趙黃婧

【摘? 要】? 平面幾何是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等素養(yǎng)的良好素材.探索解題策略，掌握基本模型，才能提高解題能力.本文以2022年江蘇省無(wú)錫市中考數(shù)學(xué)試題的第27題為例，探究解題方法，總結(jié)高頻易錯(cuò)點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)教學(xué)啟示，進(jìn)一步促進(jìn)教師和學(xué)生的教與學(xué).

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué)；一題多解；解題教學(xué)

1? 試題呈現(xiàn)

例題? 如圖1，已知四邊形ABCD為矩形，AB=2，BC=4，點(diǎn)E在BC上，CE=AE，將△ABC沿AC翻折到△AFC，連接EF．

（1）求EF的長(zhǎng)；

（2）求sin∠CEF的值．

2? 思路分析

2.1? 利用已知三角形，求線(xiàn)段長(zhǎng)度

在△AEF中求EF，需證明∠EAF=90°；在△ABE中勾股定理，求AE；在△AEF中勾股定理，求EF.其中，證明∠EAF=90°有多種方法.

解法1? “結(jié)合角平分線(xiàn)與等腰三角形”.

由翻折得∠AFC=90°，∠ACF=∠ACB，

由CE=AE得∠ACB=∠CAE，

故∠ACF=∠CAE，AE∥CF.

故∠EAF=90°.

解法2? “轉(zhuǎn)化”.

由翻折∠CAF=∠CAB，

由CE=AE得∠ACB=∠CAE，

∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠CAB+∠ACB=90°.

解法3? “設(shè)未知數(shù)”.

設(shè)∠ACF =∠ACB =∠CAE=x°，

∠CAF = 90°-x°，

故∠EAF =∠CAF+∠CAE= 90°-x°+ x°= 90°.

2.2? 構(gòu)造直角三角形，求三角函數(shù)值

作FH⊥BC，交BC于H，只要求FH.

解法1? “勾股定理”.

設(shè)EH=y，在Rt△CFH和Rt△EFH中，兩次利用勾股定理表示FH，聯(lián)立方程組.或作CH⊥EF，交EF于H，用類(lèi)似方法表示CF.

解法2? “等積轉(zhuǎn)化”.

由AE∥CF得，S△CEF=S△AFC，CE·FH=AF·CF，直接求FH.

解法3? “割補(bǔ)法”.

S△CEF=S△ABC+S△AFC-S△AEF-S△ABE，再求FH.

2.3? 遇到直角，構(gòu)造K型相似

如圖2，由翻折∠AFC=90°，延長(zhǎng)CD，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥CD交CD于M，延長(zhǎng)MF與BA交于點(diǎn)N.易證△ANF∽△FMC，設(shè)AN=MD=x，由相似可求x，以及相關(guān)線(xiàn)段長(zhǎng)，再在Rt△EFH中，利用勾股定理.

構(gòu)造K型相似，也可設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，列二元一次方程組.

2.4? 遇到矩形，建立直角坐標(biāo)系

如圖3，以AB為x軸，AD為y軸建立坐標(biāo)系.易求AC表達(dá)式.由翻折，AC垂直平分BF，KBF· KAC=-1，結(jié)合點(diǎn)B坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式求BF表達(dá)式，聯(lián)立方程，求交點(diǎn)坐標(biāo).

G為BF中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可求點(diǎn)F坐標(biāo).在△ABE中用勾股定理，求BE，再用兩點(diǎn)間距離公式求EF.

3? 解題思考

3.1? 高頻易錯(cuò)點(diǎn)

（1）未證明∠EAF=90°，直接用勾股定理，思維不嚴(yán)謹(jǐn)；

（2）誤以為△AEF為等腰三角形，從而EF=，沒(méi)有注意審題；

（3）將正弦值誤算成tan∠CEF，由tan =得=30°，基本知識(shí)不過(guò)關(guān)；

（4）結(jié)果化簡(jiǎn)錯(cuò)誤：，.

結(jié)果正確未化簡(jiǎn)，EF=，sin∠CEF=，sin∠CEF=，計(jì)算能力薄弱.

3.2? 培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

（1）考查運(yùn)算能力

新課標(biāo)指出，運(yùn)算能力主要是根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力，有助于形成規(guī)范化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度.二次根式的計(jì)算，很多學(xué)生出錯(cuò)，原因是平時(shí)習(xí)慣于聽(tīng)思路問(wèn)答案，不動(dòng)手計(jì)算，所以要養(yǎng)成勤動(dòng)手的習(xí)慣.

（2）考查幾何直觀

新課標(biāo)指出，幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣，有助于把握問(wèn)題的本質(zhì)，明晰思維的路徑.初中階段許多數(shù)學(xué)內(nèi)容都離不開(kāi)“數(shù)”與“形”的特質(zhì).利用幾何直觀，把握?qǐng)D形本質(zhì)特征，探索解決問(wèn)題的最佳途徑.

（3）考查模型觀念

幾何模型是將常見(jiàn)的簡(jiǎn)單圖形結(jié)論化、方法化，作為綜合題目的“基本單元”，在培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、邏輯推理、空間觀念等核心素養(yǎng)中起到關(guān)鍵作用.遇到直角構(gòu)造K形相似，解決線(xiàn)段的計(jì)算；遇到矩形可建立坐標(biāo)系，從點(diǎn)到線(xiàn)進(jìn)行求解.

3.3? 教學(xué)啟示

（1）建立結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)理解

數(shù)學(xué)教育家裴光亞先生說(shuō)，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的方法，就是要把局部知識(shí)按照某種觀點(diǎn)和方法組織成整體，將所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化，這樣才便于存儲(chǔ)、提取和應(yīng)用.以專(zhuān)題形式將知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)化，以知識(shí)網(wǎng)的形式呈現(xiàn)知識(shí)之間的聯(lián)系，加強(qiáng)學(xué)生的理解和應(yīng)用能力.

（2）總結(jié)技巧，提升技能

達(dá)爾文說(shuō)，最有價(jià)值的知識(shí)是關(guān)于方法的知識(shí)，而“一題多解”及解題后的反思是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題方法的有效途徑之一.初中幾何幾大解題方法：勾股定理、面積法、相似或全等，有時(shí)也可構(gòu)造坐標(biāo)系.通過(guò)一題多解，探索最佳解題策略，實(shí)現(xiàn)多題一解，有助于學(xué)生多角度深層次理解題目，形成科學(xué)的思維品質(zhì)和能力.

（3）歸納錯(cuò)點(diǎn)，對(duì)癥下藥

若教師只講正確答案，部分學(xué)生可能一知半解，歸納高頻錯(cuò)點(diǎn)對(duì)癥下藥，明確知識(shí)盲點(diǎn)，才能提高解題能力.

4? 結(jié)語(yǔ)

本題注重基礎(chǔ)，培養(yǎng)運(yùn)算能力、幾何直觀、模型觀念等核心素養(yǎng)，充分體現(xiàn)新課標(biāo)的要求.中考試題具有引領(lǐng)作用，指導(dǎo)一線(xiàn)教師繼續(xù)研究數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，研究解題策略，從一題多解中尋求最優(yōu)解，從而促進(jìn)教師和學(xué)生的共同進(jìn)步.