趙江南， 龐 冬， 樊森德

(新疆農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830052)

引 言

由于變點(diǎn)問(wèn)題涉及經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、金融、工程等很多領(lǐng)域，所以估計(jì)一個(gè)隨機(jī)序列中變點(diǎn)的位置是近年來(lái)統(tǒng)計(jì)學(xué)的熱點(diǎn)研究問(wèn)題之一。研究變點(diǎn)問(wèn)題的方法有很多種，文獻(xiàn)[1-2]用MCMC方法研究了IIRCT情況下二項(xiàng)分布、威布爾分布的多變點(diǎn)問(wèn)題，文獻(xiàn)[3]用IBF算法研究了正態(tài)分布均值單變點(diǎn)的識(shí)別問(wèn)題等等。但對(duì)獨(dú)立二項(xiàng)分布序列變點(diǎn)的研究的還比較少。本文運(yùn)用IBF算法研究二項(xiàng)分布的變點(diǎn)問(wèn)題，給出了識(shí)別變點(diǎn)個(gè)數(shù)和通過(guò)IBF算法識(shí)別變點(diǎn)具體位置的步驟，隨機(jī)模擬的結(jié)果表明估計(jì)值較為精確。

1 獨(dú)立二項(xiàng)分布序列變點(diǎn)模型

考慮如下具有獨(dú)立二項(xiàng)分布序列變點(diǎn)模型，假設(shè)各yi相互獨(dú)立

假設(shè)ti已知，當(dāng)θ1≠θ2≠.....≠θk+1(未知)時(shí)，我們稱此模型為一個(gè)具有k個(gè)變點(diǎn)且變點(diǎn)位置為ri,(i=1,2,..,k)的獨(dú)立二項(xiàng)分布序列變點(diǎn)模型。那么，我們的問(wèn)題是如何判斷序列{yi}(i=1,2,..,n)中的變點(diǎn)個(gè)數(shù)k，以及確定變點(diǎn)的位置ri,(i=1,2,..,k)。

下面通過(guò)IBF方法估計(jì)變點(diǎn)的位置ri,(i=1,2,..,k)

2 IBF方法

在應(yīng)用IBF算法估計(jì)變點(diǎn)的位置ri,(i=1,2,..,k)之前，首先介紹IBF算法。Tian通過(guò)一種非迭代Bayes抽樣方法，簡(jiǎn)稱IBF方法，來(lái)從一組觀測(cè)數(shù)據(jù)中推導(dǎo)出缺失數(shù)據(jù)的條件分布，然后從完整數(shù)據(jù)的后驗(yàn)分布中提取樣本，進(jìn)而判決缺失數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分布。

(1)

對(duì)于任意θ0∈S(θ|Y)及所有Z∈S(Z|Y)成立。證明見(jiàn)[10]。其中f(Z|Y)為缺失數(shù)據(jù)的后驗(yàn)分布，f(Z|Y,θ)為缺失數(shù)據(jù)的條件后驗(yàn)分布，f(θ|Y,Z)為參數(shù)θ的后驗(yàn)分布。(1)式表明，缺失數(shù)據(jù)的后驗(yàn)分布f(Z|Y)正比于f(Z|Y,θ)與f(θ|Y,Z)的商。因此要想得到缺失數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分布，只需得到f(Z|Y,θ)及f(θ|Y,Z)即可。

3 通過(guò)IBF方法識(shí)別變點(diǎn)位置ri,(i=1,2,..,k)

(2)

(3)

又因?yàn)閞0=0，rk+1=n，所以

(4)

將變點(diǎn)r看做(1)式中的缺失數(shù)據(jù)，那么由(1)式得

(5)

基于(5)式，我們就得到了變點(diǎn)的位置的后驗(yàn)分布，可以依照此式對(duì)變點(diǎn)位置做精確的統(tǒng)計(jì)推斷。下面我們通過(guò)Bayes因子討論如何確定序列中變點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

4 通過(guò)Bayes因子確定變點(diǎn)個(gè)數(shù)k

根據(jù)文獻(xiàn)[12]，Bayes因子定義如下：

Jeffreys在1961年的附錄B中給出了用Bayes因子進(jìn)行模型選擇的一般準(zhǔn)則，他指出當(dāng)BFs+1,s落在(1,3.2),(3.2,10),(10,100),(100,+)這四個(gè)區(qū)間時(shí)分別代表s與s+1間的差別不值一提、較為肯定支持s+1、強(qiáng)烈的支持s+1、以及較為強(qiáng)烈的支持s+1。

5 隨機(jī)模擬

經(jīng)計(jì)算得L(Y|M1)=3.334×10(-75)，L(Y|M0)=9.750×10-88，所以BF1,0=3.420×1012，因此，我們判斷模型為具有一個(gè)變點(diǎn)的獨(dú)立二項(xiàng)分布序列。再由(1)～(5)得變點(diǎn)在各處的概率分布見(jiàn)表2(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)。

表1 模型一隨機(jī)變量序列

表2 變點(diǎn)r的分布律

表中帶*為概率最大的變點(diǎn)位置，即判斷出變點(diǎn)位置r=10。

第二個(gè)變點(diǎn)模型為

表3 模型二隨機(jī)變量序列

表4 變點(diǎn)聯(lián)合分布律

續(xù)表4

r2r1123456789101112131415161718170.0000.0000.0000.0000.0080.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000——180.0000.0000.0000.0010.0750.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000—190.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.000

表中帶*為概率最大的變點(diǎn)位置，即判斷出變點(diǎn)位置 r1=5,r2=15。

6 實(shí)證分析

6.1引用[7]中Hanify在1981年分析的數(shù)據(jù)：1960年到1976年新西蘭北部某地區(qū)懷孕第一個(gè)月出現(xiàn)畸形足的人數(shù)xi及當(dāng)年新生兒總數(shù)ni(見(jiàn)表5)。

表5 1960年到1976年某地區(qū)懷孕第1個(gè)月出現(xiàn)畸形足的人數(shù)及新生兒總數(shù)

接下來(lái)通過(guò)IBF方法，為了簡(jiǎn)化計(jì)算量，首先將數(shù)據(jù)xi及ni取常用對(duì)數(shù)，得到BF10=562.621，所以選擇單變點(diǎn)二項(xiàng)序列模型。然后由(1)～(5)得后驗(yàn)概率最大的點(diǎn)為x6，即1965年，后驗(yàn)概率為0.193，結(jié)合Worsley在1983年分別用似然比法和CUSUM檢驗(yàn)法得到的變點(diǎn)位置在第6個(gè)，結(jié)果基本一致。事實(shí)上，在第6個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)即1965年也是在該地區(qū)首次發(fā)現(xiàn)使用2,4,5-T除草劑的年份，此后出現(xiàn)畸形足新生兒比率明顯升高。由此可以推斷，該種除草劑與出現(xiàn)畸形足患兒有很大相關(guān)性。

6.2引用Smith[12]在1982年分析的數(shù)據(jù)，在13個(gè)按時(shí)間順序排列的中世紀(jì)手稿中觀察到的兩種代詞詞尾的出現(xiàn)次數(shù)。一套手稿中的13個(gè)文件被認(rèn)為是多個(gè)作者的工作，因?yàn)槊總€(gè)文件中每個(gè)結(jié)束的比例似乎在順序上有所不同。因此，假設(shè)這些文檔可以分為時(shí)間上連續(xù)的階段，每個(gè)階段都有一個(gè)獨(dú)特的結(jié)尾比例，例如，對(duì)應(yīng)于不同的抄寫(xiě)員，一個(gè)離散多變點(diǎn)模型適用于這些數(shù)據(jù)，y1i,y2i,ni分別代表第i個(gè)文件里兩種代詞詞尾的出現(xiàn)次數(shù)以及總數(shù)數(shù)據(jù)如表6。

表6 中世紀(jì)手稿中觀察到的兩種代詞詞尾的出現(xiàn)次數(shù)

i1234567yi12263124283439y2i91013624119ni21364430524548i8910111213y1i464119171716y2i1173344ni574822202120

首先考慮三個(gè)模型分別是沒(méi)有變點(diǎn)的獨(dú)立二項(xiàng)序列模型；含有一個(gè)變點(diǎn)的獨(dú)立二項(xiàng)序列模型以及含有兩個(gè)變點(diǎn)的獨(dú)立二項(xiàng)序列模型。其中BF1,0=212.064；BF2,0=673.952；BF2,1=3.178，再綜合前人結(jié)論，因此我們選擇含兩個(gè)變點(diǎn)的獨(dú)立二項(xiàng)序列模型。然后由(1)～(5)得到概率最大的變點(diǎn)位r1=4，r2=5，最大概率為0.328。這與Smith[12]以及D.A.Stephens[9]所得結(jié)果一致，因此可以判斷此部手稿為三名抄寫(xiě)員抄寫(xiě)。

7 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)Bayes因子以及IBF方法實(shí)現(xiàn)了對(duì)獨(dú)立二項(xiàng)分布序列變點(diǎn)模型的變點(diǎn)個(gè)數(shù)和變點(diǎn)位置的估計(jì)。給出了推導(dǎo)的詳細(xì)步驟，并通過(guò)隨機(jī)模擬驗(yàn)證了估計(jì)的準(zhǔn)確性，再結(jié)合實(shí)例，將分析應(yīng)用到了現(xiàn)實(shí)生活，實(shí)現(xiàn)了對(duì)兩個(gè)現(xiàn)實(shí)中存在的獨(dú)立二項(xiàng)分布序列變點(diǎn)模型的估計(jì)。結(jié)果顯示，估計(jì)精確，得到的結(jié)果與前人一致。