黃雪林

摘 要：現(xiàn)象教學(xué)的核心理念是生成，學(xué)生頭腦中天然生成的知識(shí)是學(xué)生真正理解了的知識(shí).本文對(duì)現(xiàn)象教學(xué)視角下如何進(jìn)行單元復(fù)習(xí)教學(xué)，構(gòu)建“現(xiàn)象教學(xué)單元復(fù)習(xí)教學(xué)模型”進(jìn)行研究，以“空間的距離”單元為例，闡述圍繞“生成”開展的現(xiàn)象教學(xué)單元復(fù)習(xí)課如何通過“直觀感知→現(xiàn)象解析→意義生成→應(yīng)用拓展→綜合評(píng)價(jià)”有層次地推進(jìn).

關(guān)鍵詞：現(xiàn)象教學(xué)；單元復(fù)習(xí)；空間的距離

單元復(fù)習(xí)課是對(duì)章節(jié)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深入的解讀、整合、重組，以討論、探究、發(fā)現(xiàn)、交流、總結(jié)等手段在課堂教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)方法之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)提升的綜合教學(xué).解題教學(xué)典型的單元復(fù)習(xí)通常以這樣的形式開展：梳理單元相關(guān)數(shù)學(xué)概念→例題講解+變式分析+課堂練習(xí)→課堂小結(jié)→課后練習(xí).核心素養(yǎng)立意下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)和現(xiàn)象教學(xué)的主張一樣，都重視數(shù)學(xué)概念的深度理解.解題教學(xué)理念下的單元復(fù)習(xí)課中，以知識(shí)清單或者思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)在導(dǎo)學(xué)案上，教學(xué)過程中以校對(duì)和復(fù)述的方式進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的重現(xiàn)，這種概念梳理方式不容易實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)概念的深度理解.

現(xiàn)象教學(xué)主張單元復(fù)習(xí)教學(xué)以真實(shí)現(xiàn)象為學(xué)習(xí)和研究的抓手，多視角多維度地分析現(xiàn)象蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)、促進(jìn)生成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)框架、自然生成系統(tǒng)化的探究路徑、建立起數(shù)學(xué)概念間的聯(lián)系.在教學(xué)過程中圍繞“意義生成”為核心目標(biāo)，既要感知章節(jié)核心概念的來源、生成數(shù)學(xué)概念之間的本質(zhì)關(guān)系，形成涵括數(shù)學(xué)現(xiàn)象屬性的上位概念，形成知識(shí)的系統(tǒng)化和整體化，解決知識(shí)碎片化的問題.同時(shí)也要能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)學(xué)方法的自然拓展延伸.主要體現(xiàn)在形成探究常規(guī)問題的一般方法，總結(jié)歸納特殊情況下的特征規(guī)律，摸索統(tǒng)一的研究路徑，完成適當(dāng)?shù)倪w移提升，培養(yǎng)必備品格和關(guān)鍵能力.本文以高中數(shù)學(xué)“空間的距離”為例，闡述現(xiàn)象教學(xué)視角下的單元復(fù)習(xí)教學(xué)的實(shí)踐與研究.

1 案例：現(xiàn)象教學(xué)視角下“空間的距離”的專題復(fù)習(xí)課

1.1 直觀現(xiàn)象的探究，生成上位概念和構(gòu)建系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

課前思考：空間的距離包含哪些分類？能否具體陳述并根據(jù)自己的理解給出“空間的距離”的統(tǒng)一定義？

生1：空間的基本組成部分包含點(diǎn)、線、面，所以空間的距離主要表現(xiàn)為點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、點(diǎn)與面、線與線、線與面、面與面的距離.（在黑板上畫出點(diǎn)A和點(diǎn)B、不過點(diǎn)A的直線l、點(diǎn)A與平面α，直線a與直線b，直線l與平面α，平面α與平面β，如圖1所示）點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離是線段AB的長(zhǎng)度；點(diǎn)A到直線l的距離是過A作直線l的垂線段的長(zhǎng)度；點(diǎn)A到平面α的距離是過A作平面α的垂線段的長(zhǎng)度；直線a與直線b的距離是與直線a和直線b都垂直的垂線段的長(zhǎng)度；直線l與平面α的距離是在直線l上任取一點(diǎn)作平面α垂線段的長(zhǎng)度；平面α與平面β的距離是在平面α內(nèi)任取一點(diǎn)作平面β垂線段的長(zhǎng)度.

師：在同學(xué)的闡述中，我們來梳理一下核心詞是什么？

生：垂線段（垂直）.

師：垂線段表現(xiàn)了什么幾何特征？

生2：所有連線中長(zhǎng)度最短.

師：非常好，進(jìn)一步思考，相交直線的距離是什么？

眾生產(chǎn)生疑惑，一部分同學(xué)認(rèn)為沒有距離，一部分同學(xué)陷入思考.教師進(jìn)一步引導(dǎo).

師：請(qǐng)問我們平時(shí)是否會(huì)問蘇州市和上海市的距離是多少這樣的問題？

眾生點(diǎn)頭表示認(rèn)同，教師請(qǐng)同學(xué)回答“蘇州市和上海市的距離是多少”，眾生思考后提出不同觀點(diǎn)，有的同學(xué)認(rèn)為可以從地圖上找出“蘇州站和上海站的距離”“蘇州市政府和上海市政府的距離”，但這些都不是“蘇州市和上海市的距離”.

師：（進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考）一個(gè)人從蘇州市到上海市，最快需要多長(zhǎng)時(shí)間？

生3：可以不花時(shí)間，如果他站在兩市的交界處.

師：所以蘇州市和上海市在地理的范疇來說是接壤的，從數(shù)學(xué)的視角來看距離為0.

眾生：相交直線的距離是0，點(diǎn)在直線上時(shí)距離為0，直線與平面相交和直線在平面內(nèi)時(shí)距離都是0，相交平面的距離也是0.

師：再提出一個(gè)問題，兩個(gè)幾何體之間有沒有距離？

眾生：有的（回答基本一致，至此同學(xué)們對(duì)空間的距離有了較為一致的認(rèn)識(shí)）.

師：如果我們把點(diǎn)、線、面、幾何體等看作點(diǎn)的集合，那么距離是兩個(gè)點(diǎn)集所有連線中最短的線段的長(zhǎng)度，這就是“空間的距離”的數(shù)學(xué)本質(zhì).基于對(duì)“空間的距離”的概念的理解，我們?cè)賮砜袋c(diǎn)到球體的距離是點(diǎn)到球心的距離減去半徑；兩個(gè)球體的距離是兩球心的距離減去兩球的半徑.進(jìn)一步思考：我們可以用數(shù)學(xué)符號(hào)語言對(duì)距離進(jìn)行描述嗎？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在單元復(fù)習(xí)課前已經(jīng)存在“空間的距離”的基本認(rèn)知，只是大部分學(xué)生對(duì)“空間的距離”的理解是以點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、點(diǎn)與平面、線與線、線與面、面與面這樣的下位概念的形式呈現(xiàn)的.單元復(fù)習(xí)課的概念回歸環(huán)節(jié)不應(yīng)該是機(jī)械記憶的重現(xiàn)，如果教師在單元復(fù)習(xí)課中選擇以簡(jiǎn)單的填空或復(fù)述的形式重現(xiàn)數(shù)學(xué)概念，容易造成數(shù)學(xué)概念碎片化現(xiàn)象的出現(xiàn)，形成從數(shù)學(xué)概念到數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)應(yīng)用三位一體的知識(shí)系統(tǒng)或可解決這一問題.

現(xiàn)象教學(xué)視角下的單元復(fù)習(xí)課中，教師結(jié)合真實(shí)的現(xiàn)象幫助學(xué)生完成了“空間的距離”這一上位概念的形成，從點(diǎn)的集合的視角深度理解距離的數(shù)學(xué)本質(zhì).基于上位概念的視角去重新梳理下位概念和平行概念，形成體系，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的教學(xué)目標(biāo).

1.2 直觀現(xiàn)象的解析，生成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法和規(guī)范的表達(dá)

進(jìn)一步思考：生成了“空間的距離”的概念，如何結(jié)合概念，整合學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)生成常規(guī)方法？

師：“空間的距離”是空間中兩個(gè)點(diǎn)集中各取一點(diǎn)構(gòu)成的所有線段中長(zhǎng)度最小的線段的長(zhǎng)度，即f（x，y，z）=|PQ|_min.生成“空間的距離”概念后，我們重新審視空間的距離有哪些具體的表現(xiàn)形式？以什么標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類？空間中點(diǎn)的集合包含線、面和幾何體等形式，空間距離存在點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、點(diǎn)與面、線與線、線與面、面與面等形式.思考：求解兩個(gè)點(diǎn)集的空間距離是否有統(tǒng)一的方法？

生5：生1在繪制草圖解釋“空間的距離”是用“垂線段”來刻畫，結(jié)合“距離”的概念我們可以在生1繪制的草圖上進(jìn)行簡(jiǎn)單的加工和思考（圖2）.

師：平行于平面的直線l到平面α的距離是直線上的任意一點(diǎn)到平面的距離，那么直線與平面不平行時(shí)的距離如何求解？不平行的兩個(gè)平面的距離如何求解？

眾生：都是0.

師：“垂直的線段”容易在畫圖的過程中展現(xiàn)但是不好求解，空間向量中“法向量”是垂直的代數(shù)表達(dá)形式，基于空間向量是自由向量這一屬性，求兩個(gè)空間點(diǎn)集的距離我們探索出了統(tǒng)一的求解方法：在兩個(gè)空間點(diǎn)集各取一點(diǎn)P和Q，連接兩點(diǎn)的向量，在兩個(gè)空間點(diǎn)集法向量上的投影向量的模就是f（x，y，z）=｜PQ｜_min.生5的推導(dǎo)過程和歸納你們是否認(rèn)同？

眾生：認(rèn)同.

師：生5的歸納與你們之前關(guān)于“空間距離”的理解有什么相同和不同？

生6：我們以前求點(diǎn)到直線的距離必須要有點(diǎn)坐標(biāo)和直線方程，而且是在平面解析幾何中才會(huì)求解.點(diǎn)到直線的距離在立體幾何中是存在的實(shí)際情況，并且推導(dǎo)點(diǎn)到直線距離的方法是可以遷移到解決點(diǎn)到面的距離問題.這樣同一類問題，方法的遷移對(duì)我們今后的學(xué)習(xí)有很大幫助.

生7：生1和生5在概念解釋和方法歸納的過程中都繪制了草圖，數(shù)形結(jié)合的方法可以較好地幫助我們將抽象的概念形象具體地展現(xiàn).

生8：我們學(xué)習(xí)了“空間的距離”的概念后，對(duì)于距離的理解就不再是點(diǎn)與點(diǎn)、線與線、點(diǎn)與面等各種各樣的模型和公式.我繪制了關(guān)于“空間的距離”的一個(gè)概念圖（圖3）：

師：這個(gè)整理概念的方法很不錯(cuò)，那么我們今天就安排一個(gè)以“空間的距離”為主題的概念手抄報(bào)的作業(yè)，看看大家對(duì)“空間的距離”是否都有自己的理解.

設(shè)計(jì)意圖：“空間的距離”的上位概念的生成不但能夠梳理好數(shù)學(xué)概念間的關(guān)系，還能夠自然生成求解距離的數(shù)學(xué)方法.倘若教師只是一味整合空間向量求解空間距離的方法，學(xué)生不容易理解向量求距離的本質(zhì).講解再多的例題、變式，都不容易達(dá)到理想的復(fù)習(xí)效果.

現(xiàn)象教學(xué)的三個(gè)核心詞直觀、生成和應(yīng)用與大單元教學(xué)的精神是高度契合的，直觀的現(xiàn)象幫助學(xué)生頭腦中生成了“距離”的概念和空間向量求解空間距離的本質(zhì)思想，在數(shù)學(xué)方法中深度理解空間向量是自由向量的特征屬性.還應(yīng)當(dāng)注意到，在學(xué)生學(xué)習(xí)了多種距離后如果仍然停留在對(duì)具體距離的認(rèn)識(shí)上，那對(duì)認(rèn)知發(fā)展而言是一個(gè)缺憾，現(xiàn)實(shí)世界中沒有抽象的點(diǎn)、直線、平面，有的都是具體的物體和區(qū)域.從教學(xué)實(shí)踐來看，在有了點(diǎn)線、線線、面面距離后讓學(xué)生認(rèn)識(shí)一般意義下的點(diǎn)集距離是可行的，而其教學(xué)效果（指對(duì)前述距離的反饋）則尤其令人欣喜.

1.3 直觀現(xiàn)象的剖析，形成解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵能力

“應(yīng)用”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)，如何設(shè)計(jì)實(shí)際應(yīng)用環(huán)節(jié)才能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法的深度理解？

師：“空間的距離”在我們身邊無處不在，現(xiàn)在我們有一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA₁B₁C₁D₁中，E為BB₁的中點(diǎn).你們能否以這個(gè)正方體為研究對(duì)象，設(shè)計(jì)以“空間的距離”為主題的數(shù)學(xué)問題？

生8：求點(diǎn)C到平面AD₁E的距離.這是考查點(diǎn)到平面的距離，由于CAD₁E是典型的三棱錐，且是在正方體內(nèi)的三棱錐，那么我們可以選擇等體積和空間向量點(diǎn)到面的距離形式進(jìn)行問題的解決.等體積解決點(diǎn)到面的距離較多地建立在較容易得到體積，三棱錐CAD₁E的體積并不容易得到，正方體ABCDA₁B₁C₁D₁方便建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決點(diǎn)C到平面AD₁E的距離具有明顯優(yōu)勢(shì).

師：總結(jié)一下同學(xué)們自主命制的數(shù)學(xué)問題，不但考查了點(diǎn)到面的距離、異面直線的距離、平行于平面的直線到平面的距離、兩平行平面的距離，還命制了開放性的綜合問題.同學(xué)們可以在手抄報(bào)作業(yè)中增加命制關(guān)于空間距離的數(shù)學(xué)問題.（課堂總結(jié)和作業(yè)布置環(huán)節(jié)略）

設(shè)計(jì)意圖：傳統(tǒng)解題教學(xué)單元復(fù)習(xí)中，數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用拓展以例題講解+變式分析+隨堂練習(xí)的形式呈現(xiàn)，例題的設(shè)計(jì)一般根據(jù)考查的知識(shí)點(diǎn)由簡(jiǎn)至難、逐層推進(jìn)，變式和隨堂練習(xí)也都會(huì)與例題匹配.整個(gè)過程中學(xué)生的參與主要體現(xiàn)在主動(dòng)做題，有的教師為了提高學(xué)生的參與度安排學(xué)生講解解題思路、歸納解題過程中的數(shù)學(xué)方法、總結(jié)例題考查的知識(shí)點(diǎn)等環(huán)節(jié).這些設(shè)計(jì)能夠較好地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用拓展，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的深度理解.

基于現(xiàn)象教學(xué)視角下的例題的講解不是像問題教學(xué)一樣只是“解決了一道數(shù)學(xué)習(xí)題”，學(xué)生在將例題還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行研究的過程中感受生成數(shù)學(xué)概念、生成數(shù)學(xué)方法和感受命題視角下對(duì)數(shù)學(xué)概念的深度思考，實(shí)現(xiàn)思維的延伸.

2 回顧與反思

2.1 設(shè)計(jì)理念

大單元復(fù)習(xí)課的定位不是讓學(xué)生簡(jiǎn)單地復(fù)述點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線等形式距離的空間向量的求解方法，而是讓他們生成“空間距離”的概念，充分理解空間向量在求空間距離中的工具性作用，將空間距離作為直觀現(xiàn)象去觀察、分析，最后生成了新的知識(shí)體系、新的數(shù)學(xué)方法，這就是基于現(xiàn)象的大單元教學(xué).基于解題的大單元教學(xué)，則有相反的順序，它會(huì)把數(shù)學(xué)概念以填空或者表格的形式給學(xué)生，再讓學(xué)生去理解知識(shí)、掌握知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)直至綜合、創(chuàng)新.大單元復(fù)習(xí)理念的提出就是針對(duì)“碎片化”現(xiàn)象的教學(xué)進(jìn)階，對(duì)知識(shí)的整合不是機(jī)械地記憶和重復(fù)，是希望完善知識(shí)體系的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)和探究能力.知識(shí)容易忘記，但探究的意識(shí)和能力很難忘記，后者才構(gòu)成人的內(nèi)在素養(yǎng)，才是教育應(yīng)該給予學(xué)生的.“你無法獲得不是流自自身心靈的泉水”歌德如是說.在課堂教學(xué)的過程中可以做這樣的詮釋：“不是自己頭腦中生成的知識(shí)，便不能真正地?fù)碛泻妥匀绲貞?yīng)用”.歸根結(jié)底，“生成”才是知識(shí)的學(xué)習(xí)、理解、應(yīng)用、創(chuàng)新的真正源頭.“知識(shí)生成”是頭腦中自然產(chǎn)生對(duì)觀察對(duì)象的解釋，它來自于人與世界的互動(dòng)，來自于學(xué)習(xí)者頭腦的即時(shí)創(chuàng)造.與“建構(gòu)”相比，“生成”更強(qiáng)調(diào)人對(duì)世界的認(rèn)識(shí)，而不是人對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，因而更有生態(tài)性.

2.2 教學(xué)過程

2.2.1 數(shù)學(xué)概念體系的生成

理解一個(gè)概念，不是說你會(huì)把它分析成若干個(gè)部分，也不是說你知道它的外部聯(lián)系.一個(gè)概念自有其內(nèi)部的結(jié)構(gòu)，有其在更大結(jié)構(gòu)中的邏輯次序，有其自身整體化、獨(dú)立化的意義.整體大于部分之和，而結(jié)構(gòu)優(yōu)勢(shì)很難用語言來描述，結(jié)構(gòu)更應(yīng)該是心靈感受的產(chǎn)物，不能靠聽講而獲得，甚至無法告訴別人，因?yàn)槟隳苈牭降幕蚰芨嬖V別人的，只是依照某種次序排列的詞語，每一個(gè)詞語只代表一個(gè)碎片，而不是概念本身.

現(xiàn)象教學(xué)不提倡教師提供概念圖，教師繪制的概念圖表達(dá)的是教師對(duì)概念和知識(shí)點(diǎn)的理解，并不是屬于學(xué)生自己的概念圖.學(xué)生根據(jù)自己對(duì)生成概念、思想、方法的整理繪制的概念圖更符合自身認(rèn)知，較大程度地促進(jìn)了知識(shí)的結(jié)構(gòu)化.

繪制概念圖反映的是學(xué)生個(gè)體對(duì)生成概念結(jié)構(gòu)化的重要方式，能夠體現(xiàn)知識(shí)生成的動(dòng)態(tài)過程.繪制概念圖的過程可以幫助學(xué)生整合本單元各個(gè)知識(shí)點(diǎn)間的有效聯(lián)結(jié)、厘清相關(guān)概念的內(nèi)在邏輯、提升知識(shí)體系的結(jié)構(gòu)化，使得碎片化學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向立體式學(xué)習(xí)與系統(tǒng)式學(xué)習(xí).

2.2.2 數(shù)學(xué)思想體系的形成

生成數(shù)學(xué)概念體系后學(xué)生通過圖形語言、文字語言和數(shù)學(xué)符號(hào)語言對(duì)生成的概念進(jìn)行深度解析，而不再是靠背公式背數(shù)學(xué)模型的方式去解決空間距離問題，實(shí)現(xiàn)了對(duì)距離本質(zhì)的理解.數(shù)學(xué)符號(hào)的表述也找到了共性.繪制空間中各種點(diǎn)集的關(guān)系時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)兩相交直線的距離為0，直線與平面相交時(shí)的距離為0，兩平面相交時(shí)的距離也是0.用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確刻畫數(shù)學(xué)概念，是數(shù)學(xué)概念結(jié)構(gòu)化的核心，也是“生成”距離的概念的核心.

現(xiàn)象解析是從直觀感知的概念雛形出發(fā)，結(jié)合學(xué)生自身掌握的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)現(xiàn)象的表象進(jìn)行深度思考和分析，從數(shù)學(xué)的視角多角度多維度地分析數(shù)學(xué)現(xiàn)象蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)；領(lǐng)悟數(shù)學(xué)表象背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，自然生成意義的同時(shí)在教師的引導(dǎo)下學(xué)會(huì)規(guī)范表達(dá)，并在對(duì)比與融合中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)化.其中的“意義生成”是核心部分，這個(gè)環(huán)節(jié)包括數(shù)學(xué)概念、方法以及新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的生成，從知識(shí)的源頭一直延伸到知識(shí)的應(yīng)用拓展，起點(diǎn)是數(shù)學(xué)現(xiàn)象終點(diǎn)還是數(shù)學(xué)現(xiàn)象；解題教學(xué)的應(yīng)用拓展往往是以例題的形式呈現(xiàn)的，基于知識(shí)教學(xué)的例題往往側(cè)重于講解考點(diǎn)、出處，分析未知量、已知量，題后反思、歸納通性通法、拓展變式.例題通常以考查知識(shí)點(diǎn)或者考查方法進(jìn)行分類，例題+變式的形式能夠?qū)崿F(xiàn)概念的理解和應(yīng)用.基于現(xiàn)象的應(yīng)用拓展，將例題還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象，從數(shù)學(xué)本質(zhì)的側(cè)面、反面等多角度多維度解決問題，比如條件的不確定的結(jié)構(gòu)不良型問題、結(jié)論不唯一的開放型問題、未知量不唯一的探究型問題等側(cè)重于生成概念的深度理解和實(shí)踐應(yīng)用.教學(xué)過程中教師可以組織學(xué)生歸納例題考查的知識(shí)點(diǎn)和解題方法，也可以讓學(xué)生根據(jù)模型命制例題變式等形式開展應(yīng)用拓展環(huán)節(jié)，真正實(shí)現(xiàn)有效推進(jìn)高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地.

2.2.3 數(shù)學(xué)應(yīng)用思維的延伸

如何實(shí)現(xiàn)例題講解還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象？方式一：將例題分段呈現(xiàn).教師在課堂中可以只呈現(xiàn)題干條件不呈現(xiàn)題目任務(wù)，將例題轉(zhuǎn)化為一個(gè)具有多種可能的開放式問題；也可以只呈現(xiàn)一部分條件和題目任務(wù)，由學(xué)生補(bǔ)充條件.方式二：漸進(jìn)式呈現(xiàn)解答過程，允許學(xué)生在解答過程中犯錯(cuò)并將發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的機(jī)會(huì)也交還給學(xué)生.學(xué)生親身體驗(yàn)錯(cuò)誤的發(fā)生、經(jīng)歷找出錯(cuò)誤成因的過程，數(shù)學(xué)現(xiàn)象的呈現(xiàn)過程遠(yuǎn)比一道習(xí)題的講解印象深刻.方式三：用數(shù)學(xué)現(xiàn)象促進(jìn)解題后的反思與升華，安排學(xué)生命制數(shù)學(xué)題、解答數(shù)學(xué)題，教師展示學(xué)生結(jié)果并由全體同學(xué)進(jìn)行評(píng)判.經(jīng)過多輪的練習(xí)與反思獲取一般性結(jié)論.

為什么要把例題還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象？現(xiàn)實(shí)世界呈現(xiàn)給我們的只是表象，問題及規(guī)律深藏在其背后^［1］.只有將例題還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象去研究，才能夠?qū)崿F(xiàn)在例題呈現(xiàn)的過程中體驗(yàn)概念生成、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)、體悟數(shù)學(xué)之美.

還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象的例題也可以是“不完美”的數(shù)學(xué)題，它以“不完美”的形態(tài)，給了學(xué)生思維的空間；以“不完整”的解答，給了學(xué)生活動(dòng)的機(jī)會(huì)；以“不定型”的反思，給了學(xué)生提高的余地.從學(xué)生的角度看，這才是更為完美的例題和更為完整的教學(xué)^［2］.

愛因斯坦曾說過提出問題比解決問題更重要，只有學(xué)生自身生成了概念才能夠提出對(duì)世界的思考.數(shù)學(xué)成為孩子們面對(duì)真實(shí)世界自由思考的工具，不再是各種眼花繚亂的公式、定理和永無止盡的數(shù)學(xué)題目.每個(gè)時(shí)代的知識(shí)都是在不斷更新迭代的，但是每個(gè)時(shí)代的人對(duì)世界的思考方式卻是相似的，現(xiàn)象教學(xué)希望教給學(xué)生的是面對(duì)世界的思考方式，而不是知識(shí)本身.

3 結(jié)束語

數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)需要通過觀察世界、思考世界和表達(dá)世界來得到落地，到了復(fù)習(xí)課階段就要追求對(duì)世界的“表達(dá)”，有了表達(dá)才說明學(xué)生有了自己的真實(shí)認(rèn)知.有一點(diǎn)毋庸置疑，那就是表達(dá)世界的前提是心里有想要表達(dá)的內(nèi)容，也就是先要在頭腦里生成意義，只有生成了意義才能夠表達(dá)意義.如果沒有生成，只聽別人講，這時(shí)的“表達(dá)”就只是復(fù)述，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是自己的認(rèn)識(shí).“理解”是概念學(xué)習(xí)必須達(dá)到的目標(biāo)，但是怎樣才能實(shí)現(xiàn)理解？我們的習(xí)慣做法是遵循布魯姆的目標(biāo)分類學(xué)說，從“了解→理解→掌握→應(yīng)用→分析→評(píng)價(jià)”.現(xiàn)象教學(xué)的單元復(fù)習(xí)課則從“直觀感知”“現(xiàn)象解析”“意義生成”“應(yīng)用拓展”逐層推進(jìn)，與布魯姆的目標(biāo)分類學(xué)說有相通之處，亦有較大的不同.

知識(shí)的碎片化現(xiàn)象一直是困擾教師的重要問題，究其根本就是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中缺乏獨(dú)立思考、僅憑記憶模仿學(xué)習(xí)、無法實(shí)現(xiàn)知識(shí)的系統(tǒng)化和整體化.數(shù)學(xué)學(xué)科單元復(fù)習(xí)教學(xué)不應(yīng)只是把目標(biāo)定在整合分散于教材各章節(jié)中的相關(guān)知識(shí)、題型分類講解和“無死角的知識(shí)點(diǎn)覆蓋”訓(xùn)練上.雖然學(xué)生短時(shí)間內(nèi)通過模仿能夠解決大部分習(xí)題，但是不是自我生成的知識(shí)經(jīng)過一段時(shí)間后就只能剩下模糊的印象了.現(xiàn)象教學(xué)視角下的單元復(fù)習(xí)教學(xué)讓學(xué)生直接面對(duì)真實(shí)的世界自由思考，重視對(duì)表象背后數(shù)學(xué)本質(zhì)和規(guī)律的探究過程，和學(xué)生一起完成概念生成的結(jié)構(gòu)化；甚至能夠幫助學(xué)生形成涵括數(shù)學(xué)現(xiàn)象屬性的上位概念.

隨著時(shí)代的推進(jìn)，知識(shí)是不斷更新迭代的，但是對(duì)真實(shí)世界的研究方法是相似的.現(xiàn)象教學(xué)是讓學(xué)生直接面對(duì)世界自由思考的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí).能否在提升創(chuàng)新能力上有所突破？這是值得教育工作者一起努力的研究方向.

參考文獻(xiàn)：

［1］孫四周.把數(shù)學(xué)問題還原為數(shù)學(xué)現(xiàn)象——談“基于活動(dòng)與體驗(yàn)的例題教學(xué)”［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015，54（10）：4145.

［2］孫四周.從三節(jié)“同課異構(gòu)”課看目標(biāo)定位的方法和意義——兼寫一個(gè)“下水教案”［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2014，53（5）：2731.

［3］孫四周.“數(shù)形結(jié)合”與“數(shù)形分離”［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（35）：1.