吳逸凡 彭春

摘要：在數(shù)學(xué)模型的建設(shè)中，必須要了解數(shù)學(xué)模型所代表的含義以及數(shù)學(xué)模型與網(wǎng)絡(luò)配合后，二者所產(chǎn)生的優(yōu)勢(shì)。作為一門抽象性、邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科，數(shù)學(xué)模型能夠啟發(fā)學(xué)生的思維意識(shí)，從傳統(tǒng)的模糊形象轉(zhuǎn)化為精準(zhǔn)形象、邏輯形象。在現(xiàn)有的研究階段，必須要保證數(shù)學(xué)模型與網(wǎng)絡(luò)二者之間高度融合，建設(shè)研究平臺(tái)。網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)?shù)學(xué)模型的優(yōu)勢(shì)、特點(diǎn)應(yīng)用到位，改進(jìn)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)模型探究中存在的不足，解決已有的研究問題。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；計(jì)算；探究；應(yīng)用思考

引言

如何解決在數(shù)學(xué)模型建設(shè)中存在的問題，要基于數(shù)學(xué)特點(diǎn)，提高網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用效率。利用信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，能夠演示各種形象以及宏觀的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，并將其細(xì)化，從不同章節(jié)明確數(shù)學(xué)概念以及原理。在數(shù)學(xué)模型探究中，最常使用的是“網(wǎng)絡(luò)自動(dòng)優(yōu)選回歸曲線方程式”系統(tǒng)，分析檢測(cè)方法以及預(yù)測(cè)值區(qū)間的不同，得出擬線性方程。應(yīng)了解數(shù)學(xué)公式，探究應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)建設(shè)數(shù)學(xué)模型所產(chǎn)生的優(yōu)勢(shì)。

1. 網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型概述

對(duì)網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析，數(shù)學(xué)模型使用“數(shù)理邏輯方法”以及“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”構(gòu)建的科學(xué)性學(xué)科，解決在建設(shè)過程中存在的實(shí)際問題，如推理問題、邏輯問題、運(yùn)算問題。通過網(wǎng)絡(luò)，能夠提高數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用效率，還可以進(jìn)行數(shù)據(jù)比對(duì)評(píng)測(cè)。通過數(shù)學(xué)模型，方便使用者確定最佳的溝通方案，解決實(shí)際問題，是理想的溝通橋梁[1]。數(shù)學(xué)模型按照事物系統(tǒng)的特征以及數(shù)量依存關(guān)系，依次進(jìn)行設(shè)計(jì)。概括或近似表示出一種數(shù)理結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)能夠通過數(shù)字符號(hào)進(jìn)行刻畫，是系統(tǒng)關(guān)系的某一反映。從宏觀意義分析數(shù)學(xué)模型，包含數(shù)學(xué)工科的各種理念、公式，這些都是由傳統(tǒng)理念抽象而來[2]?？梢詫?shù)學(xué)模型看作是數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的“提取”，能夠?qū)?fù)雜難懂的數(shù)據(jù)以圖形化的方式進(jìn)行展示，反映特定問題，是一種理想的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)。在一定程度上，也可以將其理解為系統(tǒng)變量關(guān)系表達(dá)。數(shù)學(xué)模型所有的內(nèi)容既可以是“定量”，也可以是“定性”。

2. 網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型建模種類

分析網(wǎng)絡(luò)模型建模種類及其建模要求，必須保證“真實(shí)”“完整”“簡(jiǎn)明”“適用”[3]。例如，通過系統(tǒng)性、完整性，能夠反映數(shù)學(xué)理論的客觀現(xiàn)象，還需要具有代表意義。能夠通過數(shù)學(xué)模型推測(cè)出原有的數(shù)據(jù)信息，在模擬研究實(shí)驗(yàn)時(shí)，還能夠得出模型的客體原因，能夠反映基本任務(wù)，且必須與實(shí)際情況相吻合。在建模時(shí)，要將本質(zhì)的數(shù)據(jù)及其對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行反映，將非本質(zhì)以及對(duì)客觀真實(shí)程度影響無關(guān)的冗余數(shù)據(jù)剔除。模型在建設(shè)完畢后，就可以在精準(zhǔn)度的要求下運(yùn)行，保證操作效率，易于數(shù)據(jù)采集。通過網(wǎng)絡(luò)高處理性能，數(shù)學(xué)模型近年來已有明顯的適應(yīng)性特點(diǎn)[4]，能夠隨數(shù)據(jù)的變化，調(diào)節(jié)自身的變量以及參數(shù)，適應(yīng)新興問題。在模型種類中，數(shù)字、字母、其他符號(hào)所構(gòu)成的圖像、圖表等，都可以成為數(shù)學(xué)模型建設(shè)的根基。輸入對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，以“組”為單位，2～4組后數(shù)學(xué)模型即可建立完畢。作為真實(shí)數(shù)據(jù)的一種圖形化體現(xiàn)方式，數(shù)學(xué)模型在分析、設(shè)計(jì)等方面能夠發(fā)揮最佳的作用。數(shù)學(xué)模型的種類包括靜態(tài)種類、分布種類、連續(xù)種類、隨機(jī)性種類、參數(shù)種類、線性種類等。

例如，在“靜態(tài)和動(dòng)態(tài)種類”中，靜態(tài)模型能夠精準(zhǔn)地描述在建設(shè)過程中數(shù)學(xué)模型各系統(tǒng)之間的關(guān)系，證明靜態(tài)模型數(shù)據(jù)并不隨時(shí)間變化而變化，一般使用代數(shù)方程式表達(dá)。而動(dòng)態(tài)模型則是各變量之間的變化規(guī)律，隨時(shí)間變化而變化，通過差分方程進(jìn)行表達(dá)。在理論控制中，常用的傳遞函數(shù)為動(dòng)態(tài)模型。

在“分布參數(shù)以及集中參數(shù)種類”中，分布參數(shù)使用各類偏微分方程式，能夠精準(zhǔn)地描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性特點(diǎn)。集中參數(shù)模型使用非線性或線性的常微分方程式，也能夠描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特點(diǎn)。在通常情況下，分布參數(shù)借助空間離散法，能夠保證數(shù)學(xué)模型建設(shè)更精準(zhǔn)、更有效。

3. 網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型建模原則、步驟

3.1 網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型建模原則

在建模原則中，包含“簡(jiǎn)化原則”“可推導(dǎo)原則”“反映性原則”。例如，簡(jiǎn)化原則能夠保證所有的數(shù)學(xué)模型都具有多因素、多變量、多層次的特征，是一種復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，對(duì)整體的模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，抓住其主要矛盾。在數(shù)學(xué)模型應(yīng)用中，簡(jiǎn)化原則自身必須保證所有的數(shù)據(jù)都能夠被及時(shí)采集、記錄，應(yīng)用至模型內(nèi)。

可推導(dǎo)原則是保證整個(gè)數(shù)學(xué)模型的建設(shè)研究能夠提供確切結(jié)果。例如，建設(shè)的數(shù)學(xué)模型需要判定該數(shù)據(jù)值是否為“不確定”“不可推導(dǎo)”。若明確數(shù)據(jù)值具有此類特征后，該數(shù)據(jù)值為冗余數(shù)據(jù)，需要剔除。在數(shù)學(xué)模型中，要判定可推導(dǎo)原則下，數(shù)據(jù)是否有計(jì)算意義。

反映性原則中，數(shù)學(xué)模型實(shí)際上是一種反映形式，與其原有的數(shù)字要保證相近，通過網(wǎng)絡(luò)處理，網(wǎng)絡(luò)可視化數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)公式原型能夠有明確的關(guān)聯(lián)性。

3.2 網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型建模步驟

在網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型建設(shè)中，要實(shí)現(xiàn)“模型準(zhǔn)備”“模型假設(shè)”“模型構(gòu)成”“模型求解”，且要明確數(shù)學(xué)模型計(jì)算案例。

例如，在模型準(zhǔn)備中，必須了解問題發(fā)生的背景以及計(jì)算的目的、建模的原因。收集各項(xiàng)數(shù)據(jù)信息，必須保證對(duì)象特征精準(zhǔn)。

在模型假設(shè)中，要根據(jù)對(duì)象的特征以及最終建模的目的，對(duì)問題進(jìn)行簡(jiǎn)化，可以使用精準(zhǔn)的語(yǔ)言做出初步判斷，是至關(guān)重要的一步，對(duì)問題的所有因素一概考慮。但在初級(jí)階段就要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選，否則龐大的數(shù)據(jù)量會(huì)降低工作效率。所有的建模者都要有高度的洞察力、判斷力，能夠辨別數(shù)據(jù)在收集整理中的主次關(guān)系，力求處理方法簡(jiǎn)單，盡可能使問題線性化、均勻化。

在模型構(gòu)成中，要根據(jù)所假設(shè)的對(duì)象因果關(guān)系，利用其內(nèi)在規(guī)律以及數(shù)學(xué)工具、變量等級(jí)關(guān)系，進(jìn)行融合分析。在研究的對(duì)象中，并不會(huì)提前設(shè)定。如研究對(duì)象既可以是數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單公式，也可以是某一類復(fù)雜的高數(shù)問題。使用圖形、線形，能夠生成不同的數(shù)字模型。對(duì)應(yīng)的模型有不同應(yīng)用場(chǎng)景，但數(shù)學(xué)模型綜合是讓使用者能夠在最短時(shí)間內(nèi)明確數(shù)據(jù)。因此，其工具模型構(gòu)成越簡(jiǎn)單越有價(jià)值。

在模型求解中，可以使用解方程證明定理、邏輯、計(jì)算等方法。通過網(wǎng)絡(luò)技術(shù)解決實(shí)際問題需要繁雜的計(jì)算流程，還需要將系統(tǒng)運(yùn)行情況使用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行模擬。在模型分析中，對(duì)已收集到的模型進(jìn)行數(shù)據(jù)解答，對(duì)模型結(jié)果進(jìn)行細(xì)致判定，能夠解決模型在運(yùn)行過程中出現(xiàn)的誤差性、穩(wěn)定性。此外，在層次分析、灰色關(guān)聯(lián)中，要了解層次分析法能夠解決目標(biāo)的復(fù)雜性問題，保證其實(shí)現(xiàn)定性、定量結(jié)合。在方法判定中，通過定量分析以及定性分析改進(jìn)，能夠更好地判斷、衡量各目標(biāo)之間出現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)性特征。對(duì)于構(gòu)建的評(píng)價(jià)指標(biāo)方案進(jìn)行量化選擇，如使用SPSSPRO對(duì)方案進(jìn)行層次化排列以及需求排列。選擇“SPSSPRO層次分析法”，輸入、輸出描述可進(jìn)行單獨(dú)設(shè)置。如輸入描述要根據(jù)提示進(jìn)行指標(biāo)或方案的對(duì)比，而輸出描述則是要根據(jù)方案的量化，得出同一指標(biāo)的權(quán)重。在“灰色關(guān)聯(lián)”中，對(duì)兩個(gè)系統(tǒng)之間的關(guān)聯(lián)度、關(guān)聯(lián)因素、關(guān)聯(lián)變化值等進(jìn)行判定。在系統(tǒng)發(fā)展過程中，兩個(gè)因素的變化具有一致性。即二者之間的關(guān)聯(lián)程度較高，計(jì)算精度越精準(zhǔn)，反之則更低。因此，通過參數(shù)分析以及比對(duì)、幾何形狀判定等，來描述其關(guān)系，反映曲線關(guān)聯(lián)程度。

4. 數(shù)學(xué)模型的展示分析

在數(shù)學(xué)模型的展示分析中，要明確數(shù)學(xué)模型在建設(shè)時(shí)，若缺乏明確的數(shù)據(jù)指向，就會(huì)使數(shù)學(xué)模型在建設(shè)后存在模糊性，導(dǎo)致數(shù)學(xué)分析困難。要從對(duì)應(yīng)的位置以及形狀出發(fā)，明確圖形關(guān)聯(lián)。例如，在“正四棱臺(tái)”中，可以使用對(duì)應(yīng)軟件“SPSS”數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)做成虛擬模型，方便觀察者從不同角度了解圖形層面形狀，如底面、側(cè)棱高、斜高等，了解彼此之間的關(guān)系，如圖1所示。在空間與圖形的內(nèi)容中，能夠組織觀察、操作，推理交流活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，具有明確的空間觀點(diǎn)。在代數(shù)中，借助幾何模型，得出抽象公式：n2-1=（n-1）（n+1）。通過兩種計(jì)算詳細(xì)公式展示，公式1為“22-1=1×3”，公式2為“32-1=2×4”。在模型建設(shè)中，使用文字符號(hào)、幾何圖形等進(jìn)行設(shè)計(jì)。網(wǎng)絡(luò)輔助就能夠展示此部分內(nèi)容，在公式設(shè)計(jì)中，正四棱臺(tái)的設(shè)計(jì)公式（a+b）2=a2+2ab+b2，將其拓展至二級(jí)公式。二級(jí)公式計(jì)算如（2a+b）（a+3b）=2a2+7ab+3b2。在各項(xiàng)公式圖形中，能夠了解到其展示的所有或部分面積，拓寬綜合視野。

此外，還可借助“SPSS”軟件。SPSS軟件是在數(shù)學(xué)問題研究中可以更好地實(shí)現(xiàn)“代碼支持”“模塊導(dǎo)出”“輕量化計(jì)算”，計(jì)算出的數(shù)據(jù)值覆蓋量極廣，幾乎能夠滿足大部分的數(shù)學(xué)模型運(yùn)算需求。建立評(píng)價(jià)指標(biāo)優(yōu)化模型，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)建模的強(qiáng)化。在算法模型操作中，只需在SPSSPRO軟件內(nèi)拖拽對(duì)應(yīng)的變量，SPSSPRO系統(tǒng)便會(huì)自動(dòng)生成對(duì)應(yīng)結(jié)果。除常規(guī)的數(shù)據(jù)分析外，SPSSPRO還能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)據(jù)處理，在數(shù)學(xué)模型建設(shè)研究中常見的處理方法包括異常值處理、缺失值處理以及最重要的數(shù)據(jù)降維。

例如，在異常值處理中，面對(duì)數(shù)學(xué)公式可以實(shí)現(xiàn)公式數(shù)據(jù)收集、分析以及結(jié)果輸出，所有的流程都循序漸進(jìn)，其間不可跳躍。在可追溯性數(shù)據(jù)分析中，每一步都可以從前一步中找到根源，以便定位問題，分析問題產(chǎn)生的原因，在數(shù)據(jù)清理收集中為了滿足數(shù)據(jù)提升需求，要考量數(shù)據(jù)是否不完整、是否重復(fù)、是否不合理、是否矛盾。

在異常值中，最常見的例子便是有關(guān)于收入的數(shù)學(xué)公式。在SPSSPRO異常值處理中，要設(shè)置一個(gè)理想模型，如“棗核形”——兩頭少中間多。但實(shí)際現(xiàn)狀是我國(guó)社會(huì)人群呈現(xiàn)“金字塔形”，絕大部分的人群收入保持中等或低下。若將異常數(shù)據(jù)分析應(yīng)用其中，就可以分析是否出現(xiàn)發(fā)展偏激行為，以及異常值是否與平均值之間差異過大，提供全新的思考方向。

作為一種新型技術(shù)，網(wǎng)絡(luò)模型用到網(wǎng)絡(luò)中，能夠培養(yǎng)數(shù)學(xué)分析興趣，在解題的過程中鍛煉自身思維。通過圖形分析，提高SPSSPRO自身的應(yīng)用能力。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)分析受多重方面限制，因此其動(dòng)態(tài)情景存在效率下降的現(xiàn)象，片面性地強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)推理，而忽略數(shù)學(xué)分析、數(shù)學(xué)計(jì)算[5]。要在問題空間內(nèi)自主進(jìn)行探索，將其整體提升為數(shù)學(xué)模型建設(shè)的必要工具以及手段。

在“研究函數(shù)圖像及其性質(zhì)”時(shí)，學(xué)生同樣可以通過幾何畫板，規(guī)避傳統(tǒng)學(xué)習(xí)時(shí)對(duì)于函數(shù)的刻板印象，或認(rèn)知度較淺等問題。如對(duì)于二次函數(shù)“y=ax2+bx+c”設(shè)計(jì)點(diǎn)位圖，拖動(dòng)“A、B、C”點(diǎn)，使學(xué)生能夠有效觀察圖像變化，總結(jié)二次數(shù)“y=ax2+bx+c”。通過“函數(shù)公式”“三角函數(shù)公式”“一次函數(shù)公式”，能夠表明字母變化，使學(xué)生能夠更有效地對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行認(rèn)知。由此可見，問題不僅是學(xué)生實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新成長(zhǎng)的載體，同時(shí)更是能夠激活學(xué)生學(xué)習(xí)積極性的體現(xiàn)。教師必須精心設(shè)計(jì)，保證問題有多樣性的解決途徑。在問題設(shè)置中，力保問題具有懸念性、趣味性、探索性、開放性、啟發(fā)性，給學(xué)生以全新的挑戰(zhàn)以及誘惑。通過與教師之間的溝通交流，設(shè)計(jì)出適宜的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生自主觀察、自主分析、自主思考。

結(jié)語(yǔ)

綜上所述，數(shù)學(xué)模型探究結(jié)合網(wǎng)絡(luò)，能夠保證問題解決更精準(zhǔn)、更有效，數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)理解更深刻。數(shù)學(xué)模型探究應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)，雖然不能完全取代傳統(tǒng)計(jì)算方法，但能對(duì)傳統(tǒng)的計(jì)算方法進(jìn)行優(yōu)化。從技術(shù)、邏輯算法、角度看待問題，對(duì)理論定義、數(shù)據(jù)特性等主要內(nèi)容進(jìn)行轉(zhuǎn)換，使其以圖形化、模型化方式展示數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型具有運(yùn)算速度極快、記憶功能強(qiáng)大、能耗較低、超高密度等優(yōu)勢(shì)，是未來數(shù)學(xué)發(fā)展的主流方向。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：吳逸凡，本科，研究方向：信息與計(jì)算科學(xué)；通信作者：彭春，碩士研究生，講師，研究方向：經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)。