王岳玲

(北京師范大學(xué)銀川學(xué)校,寧夏 銀川 750004)

《高中數(shù)學(xué)課程》指出:教師在教授平面向量及其應(yīng)用時(shí),要從物理、幾何、代數(shù)三個(gè)角度理解向量的概念與運(yùn)算法則,引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比的方法探索實(shí)數(shù)運(yùn)算與向量運(yùn)算的共性和差異[1].

1 平面向量在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,教師要時(shí)刻滲透數(shù)學(xué)思想方法,助力學(xué)生理性思維能力的提升,從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.下面就數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)談?wù)勂矫嫦蛄吭跀?shù)學(xué)中的應(yīng)用.

1.1 平面向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用

平面向量在推導(dǎo)兩角差的余弦公式中起著很重要的作用,利用平面向量法對(duì)公式進(jìn)行探究,重視公式的生成過程,更易于學(xué)生理解和接受相關(guān)知識(shí).通過學(xué)習(xí)平面向量的性質(zhì)以及坐標(biāo)運(yùn)算在三角函數(shù)中的應(yīng)用,讓學(xué)生進(jìn)行再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的討論探究,推導(dǎo)出兩角差的余弦公式,為同學(xué)們以后學(xué)習(xí)兩角和的余弦公式打好了基石.

下面用導(dǎo)學(xué)案的方式給出:如何用α,β的正弦、余弦來表示cos(α-β)?學(xué)生通過課前預(yù)習(xí),在自學(xué)中通過發(fā)現(xiàn)問題-思考問題-產(chǎn)生疑問-再次思考-解決問題,以達(dá)到自學(xué)能力的培養(yǎng).

圖1 角的終邊示意圖(a) 圖2 角的終邊示意圖2(b)

首先,利用構(gòu)造法構(gòu)造向量

一方面,由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算得

①

②

(4)找出上面兩個(gè)圖中α,β的關(guān)系α=β+θ+2kπ,k∈Z,(如圖1),α=β-θ+2kπ,k∈Z,(如圖2)則α-β=±θ+2kπ,k∈Z,由誘導(dǎo)公式, cos(α-β)=cosθ③

由①②③可得兩角差的余弦公式

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

近年來,高考更注重考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)中的公式以及定理的推導(dǎo)證明,通過死記硬背方式來學(xué)習(xí)并不符合新課標(biāo)的要求.這要求我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,應(yīng)該用邏輯性強(qiáng)的導(dǎo)學(xué)案一步一步引領(lǐng)學(xué)生深度思考,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力,助力學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高.

兩角差的余弦公式是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式的根基,起著至關(guān)重要的作用.在利用平面向量這個(gè)工具時(shí),要充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的思想,通過構(gòu)造向量,利用任意角三角函數(shù)的定義、數(shù)量積公式、角α與角β的關(guān)系,再結(jié)合誘導(dǎo)公式,得到兩角差的余弦公式.通過運(yùn)用構(gòu)造向量法、數(shù)形結(jié)合法、分類討論法和方程思想等,可以使學(xué)生的思維得到升華,培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

1.2 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用

1.2.1用基底表示向量

圖3 例1題圖

1.2.2建系(幾何問題代數(shù)化)

用平面向量法解決平面幾何問題的“三部曲”:(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題;(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．

圖4 例2題圖 圖5 例2建系圖

由△ABC的面積為1,|BC|=2,可知A點(diǎn)到底邊BC的距離為1,可引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形,深度思考的學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A可以在圖4的虛線上運(yùn)動(dòng),在此,可以設(shè)置自主探究環(huán)節(jié),讓學(xué)生自主探究5分鐘,進(jìn)一步分析問題、解決問題,培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

例3已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形,E為AB的中點(diǎn),點(diǎn)F在BC上,且BF∶FC=2∶1,AF與EC相交于點(diǎn)P,求四邊形APCD的面積．

1.3 平面向量在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用

方法一(待定系數(shù)法):設(shè)z1=a+bi,z2=c+di,由|z1|=|z1|=2可知

a2+b2=4

①

c2+d2=4

②

則z1+z2=(a+c)+(b+d)i,因?yàn)閨z1+z1|=2,則

(a+c)2+(b+d)2=4

③

由①②③可知2ac+2bd=-4

④

方法二(平面向量法)

1.4 平面向量在不等式中的應(yīng)用(推導(dǎo)柯西不等式的平面向量)

定理1(柯西不等式的向量形式)設(shè)a,b是兩個(gè)向量,則|a·b|≤|a|·|b|,當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí),等號(hào)成立.

定理2(二維形式的柯西不等式)若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則

(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)等號(hào)成立.

1.5 平面向量在解三角形中的應(yīng)用

1.5.1利用平面向量判斷三角形的四心問題

1.5.2利用平面向量判斷三角形的四形狀問題

可知O是△ABC的外心.

2 總結(jié)與反思

高考在不斷改革,原有的死記硬背、生搬硬套的模式已經(jīng)不能適應(yīng)改革的要求.因此,在教學(xué)過程中,不論是新課講授,還是習(xí)題講練,都應(yīng)該重視學(xué)生的核心素養(yǎng)的培養(yǎng).在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中,注重培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

同時(shí),所有的自主探究、合作探究都應(yīng)建立在學(xué)生的基礎(chǔ)之上.在教學(xué)中,要注重單元教學(xué)或者模塊教學(xué),讓學(xué)生時(shí)刻認(rèn)識(shí)到知識(shí)是連續(xù)貫通的,從而使學(xué)生進(jìn)行有條理的深度思考,這樣有助于學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),掌握數(shù)學(xué)方法,抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì).

本文通過探討平面向量在高中數(shù)學(xué)中的簡(jiǎn)單應(yīng)用,幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)的完整性和數(shù)學(xué)知識(shí)的連貫性.在教學(xué)中,通過數(shù)學(xué)思想方法的滲透,讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主探究和合作探究,從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.