王軍昌 呂長青

摘 要：極限是初學(xué)高等數(shù)學(xué)的大學(xué)生面對的第一個(gè)重要概念.充分理解并準(zhǔn)確把握函數(shù)極限也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)者必須要過的坎.本文從一個(gè)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者視角來深入剖析極限的語義、邏輯和關(guān)鍵點(diǎn)，把無窮小的性質(zhì)、階的比較以及等價(jià)等知識(shí)應(yīng)用于極限概念的理解和某些有關(guān)極限的計(jì)算.這對深入理解極限概念和巧妙地計(jì)算某些函數(shù)極限都是饒有意義的研究與探索.

關(guān)鍵詞：數(shù)列；數(shù)列極限；函數(shù)極限；無窮??；等價(jià)無窮小

4 結(jié)論

本文從數(shù)列極限、函數(shù)極限的定義著手，研究分析概念中任意給定正數(shù)ε（不論多么小）的“任意小”的意義.剖析極限定義的語義與邏輯，從學(xué)習(xí)者的角度來認(rèn)識(shí)函數(shù)無限逼近定數(shù)的數(shù)學(xué)語言的精確表達(dá).基于極限定義得到無窮小的深刻認(rèn)識(shí)，即極限為零的函數(shù)在自變量的趨近過程中被視為無窮小.無窮小不是很小的定數(shù)，而是自變量足夠靠近定值（或者在數(shù)軸上走得足夠遠(yuǎn)）的時(shí)候函數(shù)的絕對值可以任意小.無窮小亦可刻畫描述函數(shù)極限，函數(shù)的極限為定值等價(jià)于自變量足夠靠近定值（或者在數(shù)軸上走得足夠遠(yuǎn)）的時(shí)候函數(shù)值與該定值的差是無窮小.從本文的論證中不難看到無窮小在極限四則運(yùn)算法則的論證方面有強(qiáng)有力的應(yīng)用.由于非零無窮小的倒數(shù)是無窮大，基于這一事實(shí)可巧妙地證明一些函數(shù)為無窮大，這在本文中給出了舉例說明.利用等價(jià)無窮小的因子替換可以巧解一些極限求解問題，這也是無窮小一個(gè)重要應(yīng)用.

參考文獻(xiàn)：

［1］楊子蘭，李睿，楊惠娟.等價(jià)無窮小量替換法在復(fù)合函數(shù)極限中的應(yīng)用.湘南學(xué)院學(xué)報(bào)［J］.2018，39（5）：1619.

［2］張宇.等價(jià)無窮小代換求極限的討論.五邑大學(xué)學(xué)報(bào)［J］.2018，32（4）：1518.

［3］黃星，張倩瑤.利用等價(jià)無窮小求極限時(shí)應(yīng)注意的問題.黑龍江科學(xué)［J］.2021，12（13）：129131.

［4］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.北京.高等教育出版社，2018.

［5］張國楚，王向華，武女則，李袆.大學(xué)文科數(shù)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社.2016.

［6］周正岳，黃麗芹.無窮小比較的意義和應(yīng)用.高等數(shù)學(xué)研究［J］.2022，25（4）：1921.

［7］成凱哥.一類無窮小量的等價(jià)性.河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)［J］.2020，29（1）：811.

［8］張志會(huì).無窮小在函數(shù)極限概念中的應(yīng)用探析.現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)［J］.2021（3）：149.