程博文，公丕鋒，張金鋒，楊遠(yuǎn)貴

二能級(jí)原子與單模光場(chǎng)相互作用公式推導(dǎo)

程博文，公丕鋒，張金鋒，楊遠(yuǎn)貴

（淮北師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 淮北 235000）

Jaynes-Cummings模型；二能級(jí)原子；單模光場(chǎng)

近年來光與物質(zhì)相互作用是一個(gè)非常熱門的研究領(lǐng)域．在涉及到原子和光場(chǎng)相互作用的問題中，最簡(jiǎn)單的模型就是二能級(jí)原子和單模光場(chǎng)的耦合作用模型．在上世紀(jì)60年代，Jaynes和Cummings在研究微波激射時(shí)提出了Jaynes-Cummings 模型（以下簡(jiǎn)稱“J-C模型”）[1]，它是描述二能級(jí)原子系統(tǒng)與單模光場(chǎng)（或一維量子諧振子）相互作用的最簡(jiǎn)單模型．基于腔QED實(shí)驗(yàn)，是從實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)J-C模型的主要方案，給出二能級(jí)原子和光學(xué)腔相互作用的動(dòng)力學(xué)行為及其能譜[2-3]．該模型的哈密頓量具有一個(gè)非常簡(jiǎn)單的形式，如果二原子能級(jí)與驅(qū)動(dòng)場(chǎng)之間保持共振或者接近共振，而其他能級(jí)對(duì)驅(qū)動(dòng)場(chǎng)是失諧的，在這種情況下二能級(jí)原子描述才是有效的．通過一些有效的近似方法使問題進(jìn)一步簡(jiǎn)化，二能級(jí)原子-單模光場(chǎng)相互作用約化為一種能夠得到精確解的模型，原子和光場(chǎng)相互作用的基本特征可以保留．J-C模型為研究原子與機(jī)械模之間的量子糾纏奠定了基礎(chǔ)，量子糾纏在量子通信領(lǐng)域是非常有用的一個(gè)物理資源[4]．左戰(zhàn)春[5]等也研究了關(guān)于二能級(jí)原子與單模光場(chǎng)的三體糾纏態(tài)的演化．在研究光與物質(zhì)相互作用的Rabi模型中，其哈密頓量包含旋波項(xiàng)和反旋波項(xiàng)[6]．J-C模型的哈密頓量是在忽略掉反旋波項(xiàng)的情況下構(gòu)建出來的，它比Rabi模型的哈密頓量少了兩項(xiàng)．本文基于偶極近似的方法推導(dǎo)了二能級(jí)原子與多模光場(chǎng)相互作用的哈密頓量，得到了單個(gè)二能級(jí)原子與單模光場(chǎng)的相互作用模型，即J-C模型．計(jì)算了幾率波函數(shù)的振幅，并得到了相干態(tài)下光子數(shù)概率分布和原子布居數(shù)演化規(guī)律．

1 Jaynes-Cummings模型與其哈密頓量的推導(dǎo)

符合本征值方程

式中

式（10）中哈密頓量可寫為

式（12）的哈密頓量可化為

且泡利算符服從對(duì)易關(guān)系

這種形式的哈密頓描述的是一個(gè)二能級(jí)原子與多模光場(chǎng)相互作用的模型．

該哈密頓是在偶極近似和旋波近似下描述單模光場(chǎng)與一個(gè)二能級(jí)原子的相互作用．這是量子光學(xué)中一個(gè)非常重要的哈密頓量，也就是Jaynes-Cummings模型，是可以獲得精確解的一個(gè)例子．在相互作用繪景下處理起來非常方便，哈密頓量可變?yōu)?/p>

可化為

2 計(jì)算與結(jié)果分析

利用幾率幅的方法，幾率波函數(shù)的運(yùn)動(dòng)方程為

微分方程組（27）（28）是耦合在一起的微分方程組．給定初始條件下是可得到精確解析解的，幾率幅的通解為

把式（32）（33）代入式（36）可得

圖1 在相干態(tài)下，，時(shí)光子數(shù)概率分布

圖2 時(shí)原子布居數(shù)的演化

在半經(jīng)典理論中認(rèn)為在缺乏外加驅(qū)動(dòng)場(chǎng)的情況下，原子處在激發(fā)態(tài)是不能自發(fā)躍遷到基態(tài)的．但式（37）告訴我們?cè)谡婵請(qǐng)鲋性邮强赡茏园l(fā)地從激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)，即為自發(fā)輻射，該輻射是由單模場(chǎng)驅(qū)動(dòng)造成的．關(guān)于原子在真空中有多個(gè)真空模引起的自發(fā)輻射過程的具體研究，在以后的工作中再討論．該推導(dǎo)工作對(duì)物理學(xué)專業(yè)學(xué)生理解量子力學(xué)規(guī)律在量子光學(xué)中的應(yīng)用有一定參考意義．

[1] Jaynes E T，Cummings F W．Comparison of quantum and semi classical radiation theories with application to the beam maser[J]．Proceedings of the IEEE，1963，51（1）：89-109．

[2] Haroche S，Kleppner D．Cavity quantum electrodynamics[J]．PhysToday，1989，42（1）：24-30．

[3] Sorensen A S，van der Wal C H，Childress L I，et al．Capacitive coupling of atomic systems to microscopic conductors[J]．Phy Rev Lett，2004，92（6）：063601．

[4] 廖慶洪，張旗，劉曄．J-C 模型和原子-腔光力學(xué)系統(tǒng)中的糾纏交換[J]．光學(xué)技術(shù)，2017，43（2）：97-99．

[5] 左戰(zhàn)春，夏云杰．Tavis-Cummings模型中三體糾纏態(tài)糾纏量的演化特性[J]．物理學(xué)報(bào)，2003，52（11）：2687-2693．

[6] Rabi I I．On the process of space quantization[J]．Physical Review，1937，51（8）：652．

Formula derivation of the interaction between a two-level atom and single mode optical field

CHENG Bowen，GONG Pifeng，ZHANG Jinfeng，YANG Yuangui

（Department of Physics and Electronic Information，Huaibei Normal University，Huaibei 235000，China）

Jaynes-Cummings model；two-level atom；single mode optical field

1007-9831（2023）12-0055-05

O483

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.12.010

2023-09-15

安徽省高等學(xué)校科學(xué)研究重大項(xiàng)目（2022AH040068）；安徽省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目（S2022103730104）；安徽省教學(xué)示范課理論力學(xué)項(xiàng)目（2020SJJXSFK2143）；安徽省課程思政建設(shè)研究項(xiàng)目（2020kcszyjxm215）

程博文（2003-），男，安徽安慶人，在讀本科生．E-mail：2773154720@qq.com

公丕鋒（1977-），男，山東臨沂人，講師，碩士，從事量子光學(xué)與光催化研究．E-mail：tuhan2010@126.com