陳麗曲，黃介武

對數(shù)正態(tài)分布序列單均值變點的識別和估計

陳麗曲，黃介武

（貴州民族大學 數(shù)據(jù)科學與信息工程學院，貴州 貴陽 550025）

針對數(shù)據(jù)呈現(xiàn)偏態(tài)分布且存在變點的情況，構建對數(shù)正態(tài)分布的單均值變點模型，給出分布的均值單變點模型的似然函數(shù)，并采用極大似然方法和貝葉斯方法對變點位置進行識別和估計．通過模擬比較研究，這兩種方法都能有效地估計變點位置，在標準差和相對誤差準則下，貝葉斯方法比極大似然方法效果更理想．其中共軛先驗分布下的貝葉斯方法較無信息先驗下的貝葉斯方法識別和估計變點位置表現(xiàn)更優(yōu)．

單均值變點；對數(shù)正態(tài)分布；貝葉斯方法；極大似然方法

變點是指一隨機序列數(shù)據(jù)在某一個位置或時間點發(fā)生了分布或數(shù)字特征突然變化的點[1]，如果不考慮對變點進行識別和估計就進行統(tǒng)計分析則很可能導致結果具有誤導性．變點問題多集中于基于正態(tài)分布的變點模型，包括正態(tài)均值、方差變點模型，正態(tài)單變點、多變點模型，正態(tài)線性回歸模型中回歸系數(shù)以及誤差方差的變點模型．文獻[2-4]運用似然比方法和貝葉斯方法詳細討論了一元正態(tài)以及多元正態(tài)均值或方差變點模型、正態(tài)回歸變點模型中回歸系數(shù)變點位置的識別和估計．文獻[5]介紹了正態(tài)以及其他常見變點模型識別和估計的理論和方法，以及變點模型在各領域中的應用．文獻[6]針對具有異質(zhì)方差的正態(tài)模型的多變點估計問題，提出了一種基于貝葉斯模型選擇過程的變點估計方法．趙江南[7]等運用ASAMC方法討論了變點個數(shù)未知情況下正態(tài)分布變點的個數(shù)及位置識別．

針對數(shù)據(jù)呈現(xiàn)偏態(tài)且存在變點的情況，本文建立對數(shù)正態(tài)分布的單均值變點模型，探討極大似然方法和貝葉斯方法在標準差和相對誤差準則下識別和估計變點位置的優(yōu)良性．

1　對數(shù)正態(tài)的單均值變點模型

模型（2）的似然函數(shù)為

2　對數(shù)正態(tài)單均值變點的極大似然方法

3　對數(shù)正態(tài)單均值變點的貝葉斯方法

當使用貝葉斯方法分析問題時，為了獲得更準確和可靠的統(tǒng)計推斷結果，往往需要引入恰當?shù)南闰灧植迹欢?，在實際應用中，有時缺乏關于先驗分布的知識或信息，并且即使擁有這些知識，也可能不足以提供全面的先驗分布．因此，引入無信息先驗分布、共軛先驗分布往往是一種合理可靠的選擇．

3.1　無信息先驗分布

取無信息先驗分布

于是各參數(shù)的聯(lián)合后驗分布為

從而

類似地，有

3.2　共軛先驗分布

從而

類似地，有

4　模擬研究

4.1　對數(shù)正態(tài)單均值變點的極大似然方法數(shù)值模擬

運用R軟件進行對數(shù)正態(tài)分布極大似然方法的隨機模擬，結果見表1．

表1　對數(shù)正態(tài)分布各參數(shù)的極大似然估計

圖1　極大似然估計分布

圖2　極大似然方法下變點k的軌跡

4.2　對數(shù)正態(tài)單均值變點的貝葉斯方法數(shù)值模擬

表2　兩種先驗分布下對數(shù)正態(tài)分布各參數(shù)的貝葉斯估計

表3　兩種先驗分布下不同變點位置的貝葉斯估計

圖3 無信息先驗下的Gibbs抽樣迭代過程及多層迭代鏈軌跡

圖4 共軛先驗下的Gibbs抽樣迭代過程及多層迭代鏈軌跡

4.3　隨機模擬結果分析

4.3.1極大似然方法數(shù)和貝葉斯方法的比較由表1～2可以看出，本文采用的極大似然方法數(shù)和貝葉斯方

5　結語

本文通過構建對數(shù)正態(tài)單均值變點模型，采用極大似然方法和貝葉斯方法探討了數(shù)據(jù)呈現(xiàn)偏態(tài)分布且存在變點的問題．通過研究比較可知，相較于極大似然方法，貝葉斯方法估計變點位置更精準．特別是在共軛先驗分布下對數(shù)正態(tài)單均值變點的貝葉斯方法估計變點位置效果是最優(yōu)的．

[1] PAGE E S．Continuous inspection schemes[J]．Biometrika，1954，41（1/2）：100-115．

[2] CHEN J．Inference About the Change Points in a Sequence of Gaussain Random Vectors Using Information Criterion[D]．Bowling Green：Bowling Green State University，1995．

[3] CHEN J，Gupta A K．Testing and locating variance changepoints with application to stock prices[J]．Journal of The American Statistical Association，1997，92（438）：739-747．

[4] CHEN J，Gupta A K．On change point detection and estimation[J]．Communications in Statistics Simulation and Computation， 2001，30（3）：665-697．

[5] Gurevich G，Vexler A．Retrospective change point detection：from parametric to distribution free policies[J]．Communications in Statistics Simulation and Computation，2010，39（5）：899-920．

[6] KANG S G，Lee W D，Kim Y．Bayesian Multiple Change-Points Detection in a Normal Model with Heterogeneous Variances[J]．Computational Statistics，2021，36（12）：1365-1390．

[7] 趙江南，周菊玲．正態(tài)分布序列變點識別問題探討[J]．統(tǒng)計與決策，2019，35（15）：13-17．

[8] Fisher R A．Statistical Methods in Scientific Inference[M]．London：Oliver and Boyd，1956．

[9] Bickel P J，Doksum K A．Mathematical Statistics：Basic and Selected Topics（Vol 1）[M]．San Francisco：Holden-Day，1977．

[10] ZHANG Fengqing，GOU Jiangtao．A unified framework for estimation in lognormal models[J]．Journal of Business & Economic Statistics，2022，40（4）：1583-1595．

[11] Lyu J，Nadarajah S．Discrete lognormal distributions with application to insurance data[J]．International Journal of System Assurance Engineering and Management，2021（1）：1-15．

[12] 陶鶴，劉偉，付晶園．對數(shù)正態(tài)分布可靠性模型及應用[J]．統(tǒng)計與決策，2019，35（3）：89-92．

[13] Jandhyala V K, Fotopoulos S B. Estimating the unknown change point in the parameters of the lognormal distribution[J]. Environmetrics，2007，18（2）：141-155.

Identification and estimation of single mean change points in lognormal distribution sequences

CHEN Liqu，HUANG Jiewu

（School of Data Science and Information Engineering，Guizhou Minzu University，Guiyang 550025，China）

In response to the situation where the data presents a skewed distribution and there are change points，a single mean change point model with a lognormal distribution is constructed．The likelihood function of the mean single change point model for this distribution is given，and the maximum likelihood method and Bayesian method are used to identify and estimate the position of the change points．Through simulation and comparative research，both methods can effectively estimate the position of the change point．Under the criteria of standard deviation and relative error，the Bayesian method is more effective than the maximum likelihood method．The Bayesian method under conjugate prior distribution performs better in identifying and estimating the position of change points compared to the Bayesian method without prior information.

single mean change point；lognormal distribution；Bayesian method；maximum likelihood method

1007-9831（2023）12-0015-07

O212.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.12.003

2023-05-28

貴州省科技計劃基金項目（黔科合基礎[2017]1083號）；貴州省教育廳自然科學研究項目（黔教技[2022]015號）

陳麗曲（1997-），女，貴州道真人，在讀碩士研究生，從事統(tǒng)計模型與統(tǒng)計計算研究．E-mail：2290167300@qq.cm

黃介武（1977-），男，湖南益陽人，教授，博士，從事統(tǒng)計模型與統(tǒng)計計算研究．E-mail：846221886@qq.com