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        如何比較指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)式的大小

        2022-05-30 10:48:04高晨予馮帆
        關(guān)鍵詞:底數(shù)指數(shù)函數(shù)比較法

        高晨予 馮帆

        比較函數(shù)式大小問(wèn)題的難度一般不大,常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)在各類試卷中,其中比較指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)式的大小問(wèn)題較為復(fù)雜,此類問(wèn)題側(cè)重于考查指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、圖象以及運(yùn)算性質(zhì).比較函數(shù)式大小的常用方法有作差比較法、作商比較法、函數(shù)性質(zhì)法、中價(jià)值法、公式法等.本文重點(diǎn)談一談比較指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)式大小的兩種常用途徑.

        一、利用函數(shù)的單調(diào)性

        我們知道,指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)具有單調(diào)性,當(dāng)0x(a>0,且a≠1)在R上單調(diào)遞減;當(dāng)a>1時(shí),指數(shù)函數(shù)y=ax在R上單調(diào)遞增.當(dāng)0ax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;當(dāng)a>1時(shí),指數(shù)函數(shù)y=logax在(0,+∞)上單調(diào)遞增.在比較指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)式的大小時(shí),可將兩個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)相同的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)式,再根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行比較.

        例1.已知a>b,則( ???).

        例2.(2020年全國(guó)I卷理科,第12題)若2a+log2a=4b+2log4b,則( ???).

        A.a>2b ???B.a<2b ???C.a>b2D.a2

        分析:不等號(hào)兩邊的式子都是一個(gè)指數(shù)函數(shù)式和一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)式的和,其結(jié)構(gòu)相同,于是將其變形2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b,構(gòu)造同底數(shù)的函數(shù)式f(x)=2x+log2x,再討論f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,便可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較a、2b的大小,從而選擇出正確的選項(xiàng).

        解:設(shè)f(x)=2x+log2x,則f(x)為增函數(shù),

        因?yàn)?a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b

        所以f(a)-f(2b)=2a+log2a-(22b+log22b)

        所以f(a)

        當(dāng)b=1時(shí),f(a)-f(b2)=2>0,

        此時(shí)f(a)>f(b2),有a>b2,

        當(dāng)b=2時(shí),f(a)-f(b2)=-1<0,此時(shí)f(a)2),有a2,所以C、D兩項(xiàng)錯(cuò)誤.故本題選B答案.

        有些要比較大小的式子很復(fù)雜,但是仔細(xì)一看就會(huì)發(fā)現(xiàn)其中有很多重復(fù)或者是相似的地方,可從中找到一些“端倪”,據(jù)此構(gòu)造新函數(shù),根據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較函數(shù)式的大小.

        二、取中間值

        運(yùn)用中間值法比較兩個(gè)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)式的大小,通常要與放縮法相結(jié)合,即以中間值作為“橋梁”,根據(jù)不等式的傳遞性來(lái)將要比較的式子進(jìn)行放縮,以便快速比較出各個(gè)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)式與中間值的大小.

        例3.已知a=1og52,b=log0.50.2,c=0.50.2,則a,b,c的大小關(guān)系為( ???).

        A.a

        b=log0.50.2<1og0.50.25=2,

        故A選項(xiàng)正確.

        相比較而言,第一種途徑較為簡(jiǎn)單,且較為常用,第二種途徑較為靈活,且較為復(fù)雜,常用于求解較為復(fù)雜的,且沒(méi)有任何共同點(diǎn)的函數(shù)問(wèn)題.在比較指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)式的大小時(shí),同學(xué)們要有敏銳的觀察力和較強(qiáng)的分析能力,這樣才能根據(jù)函數(shù)式的特點(diǎn)快速選出合適的方法來(lái)求解.

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