趙靜

【摘要】數(shù)學(xué)是抽象且邏輯關(guān)系嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊婚T學(xué)科，故而在初中數(shù)學(xué)課程中，學(xué)生經(jīng)常需要解答抽象復(fù)雜的問題.為幫助學(xué)生解決問題，學(xué)好、用好數(shù)學(xué)，文章提出了結(jié)構(gòu)化類比、降維類比、跨學(xué)科類比等技巧.教師應(yīng)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)計(jì)解決問題環(huán)節(jié)，同時(shí)指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類比法，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新解題能力，促進(jìn)學(xué)生鞏固學(xué)習(xí)內(nèi)容，形成知識(shí)框架.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；類比法；解決問題；應(yīng)用技巧

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在描述數(shù)學(xué)課程核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)時(shí)指出：運(yùn)用歸納和類比發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系與規(guī)律，提出數(shù)學(xué)命題與猜想，并加以驗(yàn)證.類比作為數(shù)學(xué)研究的一種經(jīng)典方法，能夠應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)解題中，對學(xué)生解決問題起到促進(jìn)作用，能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)、推理能力等.類比法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧亟待研究，教師應(yīng)當(dāng)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，借助豐富的問題為學(xué)生搭建解題平臺(tái)，同時(shí)指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類比法，使其掌握結(jié)構(gòu)化類比、降維類比等技巧，活躍學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維.

一、類比法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用價(jià)值

類比法是通過未知或不確定對象與已知或確定對象的歸類和比較，猜測或確認(rèn)未知或不確定對象的一種古老的認(rèn)知思維與推測方法.在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，類比法有其獨(dú)特的應(yīng)用價(jià)值.具體到初中數(shù)學(xué)解題方面，類比法既有助于學(xué)生梳理思路，建立解題思維，又有利于學(xué)生鞏固學(xué)習(xí)內(nèi)容，形成知識(shí)框架.

（一）梳理思路，建立解題思維

從小學(xué)過渡到初中階段，學(xué)生需要面對愈發(fā)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，這對學(xué)生解題思維提出了更高層次的要求.類比法作為一種古老的認(rèn)知思維，對學(xué)生解題思維的建立至關(guān)重要.比如，基于類比法的歸類的比較步驟，學(xué)生首先將初中數(shù)學(xué)問題劃分為特定類別，其次以問題類別為依據(jù)分析解決問題的具體方法，最后根據(jù)類比得到的問題特點(diǎn)落實(shí)精準(zhǔn)解題.從分析問題到解決問題，學(xué)生并非如無頭蒼蠅一般反復(fù)嘗試，而是巧妙地在歸類、比較中梳理思路，能夠更加快速地建立解題思維，提升邏輯思維水平.

（二）鞏固學(xué)習(xí)內(nèi)容，形成知識(shí)框架

類比的本質(zhì)是利用已知推理未知，這決定了類比法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用本質(zhì)———遷移已有經(jīng)驗(yàn)探索未知答案.學(xué)生應(yīng)用類比法解題，便是在不斷遷移已有經(jīng)驗(yàn)探索未知答案的過程中鞏固學(xué)習(xí)內(nèi)容，形成知識(shí)框架.比如在學(xué)習(xí)“直角三角形的證明”時(shí)，學(xué)生應(yīng)用類比法解題，可以將“等腰三角形的證明”相關(guān)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)加以應(yīng)用.通過這樣的解題過程，學(xué)生既能學(xué)會(huì)證明直角三角形，又能鞏固“等腰三角形的證明”學(xué)習(xí)內(nèi)容，明確等腰三角形與直角三角形的內(nèi)在聯(lián)系.

二、類比法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧

如何在初中數(shù)學(xué)解題中正確構(gòu)建歸類和比較關(guān)系，優(yōu)化邏輯推理？下面，文章將參考北師大版初中數(shù)學(xué)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，列舉問題實(shí)例，研究類比法在初中數(shù)學(xué)具體問題中的應(yīng)用技巧.

（一）結(jié)構(gòu)化類比：把握問題本質(zhì)，構(gòu)建熟悉題型

許多學(xué)生面對初中數(shù)學(xué)題不能靈活解決問題，是因?yàn)橹蛔⒅貙我粏栴}的解題公式、定理等分析，忽略了問題之間的本質(zhì)聯(lián)系，沒有依據(jù)題型規(guī)律建立解題模型.初中數(shù)學(xué)問題萬變不離其宗，許多問題看似不同，但是深挖其本質(zhì)，能夠發(fā)現(xiàn)其題型結(jié)構(gòu)高度相似.學(xué)生可按照此規(guī)律應(yīng)用類比法解題，從把握問題本質(zhì)入手，通過構(gòu)建熟悉題型解決陌生問題，此為結(jié)構(gòu)化類比.比如在“勾股定理的應(yīng)用”知識(shí)領(lǐng)域，許多問題并非直接依托直角三角形呈現(xiàn)，而應(yīng)用勾股定理解決問題，必須使問題滿足“直角三角形”這一前提.教師可指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類比法挖掘問題的本質(zhì)，將普通三角形題型轉(zhuǎn)化為直角三角形題型，以便準(zhǔn)確解題.

例題呈現(xiàn) 如圖1所示的是一個(gè)圓柱形飲料罐，底面半徑是5，高是12，上底面中心有一個(gè)小圓孔，則一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長度x（罐壁厚度和小圓孔大小忽略不計(jì)）的范圍是（ ）.

A.12≤x≤13 B.12≤x≤15 C.5≤x≤12 D.5≤x≤13

初讀問題，其考查對象缺乏清晰性，聯(lián)系選項(xiàng)再讀問題，類比吸管、飲料罐底面半徑、飲料罐高與直角三角形短直角邊、長直角邊、斜邊的聯(lián)系，可確認(rèn)本題為勾股定理基礎(chǔ)題型的變形，故可利用直角三角形的勾股定理特性解題.

（二）降維類比：分析已知條件，簡化問題內(nèi)容

降維類比是指通過對問題復(fù)雜線索與已知簡單信息的對比，將復(fù)雜問題化繁為簡，從而由繁到簡地解題.該解題技巧在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，要求學(xué)生細(xì)心審題，聯(lián)想分析已知條件.比如在學(xué)習(xí)“弧長及扇形的面積”這部分內(nèi)容時(shí)，雖然教材已經(jīng)講解了弧長及扇形面積的計(jì)算公式，但是在某些求陰影部分面積的問題中，陰影部分并非扇形，學(xué)生極易陷入解題困境.教師可指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類比法分析陰影部分的已知條件，自主將陰影部分轉(zhuǎn)化為簡單的圖形，化簡問題，簡化解題.

初看示意圖，圖中陰影部分為不規(guī)則圖形，無法直接代入任何面積公式.結(jié)合已知信息展開類比，示意圖整體為矩形，空白處為一大一小兩個(gè)扇形，故而可將陰影部分轉(zhuǎn)化為矩形與兩個(gè)扇形的面積差.

復(fù)雜問題與簡單信息同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，簡單信息可為復(fù)雜問題提供解題思路，學(xué)生可在解題過程中，類比簡單信息與復(fù)雜問題，將復(fù)雜問題簡單化，簡化解題過程.以本題為例，復(fù)雜問題為陰影部分面積，簡單信息為矩形面積與扇形面積.經(jīng)過降維類比，充分分析已知條件，找準(zhǔn)化繁為簡的切入點(diǎn)，問題簡單化，代入公式輕松解決問題.

（三）跨學(xué)科類比：應(yīng)用非數(shù)學(xué)元素，發(fā)散解題思維

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程特別設(shè)計(jì)跨學(xué)科主題活動(dòng)，意在培養(yǎng)學(xué)生跨學(xué)科的應(yīng)用意識(shí)與實(shí)踐能力.跨學(xué)科是指將數(shù)學(xué)學(xué)科與其他非數(shù)學(xué)學(xué)科相聯(lián)系，發(fā)散學(xué)生思維，使其將數(shù)學(xué)知識(shí)廣泛運(yùn)用在學(xué)習(xí)、生活中，同時(shí)遷移其他學(xué)科知識(shí)理解數(shù)學(xué)問題，跨學(xué)科類比由此成為類比法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧之一.教師在指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類比法解決初中數(shù)學(xué)問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)避免局限在數(shù)學(xué)元素的歸類、對比中，應(yīng)使學(xué)生大膽應(yīng)用非數(shù)學(xué)元素與數(shù)學(xué)元素的類比，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新解題.比如在“一次函數(shù)的應(yīng)用”知識(shí)領(lǐng)域，許多問題為路程問題，學(xué)生可聯(lián)系物理學(xué)科“平均速度的測量”等學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，類比分析路程問題，發(fā)散求解.

例題呈現(xiàn) 從地面垂直向上拋射一個(gè)物體，在落地之前，物體向上的速度v（m/s）是運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）的一次函數(shù).經(jīng)測量，該物體的初始速度（t=0時(shí)物體的速度）為25m/s，2s后物體的速度為5m/s.（1）寫出v，t的函數(shù)表達(dá)式.（2）經(jīng)過多長時(shí)間后，物體將到達(dá)最高點(diǎn)？（此時(shí)物體的速度為0）.

（2）解：已知物體到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度為0，則0=-10t+25，解得t=2.5.

答：經(jīng)過2.5s后，物體將到達(dá)最高點(diǎn).

類比數(shù)學(xué)元素與非數(shù)學(xué)元素，本題與物理中“平均速度的測量”相關(guān).假設(shè)物體做平拋運(yùn)動(dòng)，其速度與時(shí)間仍存在函數(shù)關(guān)系，即v=kt+b.從地面垂直向上拋射的物體符合平拋運(yùn)動(dòng)特征，物體在下落的過程中不斷減速，可直接設(shè)v-t關(guān)系式為v=kt+b.緊接著，運(yùn)用“兩點(diǎn)式”求解函數(shù)關(guān)系式，將（0，25）（2，5）分別代入v=kt+b，可得到k與b的具體數(shù)值，解得v=-10t+25.最后根據(jù)題意，將v=0代入v=-10t+25，得到物體到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)間.

本問題體現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)跨學(xué)科應(yīng)用與實(shí)踐理念，滿足跨學(xué)科類比解題技巧在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用條件.細(xì)心審題會(huì)發(fā)現(xiàn)問題隱含的非數(shù)學(xué)元素，大膽聯(lián)想，在物理知識(shí)與數(shù)學(xué)解題中建立通道，在物理層面還原“平拋運(yùn)動(dòng)”v-t圖像，是類比解題的重要保障.學(xué)生可使圖像躍然紙上，也可根據(jù)頭腦中的圖像記憶提煉函數(shù)關(guān)系式.此后，代入數(shù)學(xué)元素于函數(shù)關(guān)系式，學(xué)生可融合類比法與一次函數(shù)核心知識(shí)，高效解題.

（四）“數(shù)”“形”類比：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，化抽象為直觀

數(shù)形結(jié)合是初中數(shù)學(xué)解題的“法寶”.古今中外，無數(shù)數(shù)學(xué)家提出數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)學(xué)問題的解決過程中，數(shù)是重要依據(jù)，形是關(guān)鍵工具.初中數(shù)學(xué)函數(shù)、方程、不等式、立體幾何等問題中，學(xué)生均可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，此為“數(shù)”“形”類比.學(xué)生可根據(jù)問題已知條件化“數(shù)”為“形”或以“數(shù)”化“形”，從而化抽象問題為直觀信息，提高解題效率.比如在學(xué)習(xí)“應(yīng)用一元一次方程———追趕小明”知識(shí)時(shí)，學(xué)生若無法憑借問題文字信息理清解題思路，便可應(yīng)用“數(shù)”“形”類比技巧，將問題文字轉(zhuǎn)化為圖形語言，以具象化的方程關(guān)系幫助解題.

例題呈現(xiàn) 小彬和小強(qiáng)每天早晨堅(jiān)持跑步，小彬每秒跑4m，小強(qiáng)每秒跑6m.（1）如果他們站在百米跑道的兩端同時(shí)相向起跑，那么幾秒后兩人相遇？（2）如果小強(qiáng)站在百米跑道的起點(diǎn)處，小彬站在他前面10m處，兩人同時(shí)同向起跑，幾秒后小強(qiáng)能追上小彬？

答：小彬站在小強(qiáng)前面10m處，兩人同時(shí)同向起跑，5秒后小強(qiáng)能追上小彬.

類比問題第（1）小問與圖3，小彬和小強(qiáng)同時(shí)相向起跑，兩人相遇，即共同跑完100米，可根據(jù)“路程和=速度和×?xí)r間和”等量關(guān)系，列出方程“（4+6）x=100”解題.類比問題第（2）小問與圖4，小彬和小強(qiáng)一前一后同時(shí)同向起跑，小強(qiáng)追上小彬時(shí)，小彬跑步的距離與兩人跑步起點(diǎn)距離之和，等于小強(qiáng)跑步的距離，等量關(guān)系隱含在示意圖中，可列出方程“4y+10=6y”并解題.

本題為典型的相遇追及問題，共分為兩個(gè)小問，學(xué)生若僅憑文字信息分析問題，極易落入解題陷阱，混淆一元一次方程的應(yīng)用思維.學(xué)生若應(yīng)用類比法，將文字信息類比為圖形語言，即圖3與圖4，有助于將小彬和小強(qiáng)的相遇、追及關(guān)系具象化，把握等量關(guān)系，列出方程并解題.學(xué)生可結(jié)合題意應(yīng)用類比法，通過圖形表現(xiàn)歸類和比較結(jié)果，從而快速判斷等量關(guān)系，保證列方程、解方程的準(zhǔn)確性.

結(jié) 語

基于類比法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用價(jià)值，類比法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用技巧已經(jīng)成為教師關(guān)注的焦點(diǎn).類比法在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用，可以是把握問題本質(zhì)，構(gòu)建熟悉題型，也可以是分析已知條件，簡化問題內(nèi)容，還可以是應(yīng)用非數(shù)學(xué)元素，發(fā)散解題思維，更可以是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，化抽象為直觀.教師應(yīng)當(dāng)在初中數(shù)學(xué)課程中，積極指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類比法解決問題，使學(xué)生建立良好的解題思維，達(dá)成高效學(xué)習(xí)、學(xué)以致用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]唐美依.“類比法”讓初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)提質(zhì)增效[J].數(shù)學(xué)之友，2022，36（23）：16-17.

[2]賀湘雲(yún)，賴冬梅.類比法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].學(xué)周刊，2022（35）：61-63.

[3]段發(fā)一.類比思維在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)理天地（初中版），2022（16）：33-35.