婁凌翔

【摘? 要】? 化歸思想是對(duì)幾何形狀求解的一種重要方法，適用于各種不同的幾何問(wèn)題.本文對(duì)化歸思想在初中數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中的具體體現(xiàn)進(jìn)行梳理，以具體例子為依據(jù)，介紹化歸思想在初中幾何中的應(yīng)用方法，并強(qiáng)調(diào)其在初中數(shù)學(xué)中的重要性，希望可以幫助初中學(xué)生更好地理解和應(yīng)用化歸思想.

【關(guān)鍵詞】? 化歸思想；初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)

1? 化歸思想在“圖形與幾何”解題中的應(yīng)用

1.1? 平行線的性質(zhì)

平行線的性質(zhì)處在七年級(jí)下冊(cè)的第五章，平行線的知識(shí)可以說(shuō)是后續(xù)幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識(shí)，三角形內(nèi)角和定理、平行四邊形性質(zhì)、相似三角形等都運(yùn)用了平行線的性質(zhì).在難以解決這些問(wèn)題時(shí)，可嘗試將其轉(zhuǎn)化為平行線問(wèn)題.在平行線性質(zhì)的應(yīng)用中亦蘊(yùn)含化歸的思想.

例1? 如圖1，，若，，則

圖1

解析? 作，

因?yàn)椋?/p>

根據(jù)平等的傳遞性，所以，

所以，，

又因?yàn)?，?/p>

所以.

圖2

分析? 從所給圖形上看，沒(méi)有一條直線截AB與CD，所以無(wú)法直接運(yùn)用平行線的相關(guān)性質(zhì).故需使用構(gòu)造法構(gòu)造出“兩條直線被第三條直線所截”的基本圖形后，才能運(yùn)用平行線的性質(zhì).本題轉(zhuǎn)化是通過(guò)作，根據(jù)平行線的定理推論可知，由此構(gòu)造出了直線AB，EF被BE所截，EF，CD被EC所截，這樣就將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，可使用平行線的性質(zhì)解決問(wèn)題.此外，本題還有另一種思路：直接構(gòu)造與AB，CD都相交的截線.但這種思路需用到三角形的內(nèi)角和，相較于本題的解題方法更復(fù)雜.

從分析過(guò)程中我們可以看出，問(wèn)題的解決有多種轉(zhuǎn)化的思路，但要提高解題的效率就需要找到最簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化方式.這離不開(kāi)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)技能和化歸思想方法的掌握和靈活運(yùn)用.

2.2? 全等三角形

平行線的性質(zhì)在八年級(jí)上冊(cè)的第二章，在研究全等三角形時(shí)，通過(guò)借助輔助線將一個(gè)三角形劃分為若干個(gè)部分，然后用這些部分來(lái)構(gòu)造另一個(gè)全等的三角形，以全等三角形作為解題的突破點(diǎn).

例2? 如圖3，已知在中，，D為AB上的一點(diǎn)，E為AC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接DE交BC于G，，求證：.

圖3

證明? 過(guò)點(diǎn)D作交BC于點(diǎn)F，

所以，

又因?yàn)?，?/p>

所以，

所以.

因?yàn)椋?/p>

所以，

因?yàn)椋?/p>

所以，

所以，

所以，

所以，得證.

分析? 因?yàn)楸绢}要證明，但根據(jù)圖形可以發(fā)現(xiàn)BD和CE這二者沒(méi)有太多的聯(lián)系，仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)可以通過(guò)構(gòu)建全等三角形即可解得.

2.3? 多邊形的內(nèi)角和

多邊形內(nèi)角和編排在八年級(jí)上冊(cè)第十一章.多邊形內(nèi)角和及有關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)基于三角形內(nèi)角和知識(shí)，借助作輔助線將多邊形劃分割為多個(gè)三角形，將求多邊形內(nèi)角和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求多個(gè)三角形內(nèi)角總和，體現(xiàn)了化歸思想.

多邊形內(nèi)角和的公式的推導(dǎo)如圖4所示.

圖4

通過(guò)觀察規(guī)律可發(fā)現(xiàn)：從一個(gè)頂點(diǎn)引對(duì)角線，能把邊形分成個(gè)三角形，個(gè)三角形的內(nèi)角總和即為邊形的內(nèi)角和，即邊形的內(nèi)角和等于.

例3? 如圖5，五邊形ABCDE中，∠1，∠2，∠3分別是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，則等于? ? .

圖5

解析? 這道題是一個(gè)較為綜合性的題目，包含了多邊形內(nèi)角和與平行線相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，我們需要結(jié)合圖形仔細(xì)觀察題干中所給條件，提煉出關(guān)鍵信息.

由五邊形ABCDE可知內(nèi)角和為，已知AB∥CD，由平行線同旁內(nèi)角的性質(zhì)可知：.

由此可將求多邊形外角和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求多邊形內(nèi)角和的問(wèn)題.可得到.

2.4? 矩形性質(zhì)與判定的應(yīng)用

矩形性質(zhì)與判定編排在八年級(jí)下冊(cè)第十八章.在研究平行四邊形問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)平行四邊形的性質(zhì)同樣可以通過(guò)三角形的全等形來(lái)證明.所以，我們常將其化歸為全等三角形問(wèn)題來(lái)研究.矩形是一個(gè)角是直角的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì).因此，在研究矩形時(shí)，常常將其化歸為全等三角形問(wèn)題進(jìn)行研究.

例4? 如圖6，在四邊形ABCD中，，垂足為點(diǎn)E，求證：.

圖6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?圖7

證明? 如圖7，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F，

因?yàn)椋?/p>

所以，

因?yàn)椋?/p>

所以，

所以.

在和中，

所以，

又因?yàn)?，，?/p>

所以四邊形AEFB是矩形，

所以，

所以.

分析? 在上述證明過(guò)程中，主要采用構(gòu)造法對(duì)圖形進(jìn)行幾何變換.通過(guò)作輔助線構(gòu)造全等三角形，化隱為顯，將證明線段相等的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明三角形全等及矩形對(duì)邊相等.然后通過(guò)全等三角形的性質(zhì)得到邊與邊之間的相等關(guān)系.

3? 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)問(wèn)題的步步轉(zhuǎn)化無(wú)不遵循著化歸思想，利用化歸思想將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、未知問(wèn)題熟悉化、抽象問(wèn)題具體化是數(shù)學(xué)解題的捷徑之一.因此，在初中階段及時(shí)培養(yǎng)學(xué)生掌握基本知識(shí)技能，滲透數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生將化歸思想內(nèi)化為獨(dú)立獲得知識(shí)和解決問(wèn)題的能力就尤為關(guān)鍵.