趙金玲, 張 超, 常 樂

(1.南京工業(yè)大學(xué) 機械與動力工程學(xué)院,南京 211816; 2.南京工業(yè)大學(xué) 高端裝備可靠性制造研究院,南京 211816; 3. 南京航空航天大學(xué) 航空學(xué)院,南京 210016)

0 引 言

工程應(yīng)用數(shù)學(xué)課程系統(tǒng)講授在工程領(lǐng)域從事學(xué)術(shù)研究和創(chuàng)新產(chǎn)品開發(fā)和生產(chǎn)活動所涉及的主要數(shù)學(xué)理論及應(yīng)用方法,主要包括數(shù)值分析、優(yōu)化理論、數(shù)理統(tǒng)計、泛函分析等幾大模塊.教學(xué)目標(biāo)側(cè)重工程數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)性和全面性,并把握現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的前沿發(fā)展方向,緊密結(jié)合社會需求和工程實際,為學(xué)術(shù)參與具備一定門檻的工程技術(shù)研發(fā)工作打下必要基礎(chǔ)[1-3].

就數(shù)值分析部分而言,隨著人工智能算法的不斷普及,數(shù)值分析課程可以面向大數(shù)據(jù)分析需求進行改革[4- 5];由于數(shù)值分析課程強調(diào)編程的運用,具有線上教學(xué)的天然優(yōu)勢,能夠適應(yīng)新冠疫情下課程學(xué)習(xí)的新趨勢[6];微課的引入可以打破傳統(tǒng)課堂教學(xué)的模式化和時空限制,創(chuàng)新教育教學(xué)模式[7].

對研究生而言,數(shù)值分析課程需要重視實踐能力尤其是工程計算能力與思維的培養(yǎng),體現(xiàn)數(shù)學(xué)的工程化思想和工程的數(shù)學(xué)思維,強調(diào)應(yīng)用背景與興趣牽引,引導(dǎo)學(xué)生從工程問題中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的工具特征,培養(yǎng)學(xué)生活用、巧用數(shù)學(xué)理論的能力,將生硬的符號轉(zhuǎn)化為生動的思維過程,培養(yǎng)學(xué)生的科研興趣,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力[8-11].如主張在學(xué)純數(shù)學(xué)之前,先接受一些物理學(xué)的情趣和訓(xùn)練,培養(yǎng)解決實際問題的原創(chuàng)思維[8];也有教師采用“為什么-是什么-怎么辦”的三段式講解方法,其中“為什么”部分需要講清楚數(shù)值分析算法的應(yīng)用背景和出發(fā)點,是實際工程問題中合理選擇數(shù)學(xué)方法的依據(jù),被認(rèn)為是最困難的教學(xué)內(nèi)容[9];將數(shù)學(xué)建模與課程教學(xué)結(jié)合的改革方法也體現(xiàn)了課程面向解決實際問題、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要目標(biāo)[10].近來產(chǎn)生的數(shù)值分析課程OBE(Outcome Based Education,成果導(dǎo)向教育)教學(xué)模式,實則倡導(dǎo)以成果為導(dǎo)向的實練,以提高學(xué)生科學(xué)計算能力[12].而命題式的實練并不一定能最大程度地激發(fā)研究生的創(chuàng)新能力和科研熱情.

為更好的將數(shù)學(xué)課程與專業(yè)相結(jié)合,筆者所在學(xué)院的研究生工程應(yīng)用數(shù)學(xué)課程均由學(xué)院專任教師進行講授.本文針對課程中數(shù)值分析部分的學(xué)情分析結(jié)果,以提高研究生創(chuàng)新能力為目的,提出基于“問題驅(qū)動-理論講授-案例分析”的層次化教學(xué)模式,“課程思政”與“角色互換”的啟發(fā)式教學(xué)方法,以及“過程化-學(xué)術(shù)化”的多元考核策略,初步探討了數(shù)值分析課程的教學(xué)改革與實踐,并對教學(xué)效果(尤其是研究生的創(chuàng)新能力培養(yǎng))進行了分析總結(jié).

1 學(xué)情分析

筆者所在學(xué)院的碩士研究生涉及動力工程及工程熱物理、能源動力、機械以及機械工程等專業(yè),研究生培養(yǎng)方案要求課程與專業(yè)方向緊密相關(guān),強調(diào)學(xué)以致用.就工程應(yīng)用數(shù)學(xué)課程的數(shù)值分析部分而言,近年來筆者所在學(xué)院學(xué)生反映課程學(xué)習(xí)過程中普遍存在如下問題:

(i) 教學(xué)模式的守成:教學(xué)過程仍沿用以教師為主的講授方式,對新方法、新理論缺少恰當(dāng)?shù)囊?理論教學(xué)內(nèi)容采用滿堂灌、填鴨式教學(xué)模式,授課過程枯燥無味;理論教學(xué)與實際應(yīng)用脫節(jié),學(xué)生難以將數(shù)學(xué)理論與工程應(yīng)用聯(lián)系起來.

(ii) 教學(xué)方法的刻板:學(xué)生存在對數(shù)學(xué)課程的畏懼和排斥心理,無法體會數(shù)學(xué)課程的美感;且由于課程內(nèi)容繁多,每個教學(xué)模塊都涉及眾多理論方法,學(xué)生邊學(xué)邊忘,難以形成全局思維,不利于實際工程問題中數(shù)學(xué)工具的合理選用.

(iii) 考核方式的局限:與本科生數(shù)值分析課程相比,研究生課程考核側(cè)重于上機實驗.然而上機作業(yè)一般由教師統(tǒng)一布置,缺乏多樣性和創(chuàng)新性,不能有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維及其開展科學(xué)研究的積極性.

2 面向創(chuàng)新能力培養(yǎng)的教學(xué)改革主要內(nèi)容

創(chuàng)新教育要求教師在加強基本理論和基礎(chǔ)知識教育的同時,高度重視培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力、研究能力、思維能力等創(chuàng)新能力[13-14].針對上文中目前研究生數(shù)值分析教學(xué)中普遍存在的問題,提出了如圖1所示的面向研究生創(chuàng)新能力培養(yǎng)的數(shù)值分析課程教學(xué)體系.采用了“問題驅(qū)動-理論講授-案例分析”的層次化教學(xué)模式,建立了“課程思政”與“角色互換”的啟發(fā)式教學(xué)方法,設(shè)計了“過程化-學(xué)術(shù)化”的多元考核策略,初步探討了數(shù)值分析課程的教學(xué)改革與實踐,努力拉近課堂與科研的距離,以逐步提高研究生的創(chuàng)新能力.

圖1 面向研究生創(chuàng)新能力培養(yǎng)的“數(shù)值分析”課程教學(xué)體系

2.1 “問題驅(qū)動-理論講授-案例分析”的層次化教學(xué)模式

(i) 問題驅(qū)動:為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新理論、新方法的興趣,避免直接講解復(fù)雜公式而造成的“學(xué)的難”局面,課程在講授新知識之前,需首先引入與學(xué)生專業(yè)相關(guān)的科研或?qū)W術(shù)問題,以解決問題為目的,引入相應(yīng)數(shù)值分析方法.

例1插值問題的引入

以學(xué)生熟悉的有限元知識為背景,向?qū)W生提問:假設(shè)一次單元的兩個節(jié)點位移分別為{u1},{u2},如何獲得單元內(nèi)的連續(xù)位移場,為后續(xù)應(yīng)力場、應(yīng)變場的求解創(chuàng)造條件?

例2數(shù)值積分問題的引入

如圖2所示,同樣以有限元知識為背景,以與專業(yè)相關(guān)性較大的復(fù)合材料壓力容器建模為需求,向?qū)W生提問:復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)中各層材料屬性迥異,若厚度方向只采用一個單元,如何實現(xiàn)單元剛度矩陣的計算?進一步通過有限元ABAQUS軟件的相關(guān)設(shè)置界面,向?qū)W生引入積分點、辛普森積分、高斯積分等概念.

圖2 問題驅(qū)動法引入數(shù)值積分教學(xué)內(nèi)容

(ii) 理論講授:課程知識面大,在有限的學(xué)時里不可能將公式、定理等內(nèi)容面面俱到講解.因此,授課教師需對教學(xué)內(nèi)容進行主次劃分,對于典型或常用算法需重點闡述,而非重點算法則側(cè)重其構(gòu)造思想、過程、關(guān)鍵參數(shù)以及應(yīng)用范圍,做到精講與略講結(jié)合,將課堂效益最大化.

(iii) 案例教學(xué):與本科生數(shù)值分析課程不同,研究生已或多或少接觸科研課題,因此脫離應(yīng)用背景的例題較難激發(fā)學(xué)生思考興趣.課前教師對學(xué)生學(xué)習(xí)背景、科研背景進行調(diào)研,挖掘?qū)W生興趣所在,并制定專業(yè)化的案例題,搭建數(shù)學(xué)課堂與科研學(xué)術(shù)的橋梁,讓學(xué)生體會到課程的“實用性”.

例如,提供實驗測得應(yīng)力-應(yīng)變離散數(shù)據(jù)點,要求學(xué)生進行應(yīng)力-應(yīng)變曲線擬合(考察最小二乘擬合知識),并進一步計算應(yīng)變能(考察數(shù)值積分知識)等.

2.2 “課程思政”與“角色互換”的啟發(fā)式教學(xué)方法

(i) 課程思政:大部分學(xué)生對數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)充滿了排斥與畏懼,無法體會數(shù)學(xué)的美感與“接地氣”.將課程思政引入數(shù)學(xué)課程的教學(xué)[15-16],深度挖掘課程中蘊含的思政資源,融入愛國主義、馬克思主義、傳統(tǒng)文化、價值觀、創(chuàng)造精神、美學(xué)教育等,增強學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、放松學(xué)生緊張情緒、展示嚴(yán)密邏輯的美感,努力實現(xiàn)潤物細(xì)無聲.

(ii) 角色互換:如圖1所示,在章節(jié)授課內(nèi)容結(jié)束后,采用隨機抽查的方式,安排學(xué)生上臺講述其對本章節(jié)內(nèi)容的感受,啟發(fā)學(xué)生開展嚴(yán)密的邏輯思維,對課堂所授方法進行總結(jié)、對比、吸收,對學(xué)生所存疑惑進行及時解答、反饋.

2.3 N+1的“過程化-學(xué)術(shù)化”多元課程考核策略

(i) 過程化考核:如圖1所示,在每章節(jié)授課結(jié)束后,要求學(xué)生上交上機作業(yè).與本科生上機作業(yè)不同,要求研究生進行①文獻(xiàn)檢索與閱讀,挖掘可用數(shù)據(jù);②自擬題目,要求交代背景與目的;③編寫Matlab代碼并運行;④獲得結(jié)果并展開討論.教師對上機報告進行評閱,及時掌握學(xué)生掌握知識的情況;并取其精華,不斷將優(yōu)秀的作業(yè)共享給學(xué)生,敦促其不斷改善作業(yè)質(zhì)量.

(ii) 學(xué)術(shù)化考核:除N次過程化考核外(N不超過授課章節(jié)數(shù)),期末考試以撰寫學(xué)術(shù)論文形式進行.要求論文具有專業(yè)性、學(xué)術(shù)性、科學(xué)性,倡導(dǎo)首選自己實測數(shù)據(jù)或與后續(xù)課題緊密相關(guān)的論文中的數(shù)據(jù),采用盡可能多的數(shù)值分析方法,獲得盡可能多的結(jié)果,并賦予結(jié)果一定的物理意義,討論分析并獲得結(jié)論.

平時成績(包括角色互換考核以及N次過程化考核)占總成績30%,期末成績(學(xué)術(shù)論文)占總成績70%.

3 教學(xué)成果

課程通過構(gòu)建如圖1所示的數(shù)值分析課程教學(xué)體系,強調(diào)綜合改進教學(xué)模式、教學(xué)方法以及評價策略,以達(dá)到不斷提高研究生創(chuàng)新能力的目的.筆者從問卷調(diào)查、綜合成績、作業(yè)情況以及課堂反饋等方面,多角度、深入地探討了課程改革帶來的教學(xué)成果.

3.1 問卷調(diào)查

通過超星學(xué)習(xí)通平臺對2021～2022學(xué)年第1學(xué)期共185名學(xué)生進行課程問卷調(diào)查,共收到有效答卷146份,其中動力工程及工程熱物理、能源動力、機械以及機械工程四個專業(yè)各28, 55, 38和25份.

問卷內(nèi)容圍繞第2節(jié)中的學(xué)情分析展開,結(jié)果見表1.總體來說,學(xué)生對課程滿意率(包含“很滿意”和“滿意”兩部分)在96%以上.

表1 機械學(xué)院146名研究生調(diào)查問卷結(jié)果

在教學(xué)模式方面:通過引入“問題驅(qū)動-理論講授-案例分析”的層次化教學(xué)模式,超過78%的同學(xué)認(rèn)為教師對新方法引入恰當(dāng),課程教學(xué)生動有趣,且能將理論與實際應(yīng)用聯(lián)系起來.

在教學(xué)方法方面:結(jié)合“課程思政”與“角色互換”的啟發(fā)式教學(xué)方法,拉進數(shù)學(xué)與學(xué)生的距離,使得71.2%的同學(xué)非常認(rèn)同可以通過課程學(xué)習(xí)體會到數(shù)學(xué)之美;筆者設(shè)計的角色互換環(huán)節(jié),通過學(xué)生自主總結(jié)章節(jié)內(nèi)容,促成形成課程脈絡(luò),75.3%的同學(xué)認(rèn)為該模塊有助于培養(yǎng)學(xué)生全局思維能力;71.9%的同學(xué)認(rèn)為自己能在實際問題中合理使用數(shù)學(xué)方法.

在考核方式方面:課程采用N+1的“過程化-學(xué)術(shù)化”多元課程考核策略,摒棄了命題式考核方式,將作業(yè)100%交還給學(xué)生,學(xué)生結(jié)合專業(yè)自主命題,在掌握數(shù)學(xué)方法的同時能夠加深對專業(yè)方向的應(yīng)用與理解.由于班級人數(shù)多、專業(yè)多、研究方向多,因而作業(yè)具有多樣性以及創(chuàng)新性,得到了大部分同學(xué)的認(rèn)可.76%以上的同學(xué)認(rèn)為改革后的考核方式提高了其文獻(xiàn)閱讀能力、培養(yǎng)了創(chuàng)造性思維并促進了從事科學(xué)研究的積極性.

3.2 綜合成績

圖3為學(xué)生歷年期末成績,包括平均分和標(biāo)準(zhǔn)偏差.其中2018,2019兩年采用了傳統(tǒng)教學(xué)方式,取得的教學(xué)效果并不理想,平均分分別為79.50和78.83分,且2019年期末標(biāo)準(zhǔn)偏差高達(dá)7.95分,低分段學(xué)生占比較大.學(xué)生普遍反映教師教的難、考試考的難,填鴨式授課以及命題類考試無法提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣并培養(yǎng)其創(chuàng)新思維能力.因此,筆者采用了上文提出的教學(xué)改革方式,對比表明2020,2021年學(xué)生期末成績得到了明顯的提升,標(biāo)準(zhǔn)偏差也逐漸減小,表明越來越多的學(xué)生成績達(dá)到中等水平.

圖3 歷年期末考核成績

3.3 作業(yè)與課堂反饋

3.3.1 筑牢“文獻(xiàn)檢索與閱讀”的共同基礎(chǔ)

學(xué)生在完成N+1的“過程化-學(xué)術(shù)化”多元課程考核任務(wù)時,需不斷地進行中英文文獻(xiàn)檢索,鍛煉文獻(xiàn)泛讀能力,不斷加快“找對文獻(xiàn)”的速度;進一步基于提取背景、數(shù)據(jù)的任務(wù)要求,打磨自身精讀文獻(xiàn)的水平,極大地促成“文獻(xiàn)檢索與閱讀”共同基礎(chǔ)的筑建,為研究生科研生涯打下重要基礎(chǔ).

3.3.2 夯實“邏輯思維”與“比較分析”的思維模式

教師授課環(huán)節(jié)中,通過引入“課程思政”的教學(xué)方法,將辯證法、量變引起質(zhì)變等思政理念植入數(shù)值分析方法中;且數(shù)學(xué)課程具有固有的邏輯嚴(yán)密的特征,使得學(xué)生在聽課過程中不斷被動地進行邏輯思考.

學(xué)生考核過程中,包括“角色互換”中站在總-分的角度講述和對比多種數(shù)值分析方法,還包括N+1的“過程化-學(xué)術(shù)化”多元課程考核任務(wù)中對數(shù)值分析結(jié)果的討論分析等,都主動的鍛煉了自身邏輯思維和比較分析能力.

圖4為學(xué)生N+1的“過程化-學(xué)術(shù)化”多元課程考核報告的摘選,其中圖4(a)表明學(xué)生運用邏輯思維對牛頓迭代法的編程思想進行了思考;圖4(b),(c)和(e)分別為學(xué)生對多種插值、積分、擬合方法的對比分析,體現(xiàn)了學(xué)生通過多元考核展現(xiàn)的良好的比較分析思維能力.

圖4 學(xué)生作業(yè)摘選

3.3.3 開拓“解決實際科研問題”的創(chuàng)新能力

教師授課環(huán)節(jié)中,通過“問題驅(qū)動”與“案例分析”教學(xué)模式,最大限度地將實際科研問題引入課堂教學(xué)中,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情,并啟發(fā)學(xué)生將所學(xué)知識運用到后續(xù)課題中,開拓“解決實際科研問題”的創(chuàng)新能力;

學(xué)生考核過程中,根據(jù)N+1的“過程化-學(xué)術(shù)化”多元課程考核要求,需多次查閱文獻(xiàn),結(jié)合自身課題自擬題目,運動課堂所學(xué)理論方法解決問題.如圖4(c),(d)和(e),分別為學(xué)生將所學(xué)的數(shù)值積分方法運用到計算Stefan-Boltzman常數(shù)、超聲波入射/反射波能量,以及運用函數(shù)擬合方法揭示C12質(zhì)量分?jǐn)?shù)與相變溫度的關(guān)系,體現(xiàn)了學(xué)生活學(xué)活用、“解決實際科研問題”的創(chuàng)新能力.

4 結(jié) 論

基于數(shù)值分析課程教學(xué)模式守成、教學(xué)方法刻板、考核方式局限等原因限制研究生創(chuàng)新能力發(fā)展的現(xiàn)狀,對數(shù)值分析課程的教學(xué)體系改革做出了初步探討,構(gòu)建了“問題驅(qū)動-理論講授-案例分析”的層次化教學(xué)模式、“課程思政”與“角色互換”的啟發(fā)式教學(xué)方法以及“過程化-學(xué)術(shù)化”的多元考核策略.筆者從問卷調(diào)查、綜合成績、作業(yè)情況以及課堂反饋等方面,多角度、深入地探討了課程改革帶來的教學(xué)成果.結(jié)果表明,有超過96%的學(xué)生認(rèn)可新的教學(xué)模式、教學(xué)方法以及考核策略;歷年來學(xué)生綜合測評成績穩(wěn)步提升;新的教學(xué)方式有助于筑牢學(xué)生“文獻(xiàn)檢索與閱讀”的共同基礎(chǔ)、夯實“邏輯思維”與“比較分析”的思維模式、開拓“解決實際科研問題”的創(chuàng)新能力.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.