徐兵 張建建 許會芳 劉曉偉 孫文洋

摘?要：Mathematica軟件在一些需要完成數(shù)據(jù)處理和仿真模擬等任務(wù)的理工科專業(yè)課程中被廣泛應(yīng)用。在大學(xué)一年級的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生使用Mathematica軟件進(jìn)行簡單的數(shù)據(jù)處理和仿真模擬，不僅有利于加深學(xué)生對物理知識的理解，還可以顯著提升他們的計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力，從而為后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)培養(yǎng)編程思維和能力。本文以四個大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)為例，詳細(xì)介紹了Mathematica軟件在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的畫圖、數(shù)據(jù)擬合、數(shù)值計(jì)算和仿真模擬等功能。

關(guān)鍵詞：Mathematica軟件；大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)；功能示例；物理教學(xué)

Mathematica是一款由Wolfram?Research公司開發(fā)的科學(xué)計(jì)算軟件，它已成為世界上使用最廣泛的數(shù)學(xué)計(jì)算軟件之一，并在很多前沿行業(yè)的科學(xué)計(jì)算、仿真、建模等工作中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。

近年來，Mathematica軟件已經(jīng)被應(yīng)用到大學(xué)物理理論課教學(xué)過程中［1］。大學(xué)物理教師利用Mathematica軟件進(jìn)行仿真模擬演示可以幫助學(xué)生建立起清晰直觀的物理圖像，從而更好地理解所學(xué)知識，這將對提高教學(xué)效果起到積極的作用。其實(shí)，教師在大學(xué)物理課程教學(xué)中除了利用Mathematica軟件進(jìn)行仿真模擬演示，也可以將其應(yīng)用到大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中［24］。在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，教師可以向?qū)W生簡要介紹Mathematica軟件的使用方法，指導(dǎo)學(xué)生使用該軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。這將充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升他們的科學(xué)探索能力。此外，對于一些理工科專業(yè)，如電子信息工程等，學(xué)生在完成大學(xué)物理課程學(xué)習(xí)之后需要學(xué)習(xí)一些比較復(fù)雜的科學(xué)計(jì)算專業(yè)課程或者進(jìn)行一些仿真模擬實(shí)驗(yàn)。如果學(xué)生在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程中基本掌握了Mathematica軟件的使用方法，學(xué)生可以直接使用Mathematica軟件完成一些在后續(xù)課程中遇到的復(fù)雜計(jì)算和仿真模擬。

本文將通過舉例詳細(xì)介紹Mathematica軟件在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的畫圖、數(shù)據(jù)擬合、數(shù)值計(jì)算和仿真模擬等功能。

1?Mathematica軟件在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的功能示例

1.1?畫圖功能

Mathematica軟件有非常強(qiáng)大的畫圖功能，人們可以根據(jù)自身需要直接調(diào)用其中的庫函數(shù)畫出精美的圖形。在處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時，經(jīng)常用到的畫圖函數(shù)包括：可以畫出給定的函數(shù)曲線的Plot函數(shù)，繪制點(diǎn)集的ListPlot函數(shù)，以及繪制點(diǎn)集的線條ListLinePlot函數(shù)。這里我們以使用ListLinePlot函數(shù)處理《霍爾效應(yīng)法測定螺線管軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度分布》實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)為例［5］，介紹Mathematica畫圖功能在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用。

螺線管是由繞在圓柱面上的導(dǎo)線構(gòu)成的。如果導(dǎo)線環(huán)繞的密度很大，我們可以把螺線管看成是一列共軸的圓形線圈的并排組合。根據(jù)理論計(jì)算，這種長直螺線管腔中部的磁場是均勻的，而在靠近兩端口處會呈現(xiàn)明顯的不均勻性。在實(shí)驗(yàn)中，我們在設(shè)定霍爾電流IH=5.00mA和線圈的勵磁電流IM=500mA后，將霍爾器件從螺線管的一端（x=0cm）逐漸移到另一端（x=30cm），并運(yùn)用對稱測量法依次得到在不同位置處的霍爾電壓UH。最后，根據(jù)計(jì)算公式B=UHKHIH，我們得到了螺線管在軸線上特定點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度，如表1所列。

我們以x為橫軸，磁感應(yīng)強(qiáng)度B為縱軸，利用Mathamatica列出表1中數(shù)據(jù)并將其連接成曲線。用到的程序命令如下：

In［1］：=x={0，2，4，6，8，10，12，14，15，16，18，20，22，24，26，28，30}；

B={1.01，4.12，6.51，6.98，7.15，7.19，7.21，7.22，722，7.22，7.21，7.18，7.16，6.97，6.42，3.98，0.99}；

In［3］：=Data=Table［{x［［i］］，B［［i］］}，{i，1，Length［x］}］；

In［5］：=ListLinePlot［Data，Mesh→Full，F(xiàn)rame→True，F(xiàn)rameLabel→{"X（cm）"，"B（mT）"}，PlotRange→{0.5，75}，PlotTheme→"Detailed"］

上述程序中In［i］：=表示第i個輸入命令。運(yùn)行該程序，我們可以得到長直螺線管的軸向磁場分布，如圖1所示。

圖1?螺線管軸向磁感應(yīng)強(qiáng)度分布曲線

1.2?數(shù)據(jù)擬合功能

學(xué)生在處理物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時會遇到從測量數(shù)據(jù)擬合出特定函數(shù)形式的情況，例如《光電效應(yīng)法測量普朗克常量》和《偏振光的觀測與應(yīng)用》等。這時，學(xué)生可以使用Mathematica軟件中的功能豐富的Fit、FindFit和FittedModel等命令完成數(shù)據(jù)擬合。

本文，我們以《光電效應(yīng)法測量普朗克常量》實(shí)驗(yàn)為例介紹Fit命令的使用方法。該實(shí)驗(yàn)中，在利用光電效應(yīng)試驗(yàn)儀測得如表2中所示的五組不同入射光（波長分別為λi）對應(yīng)的截止電壓U0i后，我們需要利用一次函數(shù)U0=he（ν-ν0）推導(dǎo)出普朗克常量h。具體地講，使用五組U0i-νi數(shù)據(jù)擬合出U0-ν之間滿足的一次性函數(shù)關(guān)系及其斜率k并由h=k×e計(jì)算出普朗克常量h。

Mathamatica程序如下：

In［1］：=λi={365.0，404.7，435.8，546.1，577.0}；

In［2］：=U0i={1.780，1.456，1.220，0.652，0.550}；

In［3］：=νi=（2.99792458*108）/（λi*10-9）

Out［3］：={8.213492×1014，7.407770150728935×1014，6.879129371271225×1014，5.489698919611792×1014，5195709844020797×1014}

In［4］：=data=Table［{νi［［j］］，U0i［［j］］}，{j，1，Length［λi］}］；

In［5］：Fit［data，{1，ν}，{ν}］

Out［5］：-1.59386+4.10637×10-15ν

In［6］：h=4.10637*10-15*1.602*10-19

Out［6］：6.5784*10-34

In［7］：Abs［（%-6.626*10-34）/（6.626*10-34）］

Out［7］：0.00718311

上述程序中Out［i］：=表示第i個輸入命令運(yùn)行后的輸出結(jié)果。通過運(yùn)行該程序，我們可以直接得到不同波長入射光的頻率（如Out［3］所示）以及通過擬合測量數(shù)據(jù)得到的U0-ν一次函數(shù)關(guān)系（如Out［5］所示）。最后通過計(jì)算得到普朗克常量h的測量值（如Out［6］所示）及其相對誤差（如Out［7］所示）。

1.3?數(shù)值計(jì)算功能

Mathematica軟件的數(shù)值計(jì)算能力十分強(qiáng)大，它內(nèi)嵌幾千個函數(shù)，可以滿足多學(xué)科中對大規(guī)模復(fù)雜計(jì)算的需求。我們可以使用Mathematica軟件完成數(shù)據(jù)量繁雜的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理。本文以《光的等厚干涉現(xiàn)象與應(yīng)用——牛頓環(huán)的測定》為例介紹Mathematica在處理大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理和數(shù)值計(jì)算方面的應(yīng)用。

在該實(shí)驗(yàn)中，我們將通過測量牛頓環(huán)計(jì)算出平凸透鏡的曲率半徑R。通過調(diào)節(jié)牛頓環(huán)儀觀測到清晰的牛頓環(huán)圖像后，我們將十字叉絲水平線的方向與讀數(shù)顯微鏡移動方向平行并旋轉(zhuǎn)讀數(shù)輪獲得第m暗環(huán)對應(yīng)的位置。表3匯總了利用波長λ=589.3nm的單色光進(jìn)行實(shí)驗(yàn)獲得的觀測數(shù)據(jù)。

利用表3中的測量數(shù)據(jù)我們可以計(jì)算出第m環(huán)的直徑dm，然后利用計(jì)算公式：R=dm2-dn24（m-n）λ得到五組R的測量值，最后我們對其取平均得到平凸透鏡的曲率半徑R的最終測量結(jié)果。在此過程中，由于數(shù)據(jù)量較大，計(jì)算過程也比較多，我們可以使用Mathematica程序進(jìn)行數(shù)據(jù)的處理并得到最終的計(jì)算結(jié)果。詳細(xì)的程序如下：

In［1］：=DataLm1={21.859，21.797，21.738，21.668，21.585}；

DataRm1={14.382，14.473，14.555，14.608，14.689}；

In［3］：=DataLm2={14.380，14.453，14.528，14.609，14.679}；

DataRm2={21.856，21.789，21.722，21.648，21.580}；

In［5］：=DataLn1={21.102，21.012，20.918，20.815，20.718}；

DataRn1={15.175，15.286，15.351，15.459，15.547}；

In［7］：=DataLn2={15.151，15.243，15.331，15.420，15.523}；

DataRn2={21.082，21.002，20.910，20.815，20.712}；

In［9］：=dm=（Abs［DataLm1-DataRm1］+Abs［DataLm2-DataRm2］）/2；

In［10］：=dn=（Abs［DataLn1-DataRn1］+Abs［DataLn2-DataRn2］）/2；

In［11］：=Ri=（dm2-dn2）/（4*10*589.3*106）；

In［12］：=MR=Mean［Ri］

Out［12］：=879.604

通過運(yùn)行上述程序，我們可以很快得到本次實(shí)驗(yàn)我們測得的平凸透鏡的曲率半徑R=879.604mm。

1.4?仿真模擬功能

在《示波器的使用》實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生需要學(xué)會用示波器觀察“拍”效應(yīng)波形和李薩如圖形。為了讓學(xué)生更加清晰地理解波形的產(chǎn)生原理，我們可以使用Mathematica軟件實(shí)現(xiàn)簡諧振動合成的仿真模擬。這里我們以兩個相互垂直的簡諧振蕩的合成為例，介紹李薩如圖形的產(chǎn)生過程。以下是Mathematica程序命令：

In［1］：=Manipulate［ParametricPlot［{A1Cos［ω1t+10］，A2Cos［ω2t+20］}，{t，0，20Pi}，

PlotRange→1.05，PerformanceGoal→"Quality"，AxesLabel→{"x/cm"，"y/cm"}］，

Style［"Vertical："，Bold，Medium］，

Dynamic［ParametricPlot［{A1Cos［ω1t+10］，t}，{t，0，2?Pi}，ImageSize→100，AspectRatio→1，PlotRange→{{-1，1}，{0，2?Pi}}］］，{{ω1，2，"Frequency?ω1"}，1，4}，{{A1，1，"Amplitude?A1"}，0，1}，{{10，0，"Phase?10"}，0，2?Pi}，

Delimiter，Style［"Horizontal："，Bold，Medium］，

Dynamic［Plot［A2Cos［ω2t?+20］，{t，0，2?Pi}，ImageSize→100，AspectRatio→1，PlotRange→1］］，{{ω2，3，"Frequency?ω2"}，1，4}，{{A2，1，"Amplitude?A2"}，0，1}，{{20，Pi/4，"Phase?20"}，0，2?Pi}，ControlPlacement?→Left］

通過運(yùn)行上述Mathematica程序命令，我們可以得到兩個簡諧振動x=A1cos（ω1t+φ10）和y=A2cos（ω2t+φ20）在設(shè)置為振幅相等、頻率比為2∶3、初始相位差為π/4時合振動的軌跡，如圖2所示。同時，我們可以改變兩個簡諧振動的振幅、頻率和初始相位得到更多形式的李薩如圖形。

2?結(jié)論

基于Mathematica在數(shù)值計(jì)算、繪圖和動畫顯示等方面的強(qiáng)大能力，我們可以使用Mathematica完成大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)處理和仿真模擬等實(shí)驗(yàn)過程。這樣，在輔助完成實(shí)驗(yàn)任務(wù)的同時，將加深學(xué)生對物理知識的理解，提高他們的科學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。此外，對于一些對計(jì)算機(jī)使用要求比較高的專業(yè)學(xué)生而言，在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中使用Mathematica軟件輔助完成實(shí)驗(yàn)，從大一年級開始鍛煉他們應(yīng)用計(jì)算機(jī)的能力，有利于培養(yǎng)他們的編程思維和能力，從而為后續(xù)的專業(yè)課學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。因此，作者認(rèn)為大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教師應(yīng)該在教學(xué)過程中加強(qiáng)對學(xué)生使用Mathematica等計(jì)算機(jī)軟件的示范和引導(dǎo)。

參考文獻(xiàn)：

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［3］胡宗元.基于Mathematica的大學(xué)物理模擬實(shí)驗(yàn)［J］.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2015，28（04）：9295.

［4］王高亮，孟明，王強(qiáng).基于Mathematica的楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)仿真［J］.周口師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2018，35（05）：4244.

［5］章毛連.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)［M］.北京：中國農(nóng)業(yè)出版社，2014.

基金項(xiàng)目：安徽科技學(xué)院教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（No.X2021036；No.X2021077；No.X2021034）

作者簡介：徐兵（1991—?），男，漢族，山東濱州人，博士，講師，研究方向：引力理論與宇宙學(xué)。