關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；斜中半定理圖形微設(shè)計(jì)應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6" "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B" " 文章編號(hào)：1009-010X（2024）35-0057-03

一、定理教學(xué)解讀

“斜中半”定理是初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)的知識(shí)內(nèi)容，是直角三角形性質(zhì)的深入研究，學(xué)生已初步掌握了全等三角形和中線性質(zhì)等知識(shí)，對(duì)于后續(xù)構(gòu)建幾何模型，開(kāi)展幾何分析推理具有極大的幫助，也是提升學(xué)生解題能力，樹(shù)立模型意識(shí)的關(guān)鍵?！靶敝邪搿倍ɡ砑捌渥C明過(guò)程，涉及到了直角三角形、全等三角形、三角形中線等性質(zhì)，教學(xué)探究中需要解讀定理內(nèi)容，重點(diǎn)構(gòu)建證明過(guò)程，精設(shè)教學(xué)環(huán)節(jié)。

二、教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

“斜中半”定理的教學(xué)建議設(shè)置四個(gè)環(huán)節(jié)來(lái)指導(dǎo)，包括引例分析、定理構(gòu)建、定理應(yīng)用、逆向拓展。各環(huán)節(jié)教學(xué)時(shí)可圍繞其核心內(nèi)容來(lái)設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考，下面開(kāi)展教環(huán)節(jié)探究。

（一）引例呈現(xiàn)，初步感知

引例：如圖1所示，在四邊形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，AC，BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)G，H分別是AC，BD的中點(diǎn)，若∠BEC=80°，那么∠GHE等于多少？

解析：作圖，連接AH，CH，如圖1的虛線所示。

已知在四邊形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，H是BD的中點(diǎn)，可得AH=CH=BD。

又知點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，所以HG是線段AC的垂直平分線，則∠EGH=90°。而∠BEC=80°，則∠GEH=∠BEC=80°，所以∠GHE=90°-80°=10°。

教學(xué)預(yù)設(shè)：教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注解析過(guò)程，注意結(jié)論“AH=CH=BD”的推理過(guò)程。設(shè)置如下問(wèn)題：

問(wèn)題1：該結(jié)論是如何得出的？是否與∠BCD=∠BAD=90°及點(diǎn)H是BD的中點(diǎn)相關(guān)？

問(wèn)題2：若上述兩個(gè)條件任意其一缺失，是否還可以得出同樣的結(jié)論？

教學(xué)引導(dǎo)：利用上述兩個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生初步生成如下“條件”與“結(jié)論”的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

條件：①∠BCD=90°，②點(diǎn)H是BD的中點(diǎn)；結(jié)論：CH=BD。

條件：①∠BAD=90°，②點(diǎn)H是BD的中點(diǎn)；結(jié)論：AH=BD。

（二）定理構(gòu)建，證明生成

上述環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生初步感知“斜中半”定理，學(xué)生對(duì)其已經(jīng)有了一定的了解，該環(huán)節(jié)則需要完整的呈現(xiàn)定理，并指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證明，使學(xué)生充分理解。

1.定理呈現(xiàn)

斜中半定理：如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么這個(gè)三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

幾何語(yǔ)言：如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC的中線，則AD=BC。

教學(xué)引導(dǎo)：教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生掌握文字和幾何兩種語(yǔ)言關(guān)于該定理的描述，需要借助幾何圖形讓學(xué)生直觀理解，同時(shí)基于圖形構(gòu)建AD=BD=DC=BC。

2.定理證明

完成定理構(gòu)建后，需要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生加以證明，充分理解定義，明晰定理的合理性。證明的基本思路為：構(gòu)造全等三角形，利用全等性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)。

證明：以圖2的圖形結(jié)構(gòu)為例證明，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接CE，如圖3所示。

因?yàn)锳D是斜邊BC的中線，則BD=CD。結(jié)合∠ADB=∠EDC，AD=DE，可證明△ADB≌△EDC（SAS）。由全等性質(zhì)可得AB=CE，∠B=∠DCE，所以有AB∥CE，∠BAC+∠ACE=180°。

而∠BAC=90°，則∠ACE=90°。因?yàn)锳B=CE，∠BAC=∠ECA=90°，AC=CA，可證明△ABC≌△CEA（SAS），則BC=EA。因?yàn)锳E=2AD，BC=2AD。

教學(xué)引導(dǎo)：教學(xué)中借助具體圖形來(lái)引導(dǎo)學(xué)生證明“斜中半”定理，即構(gòu)建“Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC的中線”與“AD=BC”的推理關(guān)系。

整個(gè)證明過(guò)程需要引導(dǎo)學(xué)生注意兩點(diǎn)：一是關(guān)注作輔助線的過(guò)程，核心目標(biāo)為構(gòu)建全等三角形；二是關(guān)注證明的推理過(guò)程，按照“已知條件→提取模型→推理?xiàng)l件→得出結(jié)論”的思路來(lái)分析構(gòu)建。同時(shí)證明過(guò)程注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圖形的直觀性。

（三）定理應(yīng)用，知識(shí)強(qiáng)化

“斜中半”定理在幾何問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，教學(xué)探究中有必要引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展應(yīng)用探究，利用定理求解實(shí)際問(wèn)題。

問(wèn)題1：如圖4所示，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠ACB=30°，D是AB上一點(diǎn)（不與A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷△PAE的形狀，并說(shuō)明理由。

解析：利用“斜中半”定理，在Rt△CAD中，∠CAD=90°，P是斜邊CD的中點(diǎn)，則PA=PC=CD，可得∠ACD=∠PAC，從而有∠APD=∠ACD+∠PAC=2∠ACD。

同理：在Rt△CED中，PE=PC=CD，∠DPE=2∠DCB，所以PA=PE，即△PAE是等腰三角形。

從而有∠APE=2∠ACB=2×30°=60°，則△PAE是等邊三角形。

教學(xué)引導(dǎo)：上述判斷三角形的形狀，核心方法是利用直角三角形的“斜中半”定理，教學(xué)引導(dǎo)中，讓學(xué)生充分分析已知條件，判斷是否滿足使用條件，再開(kāi)展解析推理。該定理有兩個(gè)基礎(chǔ)條件，缺一不可，教學(xué)中可引導(dǎo)設(shè)問(wèn)，讓學(xué)生充分思考。

（四）逆向拓展，完善定理

“斜中半”的逆向構(gòu)建依然成立，即“斜中半”逆定理。教學(xué)中需要對(duì)其進(jìn)行逆向拓展，完善定理，指導(dǎo)學(xué)生靈活使用。同樣分為兩個(gè)部分：一是逆定理內(nèi)容解讀；二是結(jié)合實(shí)例強(qiáng)化應(yīng)用。

1.逆定理解讀

定理：如圖5所示，CD是△ABC的中線，CD=AB。則△ABC為直角三角形。

拆解：條件——CD是△ABC的中線，CD=AB；結(jié)論——△ABC為直角三角形。

教學(xué)預(yù)設(shè)：對(duì)于該定理的證明，核心思路是角度推導(dǎo)，在三角形中利用內(nèi)角性質(zhì)、等角代換來(lái)完成。

CD是△ABC的中線，推得AD=BD=AB。而CD=AB，則AD=CD=BD，從而有∠A=∠ACD，∠B=∠DCB。

在△ABC中，由內(nèi)角性質(zhì)可得∠A+∠B+∠ACD+∠DCB=180°，則∠A+∠B+∠A+∠B=180°，可得∠A+∠B=90°，則∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，可證△ABC為直角三角形。

2.逆定理應(yīng)用

問(wèn)題2：如圖6，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB上的中點(diǎn)，連接CD，將△BCD沿著CD翻折，得到△ECD，CE與AB交于點(diǎn)F，連接AE。若AB=6，CD=4，AE=2，則點(diǎn)C到AB的距離為？

教學(xué)預(yù)設(shè)：本題目需要指導(dǎo)學(xué)生利用“斜中半”逆定理來(lái)分析推理，整個(gè)過(guò)程必須嚴(yán)格按照定理的使用要求，滿足條件再推導(dǎo)。

作圖：連接BE，延長(zhǎng)CD交BE于點(diǎn)G，作CH⊥AB于點(diǎn)H，如圖6的虛線所示所示。

折疊特性推理：由折疊的性質(zhì)可得：BD=DE，CB=CE，則CG為BE的中垂線，故BG=BE。

中點(diǎn)特性推理：D為AB中點(diǎn)，則BD=AD，

S△CBD=S△CAD，AD=DE。

“斜中半”逆定理使用：AD=DE=BD=AB，可推得∠BEA=90°。

線段長(zhǎng)求解：在Rt△BEA中，由勾股定理可得BE=4，則BG=2。

因?yàn)镾△ABC=2S△BDC，則2×CD·BG=AB·CH，可解得CH=。

教學(xué)引導(dǎo)：逆定理的構(gòu)建中同樣借助圖形，讓學(xué)生明晰其中的條件與結(jié)論。應(yīng)用強(qiáng)化解析時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其推理過(guò)程，明晰每一步的核心目標(biāo)，特別注意逆定理的推理構(gòu)建，形成“條件”與“結(jié)論”的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

三、寫(xiě)在最后

“斜中半”作為初中幾何的重要知識(shí)定理，其教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)具有一定的代表性，上述所探究的探究方法同樣適用于其他知識(shí)定理教學(xué)。教師要圍繞定理深入解讀，結(jié)合實(shí)例強(qiáng)化應(yīng)用，幫助學(xué)生掌握定理應(yīng)用的方法。