨敏度分析方法。通過泰勒公式實現(xiàn)近似描述目標(biāo)函數(shù)和體積約束函數(shù)，建立原問題的凸規(guī)劃子模型，采用基于敏度分離技術(shù)的ZPR方法求解子問題。最后，通過數(shù)值算例檢驗提出的方法在多相材料動力學(xué)布局優(yōu)化的可行性。

1 多分辨率-多邊形網(wǎng)格建模策略

多邊形單元在動力學(xué)分析方面其求解精度優(yōu)于傳統(tǒng)單元，因而將其作為動力學(xué)優(yōu)化問題的響應(yīng)計算單元[25-28]。同時，將多邊形單元劈分為精細(xì)的小單元形成設(shè)計變量與密度變量網(wǎng)格，并使兩者具有相同的位置坐標(biāo)，繼而構(gòu)建多分辨率-多邊形單元的優(yōu)化建模策略，能夠?qū)崿F(xiàn)粗糙位移網(wǎng)格條件下的高分辨率的拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)型設(shè)計(如圖1所示)。多分辨率-多邊形單元建模策略，利用粗糙的多邊形網(wǎng)格精確求解位移場，精細(xì)的設(shè)計變量與密度變量重疊網(wǎng)格用于構(gòu)型優(yōu)化設(shè)計，將有效地提升優(yōu)化計算效率與優(yōu)化結(jié)果的品質(zhì)[26]。

在MTOP 框架內(nèi)，為了精確計算多邊形位移單元的單元剛度矩陣，將形函數(shù)及其梯度的積分點設(shè)置在密度變量所在位置(也是設(shè)計變量網(wǎng)格的中心)。對于多材料問題，單元剛度和質(zhì)量矩陣分別表示為：

式中：Nn為多邊形位移單元積分點的個數(shù)；y?,ij為密度變量在積分點處的估計值；B?為應(yīng)變矩陣，D0為線彈性材料本構(gòu)矩陣；A?,i為設(shè)計變量網(wǎng)格或密度變量網(wǎng)格的面積； ρ0為材料密度；m?E(y?,ij)和m?V(y?,i j)為m種材料的剛度與體積差值函數(shù)。

基于門檻投影函數(shù)[36]，體積插值函數(shù)表示為：

式中，p0>0為懲罰參數(shù)。然后，構(gòu)造多材料剛度插值函數(shù)，表示為[38]：

式中，Ei為第i種材料的彈性模量。

由此，根據(jù)上述單元剛度與質(zhì)量矩陣，多邊形位移單元的總體矩陣表示為：

為了抑制棋盤格與孤島現(xiàn)象，利用線性濾波方法獲得網(wǎng)格無關(guān)的優(yōu)化結(jié)果，則有：

式中：Si為相應(yīng)于密度變量單元i所占的子域；xn為與設(shè)計變量d?,nj對應(yīng)的設(shè)計變量網(wǎng)格的中心坐標(biāo)。線性權(quán)重函數(shù)定義為：

式中：rni為單元密度單元i和n的中心距；rmin為指定的過濾半徑。通過式(8)將設(shè)計變量線性加權(quán)處理而映射為密度變量，以此代入式(1)和式(2)中即可獲得單元剛度與質(zhì)量矩陣。

此外，根據(jù)式(8)，密度變量對于設(shè)計變量的靈敏度為：

2 多材料結(jié)構(gòu)動剛度拓?fù)鋬?yōu)化

2.1 優(yōu)化模型

以平均動柔度最小化為目標(biāo)和多材料的體積占比為約束，建立多材料結(jié)構(gòu)的動力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化模型。假設(shè)設(shè)計域中包含m種材料，按彈性模量高低線性排列，在有限材料約束下，其動剛度優(yōu)化模型為：

式中：d為設(shè)計變量矢量；Nt為動態(tài)激勵作用時間定分的區(qū)間數(shù)；Nc為多材料體積約束的數(shù)量；fi為t=ti時的動載荷向量；ui、u˙i、u¨i分別為相應(yīng)的結(jié)構(gòu)位移、速度、加速度響應(yīng)；C=αrM+βrK為阻尼矩陣( αr、 βr為瑞利阻尼參數(shù))； εj、 ηj、χj分別為單元指標(biāo)集、設(shè)計變量指標(biāo)集和多材料相數(shù)指標(biāo)集，為第j種材料占設(shè)計域總體積的體積分?jǐn)?shù)。

2.2 HHT-α 方法

HHT-α 方法作為廣義的Newmark-β 方法，它通過數(shù)值阻尼參數(shù)α 調(diào)控動力學(xué)控制方程的積分格式，使迭代過程無條件穩(wěn)定，非常適于求解結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題。根據(jù)文獻(xiàn)[39]，HHT-α 方法將優(yōu)化模型式(11)中的半離散形式的有限元方程修改為：

通過Newmark-β 有限差分關(guān)系，位移、速度場的更新格式為：

式中，β=(1+α)2/4 ，γ= (1+2α)/2為算法參數(shù)，合理選擇參數(shù)α 保證算法具有至少二階精度和無條件穩(wěn)定。

將式(13)、式(14)代入式(12)，得到離散形式的控制方程的殘差，則有：

對于HHT-α 殘差方程式(15)，其初始時刻的表達(dá)式為：

2.3 敏度分析

根據(jù)優(yōu)化模型式(11)，在MTOP 框架內(nèi)目標(biāo)函數(shù)對于設(shè)計變量的靈敏度為：

為了避免狀態(tài)變量對于設(shè)計變量的導(dǎo)數(shù)計算，使用伴隨變量法完成目標(biāo)函數(shù)的敏度分析。類似于HHT-α 殘差方程式(15)，將Newmark-β 有限差分關(guān)系式(13)、式(14)變換為殘差形式：

根據(jù)式(19)、式(20)，?Pi/?d?,n j=0 和?Qi/?d?,nj=0以及初始條件?u0/?d?,nj=0 和?u˙0/?d?,nj=0，同時，滿足伴隨方程式(23)和式(24)使?u¨0/?d?,nj、?u¨i/?d?,nj、?u˙i/?d?,nj和?ui/?d?,n j等項消失，則式(21)化簡為：

將HHT-α 殘差方程式(15)、初始條件式(17)和Newmark-β 有限差分關(guān)系式(13)、式(14)代入伴隨方程式(23)、式(24)，則有：

由于優(yōu)化模型式(11)中使用了體積插值函數(shù)V=與剛度插值函數(shù)E=，那么通過鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，拉格朗日函數(shù)與約束函數(shù)的靈敏度為：

我們這一代人一般都是三口之家。三居室的分配是這樣的：夫妻一間，孩子一間，書一間。書跟人平起平坐，甚至因書太多，書房得足夠?qū)挸?，孩子只能屈尊居于小房間。

另外，根據(jù)優(yōu)化模型式(11)，目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)對于V=和E=的敏度表示為：

結(jié)合式(1)、式(2)和式(7)，HHT-α 殘差方程對于V=和E=的偏導(dǎo)數(shù)表示為：

由此，根據(jù)式(25)～式(28)確定伴隨變量，隨后將式(31)～式(37)代入式(29)和式(30)，則可確定拉格朗日函數(shù)與約束函數(shù)的靈敏度。

2.4 ZPR 設(shè)計變量更新方案

利用凸近似方法，優(yōu)化模型式(11)的近似子問題：

式(42)表明，每一個設(shè)計變量僅與一個約束函數(shù)相關(guān)，因而拉格朗日函數(shù)L可采用分離變量的方法求極值。鑒于Li的可分離特性，其一階最優(yōu)條件為：

將式(45)代入式(42)，獲得子問題的對偶目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)Li(d(λi),λi)的相互獨立性，尋求拉格朗日乘子 λi使其達(dá)到極大值，則Li(d(λi),λi)的駐點條件表示為：

式(46)為關(guān)于 λi的非線性方程，可通過區(qū)間收縮法或迭代法求解。

3 典型算例

本節(jié)通過懸臂梁、簡支梁、L 型結(jié)構(gòu)與Michell型懸臂梁4 個典型數(shù)值算例，對比4 種工況：①靜態(tài)載荷；② 載荷持續(xù)時間為0.05 s；③ 載荷持續(xù)時間為0.03 s；④ 2 種～10 種不同彈性模量(Ei=E0(m-i+1)/m，i=1,2,···,m，m=2,3,···,10，如圖2 所示)多相材料的優(yōu)化結(jié)果。分析該優(yōu)化方法的可行性和動態(tài)載荷作用時間對優(yōu)化結(jié)果的影響機制。

圖2 多相材料的彈性模量Fig.2 Elastic modulus of multiphase materials

對于任一種多材料優(yōu)化工況，每一相材料體積約束的上限vˉj=0.45/m(j=1,2,···,m)。另外，為了確保HHT-α 方法至少具有二階精度和無條件穩(wěn)定性，所用算例均使用α=0.05 ，β=(1+α)2/4，γ= (1+2α)/2。

3.1 懸臂梁

如圖3 所示，懸臂梁右側(cè)自由邊中點處承受正弦半波載荷f(t)=f0sin(πt/tf)，載荷幅值f0=1 kN，初始設(shè)計域的結(jié)構(gòu)尺寸為L×H×h=8 m×4 m×0.01 m。多相材料的基準(zhǔn)彈性模量E0=200 GPa，任一材料相的泊松比νi=0.3，密度ρi=7800 kg/m3，瑞利阻尼參數(shù)αr=10 ，βr=1×10-5。

圖3 懸臂梁Fig.3 Cantilever beam

圖4 為懸臂梁雙材料設(shè)計的迭代歷史(載荷作用時間tf=0.05 s)。目標(biāo)函數(shù)漸進(jìn)收斂于0.0294 N·m，軟、硬兩相材料均漸進(jìn)收斂于體積約束的上限：

圖5 為不同載荷持續(xù)時間工況下雙材料懸臂梁問題的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果。靜力學(xué)的優(yōu)化拓?fù)涓咏趧恿W(xué)tf=0.05 s的結(jié)果，但是，動力學(xué)tf=0.03 s的優(yōu)化拓?fù)滹@著不同于前兩者的結(jié)果。與靜力學(xué)解相比，動力學(xué)解分布硬的材料相或三角形結(jié)構(gòu)用于強化載荷作用點處的剛度，以抵制動載荷的快速波動。如圖6 所示，靜力學(xué)工況的位移與動柔度響應(yīng)均高于動載荷工況，從而驗證了前面的假設(shè)。另外，tf=0.05 s工況下的設(shè)計將硬材料相置于載荷作用端，使其產(chǎn)生較小的變形，因而具有更高的動剛度。

圖5 雙材料懸臂梁問題動靜態(tài)載荷優(yōu)化結(jié)果對比Fig.5 Comparison of dynamic and static load optimization results of bimaterial cantilever beam

圖6 最優(yōu)懸臂梁載荷作用點處垂向位移和動柔度時間歷程Fig.6 Time history of vertical displacement and dynamic flexibility at the loading point of optimal cantilever structure

圖7 為tf=0.05 s時懸臂梁多材料拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。外部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)基本一致，內(nèi)部拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)依靠交叉肋結(jié)構(gòu)強化，隨著材料相數(shù)目的增加，低彈性模量材料向固定端分布，特別是對于4 種材料和10 種材料工況，固定端增加了強化結(jié)構(gòu)平衡慣性力的影響。

圖7 懸臂梁的多材料拓?fù)鋬?yōu)化Fig.7 Multi material topology optimization of cantilever beam

圖8 為懸臂梁多材料最優(yōu)拓?fù)涞膭尤岫葧r間歷程，多相材料設(shè)計的動柔度變化基本一致，平均動柔度幾乎相同(如圖7 所示)。由于7 相多材料設(shè)計的最軟相材料位于內(nèi)部加強肋的交叉點處，使結(jié)構(gòu)的平均動柔度高于其他多相材料設(shè)計。

圖8 懸臂梁多材料最優(yōu)拓?fù)涞膭尤岫葧r間歷程Fig.8 Time history of dynamic flexibility for optimized multi-material topology of cantilever beam

3.2 簡支梁

如圖9 所示，簡支梁上端自由邊中點處承受余弦半波載荷f(t)=f0cos(πt/tf)，載荷幅值f0=1 kN，初始設(shè)計域的結(jié)構(gòu)尺寸為：L=12 m，H=2 m，h=0.01 m。多相材料的基準(zhǔn)彈性模量E0=200 GPa，任一材料相的泊松比νi=0.3，密度ρi=7800 kg/m3，瑞利阻尼參數(shù)αr=10 ，βr=1×10-5。

圖9 簡支梁Fig.9 Simply supported beam

圖10 為不同載荷持續(xù)時間工況下雙材料簡支梁問題的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果。3 種工況的優(yōu)化拓?fù)浣允怯蓛蓚?cè)支撐桿和中間環(huán)型結(jié)構(gòu)組成，但是兩相材料分布迥然不同。靜力學(xué)工況的優(yōu)化拓?fù)湓谥虚g環(huán)型結(jié)構(gòu)處集中了高彈性模量材料，因而它的動剛度大于動力學(xué)工況優(yōu)化拓?fù)涞膭觿偠龋坏?，動力學(xué)工況的優(yōu)化拓?fù)湓趦蓚?cè)支撐桿集中了高彈性模量材料，能夠進(jìn)一步抑制慣性載荷的影響，致使其動剛度大于靜力學(xué)工況優(yōu)化拓?fù)涞膭觿偠?。如圖11 所示，靜力學(xué)工況的位移與動柔度響應(yīng)介于兩種動載荷工況優(yōu)化拓?fù)涞南鄳?yīng)動響應(yīng)之間，驗證了前面的結(jié)論。另外，隨著動力學(xué)載荷作用時間的減少，阻尼對于結(jié)構(gòu)的能量耗散作用有所減弱。

圖10 雙材料簡支梁問題動靜態(tài)載荷優(yōu)化結(jié)果對比Fig.10 Comparison of dynamic and static load optimization results of bimaterial simply supported beam

圖11 最優(yōu)簡支梁載荷作用處垂向位移和動柔度時間歷程Fig.11 Time history of vertical displacement and dynamic flexibility at the loading point of the optimal simply supported beam structure

圖12 為tf=0.05 s 時簡支梁的多材料拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，多相材料設(shè)計的平均動柔度基本一致。多相材料結(jié)構(gòu)的整體拓?fù)浠疽恢拢虚g環(huán)型強化結(jié)構(gòu)有所差異，特別是4 種材料、6 種材料和10 種材料的優(yōu)化拓?fù)洳町愶@著。隨著材料相數(shù)目的增加，中間環(huán)型強化結(jié)構(gòu)的下端桁架部分布置更多的低彈性模量材料，兩側(cè)支撐桿結(jié)構(gòu)布置更多的高彈性模量材料，使兩者能夠達(dá)到剛度的最優(yōu)匹配。

3.3 L 型結(jié)構(gòu)

如圖13 所示，L 型結(jié)構(gòu)右側(cè)自由邊中點處承受正弦半波載荷f(t)=f0sin(πt/tf)，載荷幅值f0=1 kN，初始設(shè)計域的結(jié)構(gòu)尺寸為：L1=H2=12 m，L2=H1=18 m，厚度h=0.01 m。相材料的基準(zhǔn)彈性模量E0=200 GPa，任一材料相的泊松比νi=0.3，密度ρi=7800 kg/m3，瑞利阻尼參數(shù)αr=50 ，βr=3×10-5。

圖13 L 型結(jié)構(gòu)Fig.13 L-shaped structure

圖14 為不同載荷持續(xù)時間工況下雙材料L 型結(jié)構(gòu)問題的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果。動力學(xué)工況的優(yōu)化拓?fù)湓趦?nèi)側(cè)直角應(yīng)力集中處分布了更多的高彈性模量材料，而靜力學(xué)工況的優(yōu)化拓?fù)湓谥苯枪战翘幵黾恿思訌娊顝娀Y(jié)構(gòu)。與靜力學(xué)優(yōu)化拓?fù)湎啾?，動力學(xué)最優(yōu)拓?fù)湓谳d荷作用點附近分布了更多的材料，特別是外側(cè)的三角形構(gòu)型具有更大的截面尺寸，因而具有更大的動剛度。如圖15 所示，靜力學(xué)工況的位移與動柔度響應(yīng)均高于動載荷工況，其動剛度偏低，從而驗證了前面的假設(shè)。另外，動力學(xué)tf=0.05 s工況下的優(yōu)化拓?fù)湓趦?nèi)側(cè)直角處堆積了更多的高彈性模量材料，使得其動剛度大于tf=0.03 s工況下優(yōu)化拓?fù)涞膭觿偠取?/p>

圖14 雙材料L 型結(jié)構(gòu)問題動靜態(tài)載荷優(yōu)化結(jié)果對比Fig.14 Comparison of dynamic and static load optimization results of bimaterial L-shaped structure

圖15 最優(yōu)L 型結(jié)構(gòu)載荷作用點處的垂向位移和動柔度時間歷程Fig.15 Time history of vertical displacement and dynamic flexibility at the loading point of optimal L-shaped structure

圖16 為tf=0.05 sL 型結(jié)構(gòu)的多材料拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。多相材料結(jié)構(gòu)的整體拓?fù)錁?gòu)型基本一致，載荷作用點附近的三角形構(gòu)型的強化方式為：增加內(nèi)側(cè)棱邊的截面寬度和內(nèi)部添加加強筋。隨著材料相數(shù)目的增加，高彈性模量材料分布于固定端垂向平行桿附近，低彈性模量材料分布于載荷作用點附近的三角形構(gòu)型。但是，由于上述兩種強化作用，致使載荷作用點附近的三角形構(gòu)型與固定端垂向平行桿構(gòu)型能夠達(dá)到剛度匹配，從而保證整體結(jié)構(gòu)的動剛度最優(yōu)。對于6 相和10 相多材料設(shè)計，最軟相材料位于載荷作用點附近的三角形構(gòu)型的內(nèi)部棱邊，致使結(jié)構(gòu)的平均動柔度均高于其他多相材料設(shè)計。

圖16 L 型結(jié)構(gòu)的多材料拓?fù)鋬?yōu)化Fig.16 Multi-material topology optimization of L-shaped structure

3.4 Michell 型懸臂梁

如圖17 所示，Michell 型懸臂梁右側(cè)自由邊中點處承受正弦半波載荷f(t)=f0sin(πt/tf)，載荷幅值f0=1 kN，初始設(shè)計域的結(jié)構(gòu)尺寸為：L=5 m，H=4 m，h=0.01 m，R=1 m。多相材料的基準(zhǔn)彈性模量E0=200 GPa，任一材料相的泊松比νi=0.3，密度ρi=7800 kg/m3，瑞利阻尼參數(shù)αr=2.5 ，βr=4.5×10-4。

圖17 Michell 型懸臂梁Fig.17 Michell cantilever beam

圖18 為不同載荷持續(xù)時間工況下雙材料Michell 型懸臂梁問題的優(yōu)化設(shè)計。與靜力學(xué)工況的優(yōu)化設(shè)計相比，動力學(xué)工況的優(yōu)化拓?fù)鋬?nèi)部加強肋的具有更大的截面尺寸，載荷作用點附近聚集了更多的高彈性模量材料，因而后者具有更高的動剛度。此外，動力學(xué)tf=0.05 s工況下的優(yōu)化拓?fù)鋬?nèi)部加強肋的寬度尺寸較大，其方位更接近于垂向，有利于抑制動載荷作用下的變形，相對于tf=0.03 s工況下優(yōu)化拓?fù)渚哂懈叩膭觿偠取Ｈ鐖D19 所示，靜力學(xué)工況的位移與動柔度響應(yīng)均高于動載荷工況，其動剛度偏低，而動力學(xué)tf=0.05 s工況的上述動響應(yīng)最低，其動剛度最高，與優(yōu)化拓?fù)涞姆治鼋Y(jié)果一致。

圖18 雙材料Michell 懸臂梁問題動靜態(tài)載荷優(yōu)化結(jié)果對比Fig.18 Comparison of dynamic and static load optimization results of bimaterial Michell cantilever beam

圖19 最優(yōu)Michell 型懸臂梁結(jié)構(gòu)載荷作用點處的垂向位移和動柔度時間歷程Fig.19 Time history of vertical displacement and dynamic flexibility at the loading point of optimal Michell cantilever beam structure

圖20 為Michell 型懸臂梁的多材料拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。外環(huán)拓?fù)錁O為相似，內(nèi)部強化構(gòu)型差異顯著。高比例的硬材料分布于外部拓?fù)?，而軟材料在?nèi)部聯(lián)接于內(nèi)部拓?fù)?。另外，載荷作用點附近也集中了高彈性模量材料，抵消慣性載荷的動態(tài)影響。對于9 相和10 項多材料設(shè)計，最軟相或次最軟相材料位于載荷作用點附近的三角形構(gòu)型的內(nèi)側(cè)棱邊，致使結(jié)構(gòu)的平均動柔度均高于其他多相材料設(shè)計。

圖20 Michell 型懸臂梁的多材料拓?fù)鋬?yōu)化Fig.20 Multi-material topology optimization of Michell cantilever beam

4 結(jié)論

本文基于多分辨率-多邊形單元建模策略，提出了求解多材料結(jié)構(gòu)動響應(yīng)問題的拓?fù)鋬?yōu)化方法，研究結(jié)論如下：

(1) 通過懸臂梁、簡支梁、L 型結(jié)構(gòu)和Michell型懸臂梁等典型數(shù)值算例，驗證了所提多材料結(jié)構(gòu)時域動剛度拓?fù)鋬?yōu)化方法的可行性。

(2) 動態(tài)載荷的作用時間對于優(yōu)化結(jié)果具有重要的影響。隨著載荷作用時間的減少，結(jié)構(gòu)內(nèi)慣性力的影響更加顯著，致使多材料結(jié)構(gòu)的優(yōu)化拓?fù)浯嬖诿黠@的差異。

(3) 將本文所提出的多材料結(jié)構(gòu)動力學(xué)優(yōu)化方法延伸至超材料結(jié)構(gòu)的動力學(xué)設(shè)計問題，可以實現(xiàn)高分辨率胞元-宏觀結(jié)構(gòu)構(gòu)型的動力學(xué)多尺度協(xié)同優(yōu)化設(shè)計。

基于提出的動力學(xué)多材料拓?fù)鋬?yōu)化框架，作者將在后面工作中考慮動力學(xué)載荷作用下多材料之間的界面損傷與解耦，提出多材料結(jié)構(gòu)界面失效問題的動力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化方法。