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        例談證明數(shù)列不等式問題的三種途徑

        2022-05-30 10:48:04王靜靜
        關(guān)鍵詞:歸納法通項(xiàng)最值

        王靜靜

        除了求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求數(shù)列的和問題,我們經(jīng)常還會(huì)遇到證明數(shù)列不等式問題.證明數(shù)列不等式問題具有較強(qiáng)的綜合性,不僅考查了數(shù)列知識(shí),還考查了不等式、函數(shù)、方程等知識(shí).本文重點(diǎn)討論一下證明數(shù)列不等式的三種途徑:采用數(shù)學(xué)歸納法、放縮不等式、構(gòu)造函數(shù).

        一、采用數(shù)學(xué)歸納法

        數(shù)學(xué)歸納法主要適用于證明與自然數(shù)有關(guān)的問題.數(shù)列不等式問題中的自變量為自然數(shù)集,因而可采用數(shù)學(xué)歸納法來求解.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式一般有兩個(gè)步驟:

        第一步,證明當(dāng)n=1時(shí),數(shù)列不等式成立;

        第二步,假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)數(shù)列不等式成立,據(jù)此推斷出當(dāng)n=k+1時(shí)數(shù)列不等式也成立.

        綜合當(dāng)n=1時(shí)和當(dāng)n=k時(shí)的兩種情形,便可歸納出當(dāng)n∈N+時(shí)數(shù)列不等式成立的結(jié)論.

        例1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a3=4,a4=S3,若Sn+bn、Sn+1+bn、Sn+2+bn成等比數(shù)列.

        (1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;

        證明:(1)an=2n-2,bn=n2+2(過程略);

        ①當(dāng)n=1時(shí),c1=0<2,不等式成立;

        則當(dāng)n=k+1時(shí),

        數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式中含有根式、分式,較為復(fù)雜,很難快速求得數(shù)列的和,證明不等式成立,需采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.先判斷當(dāng)n=1時(shí)c1與2的大小關(guān)系,證明不等式成立,然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),數(shù)列不等式成立,將其當(dāng)作已成立的條件,根據(jù)不等式的傳遞性推出當(dāng)n=k+1時(shí)數(shù)列不等式也成立,從而證明數(shù)列不等式成立.

        二、放縮不等式

        三、構(gòu)造函數(shù)

        有些數(shù)列不等式較為復(fù)雜,此時(shí)我們可將數(shù)列看作自變量為自然數(shù)的特殊函數(shù)f(n),將問題轉(zhuǎn)化為證明f(n)≤c、f(n)≥c(c為常數(shù)).根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義、數(shù)列前后項(xiàng)之間的大小關(guān)系判斷出數(shù)列的單調(diào)性,即可求得數(shù)列的和的最值,求出f(n)的最值,證明f(n)max≤c、f(n)min≥c(c為常數(shù)),即可證明數(shù)列不等式成立.

        ∴函數(shù)f(n)是單調(diào)遞增函數(shù),

        通過上述分析,可知數(shù)學(xué)歸納法、放縮法以及構(gòu)造函數(shù)法都是證明數(shù)列不等式的重要手段,其中放縮法比較常用,其適用范圍較廣;對(duì)于較為復(fù)雜的數(shù)列不等式問題,常需采用數(shù)學(xué)歸納法和構(gòu)造函數(shù)法來進(jìn)行求證,但這兩種方法較為繁瑣,且運(yùn)算量較大.

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