葉青雷

異面直線是既不平行也不相交的兩條直線.這組直線的空間位置關(guān)系較為特殊，我們往往很難直接求得異面直線之間的距離，需采用一些方法和技巧，如平移法、向量法、等體積法、構(gòu)造函數(shù)法等，才能使問題獲解.下面結(jié)合實(shí)例，談一談求異面直線之間距離的四個(gè)技巧.

一、平移法

求異面直線之間的距離，要首先把握異面直線之間距離的定義和兩直線之間的位置關(guān)系.異面直線之間的距離是指這兩直線之間的公垂線的長(zhǎng)，而公垂線必須同時(shí)垂直于兩條異面直線.可采用平移法，通過(guò)平移其中的一條直線a，使其與另一條直線b相交，這樣便構(gòu)造出一個(gè)平面，過(guò)直線a上的一點(diǎn)作這個(gè)平面的垂線，該線即為兩條異面直線的公垂線，求得公垂線的長(zhǎng)即可求得兩條異面直線之間的距離.

例1.如圖1所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為a，求異面直線A₁D和AC之間的距離.

解：連接BD₁、BD、AD₁，設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為M，AN與A₁D的交點(diǎn)為F，

根據(jù)三垂線定理可知：BD₁⊥A₁D，BD₁⊥AC，

因?yàn)镹為DD₁的中點(diǎn)，

由三角形中位線的性質(zhì)可知BD₁∥MN，MN∥EF，

即BD₁∥EF，

可知EF即為異面直線A₁D和AC的公垂線，

又因?yàn)镹為DD₁的中點(diǎn)，且AA₁∥DN，

采用平移法解題，需仔細(xì)觀察立體幾何圖形中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，尤其要關(guān)注線和面之間的垂直、平行關(guān)系，通過(guò)平移直線將原本看起來(lái)毫無(wú)聯(lián)系的兩條異面直線關(guān)聯(lián)起來(lái)，再利用平面幾何知識(shí)，如勾股定理、正余弦定理、兩點(diǎn)間的距離公式、三角形中位線的性質(zhì)等來(lái)求公垂線的長(zhǎng).

二、向量法

對(duì)于易于建立空間直角坐標(biāo)系的立體幾何問題，可采用向量法來(lái)求解.在求異面直線之間的距離時(shí)，可分別求得兩條直線的方向向量a、b并設(shè)出兩條異面的公垂線，然后根據(jù)向量之間的垂直關(guān)系建立方程組，通過(guò)解方程求得公垂線的方向向量，最后求其模長(zhǎng)，即可求得異面直線之間的距離.

例2.如圖2所示，正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，其對(duì)角線為AC′，點(diǎn)M、N分別為棱BB′和B′C′的中點(diǎn)，MN的中點(diǎn)為P，求異面直線DP與AC′之間的距離.

解：如圖2所示，以D′為原點(diǎn)，D′C′為x軸、D′A′為y軸、D′D為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)DP與AC′的公垂線為QR，分別與DP、AC′相交于點(diǎn)Q、R，

相較于常規(guī)方法，向量法更加簡(jiǎn)單.在運(yùn)用向量法解題時(shí)，同學(xué)們需熟記一些向量的運(yùn)算法則，如向量的加法、減法，向量的數(shù)量積公式、模的公式.

三、等體積法

等體積法一般適用于求解三棱錐問題，是指轉(zhuǎn)換三棱錐的底面和高，根據(jù)同一個(gè)三棱錐或兩個(gè)三棱錐的體積相等建立關(guān)系式，求得問題的答案.在求異面直線之間的距離時(shí)，可將異面直線置于三棱錐中，采用等體積法求三棱錐的高，進(jìn)而求得兩條異面的公垂線的長(zhǎng).在解題時(shí)，同學(xué)們要善于尋找體積相等的三棱錐，或易于計(jì)算體積的三棱錐的底面和高，建立等價(jià)關(guān)系式.

例3.如圖3所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，求直線ED₁與直線CC₁之間的距離.

解：如圖4所示，過(guò)點(diǎn)E作EE₁∥CC₁，連接D₁E₁.

已知點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)E₁為B₁C₁的中點(diǎn)，

所以B₁E₁=E₁C₁.

則CC₁∥平面D₁EE₁，

則異面直線ED₁與CC₁之間的距離即為直線CC₁到平面D₁EE₁的距離，也就是點(diǎn)C₁到平面D₁EE₁的距離.

設(shè)點(diǎn)C₁到平面D₁EE₁的距離為a，

因?yàn)镃C₁⊥A₁B₁C₁D₁，EE₁⊥A₁B₁C₁D₁，

運(yùn)用該等體積法求異面直線之間的距離，可省去找公垂線的麻煩，且簡(jiǎn)化了運(yùn)算的過(guò)程.

四、函數(shù)構(gòu)造法

我們知道，公垂線是兩條異面直線之間的最小距離.若很容易找到異面之間的公垂線，但無(wú)法快速求得公垂線的長(zhǎng)，或無(wú)法找到公垂線，可根據(jù)勾股定理、正余弦定理、兩點(diǎn)間的距離公式等求得公垂線的表達(dá)式，或兩異面直線上任意兩點(diǎn)之間的距離的表達(dá)式，然后將其構(gòu)造成函數(shù)模型，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，即可求得異面直線之間的距離.

例4.如圖5所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為a，A₁B和D₁B₁為正方形ABA₁B₁和正方形A₁B₁C₁D₁的對(duì)角線，求異面直線A₁B和D₁B₁之間的距離.

解：在A₁B上任取一點(diǎn)M，作MP⊥A₁B₁于點(diǎn)P，作NP⊥A₁B₁于點(diǎn)P，與D₁B₁交于點(diǎn)N.

根據(jù)三垂線定理可知MN⊥D₁B₁.

由于平面ABA₁B₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，所以PN⊥PM，

在Rt△PMN中，

通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造出垂直于D₁B₁的平面PNM，只要在平面PNM中找到一條直線垂直于A₁B，那么該直線即是異面直線A₁B和D₁B₁的公垂線. 在Rt△PMN中，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于x的關(guān)系式，求得公垂線的表達(dá)式，然后將其看作關(guān)于x的函數(shù)式，通過(guò)分析函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值，即可解題.

可見，求異面直線之間的距離，關(guān)鍵是根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)和性質(zhì)，以及點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系找到異面直線的公垂線，并求得其長(zhǎng)度.同學(xué)們可根據(jù)題目的條件，靈活選用上述四種方法.