張多昌

(甘肅省民樂(lè)縣職業(yè)教育中心學(xué)校,甘肅 民樂(lè) 734500)

正余弦定理是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,主要應(yīng)用于三角函數(shù)中“解三角形”的相關(guān)問(wèn)題中,考查的形式有選擇題、填空題、解答題三種,難度為中等或者中等偏上.在實(shí)際解決問(wèn)題中,學(xué)生通常需要以該定理為工具,結(jié)合三角恒等變換、面積公式等進(jìn)行求解,對(duì)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和推理能力等數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)要求較高[1].然而,目前的教學(xué)中,發(fā)現(xiàn)有很大一部分學(xué)生輕視了對(duì)該定理的學(xué)習(xí),只是生硬地記住定理公式,對(duì)其結(jié)構(gòu)特征和應(yīng)用方法不甚了解,導(dǎo)致在實(shí)際應(yīng)用中難以解決問(wèn)題[2].本文結(jié)合具體實(shí)例,對(duì)正余弦定理的應(yīng)用策略進(jìn)行講解.

1 正弦定理和余弦定理介紹

在△ABC中,若角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,R為△ABC外接圓半徑,則有

表1 正弦定理和余弦定理

2 正余弦定理在高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)常規(guī)題型中的應(yīng)用

2.1 求解三角形的邊長(zhǎng)或者角度大小

A．30° B．45° C．60° D．60°或120°

例2在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若(a+b-c)(a+b+c)=ab,求A+B的大小( ).

解法探究利用余弦定理,可以解決已知三角形的三邊長(zhǎng)度,求解三角形角度大小的問(wèn)題.

2.2 判斷三角形的形狀

A．等腰直角三角形

B．等腰三角形或直角三角形

C．等邊三角形

D．直角三角形

2.3 結(jié)合不等式求解最值問(wèn)題

2.4 求解三角形面積或者周長(zhǎng)

2.5 求解與平面幾何相關(guān)問(wèn)題

圖1 △ABC示意圖

總之,正弦定理的解題策略主要是邊化角,余弦定理的解題策略主要是角化邊.近些年,對(duì)該定理的考查,不再僅僅是簡(jiǎn)單地套用公式,通常會(huì)與其他知識(shí)點(diǎn)(如三角形的內(nèi)角和定理、三角形的面積公式、三角恒等變換及均值不等式等)結(jié)合,進(jìn)行綜合性考查,具有一定的難度,需要學(xué)生能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí).此外,強(qiáng)大的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思維,也是解題的關(guān)鍵.教師在教學(xué)過(guò)程中,要注意培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力,學(xué)會(huì)從不同角度思考問(wèn)題,發(fā)散解題思維,形成解題策略,提高解題能力,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3].