姜 曼

(西安交通工程學院 公共課部,西安 710300)

0 引 言

自從模糊集[1]的概念被提出后,模糊集已經(jīng)應用到生活中的各個方面.模糊集及其擴展在處理問題中的不確定性方面取得了成功的結(jié)果,在世界范圍內(nèi),人們對模糊集的應用興趣正在迅速增長.由于需要考慮元素之間非此即彼的關系,文獻[2]提出了直覺模糊集;由于在客觀事物都具有兩極性,在處理問題中難免有更多的不確定性,文獻[3]提出了雙極值模糊集的概念;Ω-模糊集[4]是經(jīng)典凸集的推廣,它是線性空間中一類特殊的模糊集;為了能夠更全面,更精確地了解決策者對信息的判斷,文獻[5]提出了猶豫模糊集.直覺模糊集和雙極值模糊集已經(jīng)得到推廣,這些模糊化思想也被應用到其他代數(shù)結(jié)構(gòu)中,一系列結(jié)論相繼出現(xiàn),例如,文獻[6]研究了否定非對合剩余格中的雙極值模糊理想并討論了它們的性質(zhì),文獻[7]把直覺模糊理論和教學評價相結(jié)合做的一些研究,更多結(jié)論見文獻[8-9].

猶豫模糊集是一種表達現(xiàn)實生活中人們在決策中模棱兩可的有用工具,它解決了很多不確定性問題.它在解決問題時比一般的模糊集更精準,能夠解決一些存在猶豫性的,不確定的問題,這在許多數(shù)學模型中都有應用[10-12].猶豫模糊集的思想更接近于一般思維,能更準確地研究邏輯代數(shù).文獻[13-14]提出了Baltic Capesize Index Algebras(簡稱BCI代數(shù)),并在BCI代數(shù)中引入了模糊 Prime Ideal(簡稱P理想)的概念,BCI代數(shù)是邏輯代數(shù)的一個典型代表,它上面的準則,比如濾子、子代數(shù)、理想等都有很強的研究意義.因此,本文主要研究BCI代數(shù)中的Ω-猶豫模糊P理想,得到了一些有意義的結(jié)果.

1 預備知識

1.1 BCI代數(shù)

定義1[13]對一個集合X,如果它滿足下列條件:對?x,y,z∈X,有

(i) {(x*y)*(x*z)}*(z*y)=0; (ii) {x*(x*y)}*y=0; (iii)x*x=0;

(iv)x*y=y*x=0?x=y; (v)x*0=0?x=0,

則稱集合X為BCI代數(shù).

定義2[13]設X是BCI-代數(shù),I是X上的非空子集,如果I滿足以下條件:

(vi) 0∈I; (vii) ?x,y∈X,x*y∈I和y∈I,x∈I,

則稱I是X上的理想.

在本文中,用Ω和X表示BCI代數(shù)上的非空集合.

定義3[13-15]μ是X上的模糊集,如果?x,y∈X,μ滿足下列條件:

(viii)μ(0)≥μ(x); (ix)μ(x)≥μ(x*y)∧μ(y),

則稱μ是X上的模糊理想.

定義4[15]設I是X上的非空子集,?x,y∈X,如果μ滿足下列條件:

(vi) 0∈I; (x)(x*z)*(y*z)∈I和y∈I,x∈I,

則稱μ是X上的P理想.

定義5[15]μ是X上的模糊集,?x,y,z∈X,如果μ滿足(viii)和下列條件:

(xi)μ(x)≥μ((x*z)*(y*z))∧μ(y),

則稱μ是X上的模糊P理想.

定義6[5]設Ω,X表示一非空集合,稱映射δ∶R×Ω→[0,1]為R的Ω-模糊集.

定義7[16]δ是X上的Ω-模糊集,如果?x,y∈X,q∈Ω,δ滿足下列條件:

(xii)δ(0,q)≥δ(x,q); (xiii)δ(x,q)≥δ(x*y,q)∧δ(y,q),

則稱δ是X上的Ω-模糊P理想.

性質(zhì)1[15]設X是BCI代數(shù),則有

(xiv)0*(0*((x*z)*(y*z)))=(0*y)*(0*x);

(xv)0*(0*((x*y))=(0*y)*(0*x).

1.2 猶豫模糊集

定義8[5]設X是一個給定集合,一個X上的猶豫模糊集A的定義如下:A∶{(x,hA(x))|x∈X},其中hA(x)是由區(qū)間[0,1]上若干個不同值構(gòu)成的集合,表示X中的元素x屬于集合A的若干種可能隸屬度.記X上的全體猶豫模糊集為HF(X).

如果P([0,1])為區(qū)間[0,1]的冪集,A為X上的猶豫模糊集.稱集合X(A,γ)∶={x∈X|γ?hA(x)}為A的猶豫水平集,并且γ∈P([0,1]).

2 Ω-猶豫模糊P理想

定義9設X上的Ω-猶豫模糊集A具有如下形式:A∶{(x,hA(x,q))|x∈X,q∈Ω}.

記X上的全體Ω-猶豫模糊集為Ω-HF(X).

定義10設A∈HF(X),對?x,y,z∈X,如果A滿足以下條件:

(i)hA(0)?hA(x);

(ii)hA(x)?hA((x*z)*(y*z))∩hA(y),

則稱A是X的猶豫模糊P理想.記X的全體猶豫模糊P理想為HFPI(X).

定義11設A∈Ω-HF(X),對?x,y,z∈X,q∈Ω,如果A滿足以下條件:

(iii)hA(0,q)?hA(x,q);

(iv)hA(x,q)?hA((x*y),q)∩hA(y,q),

則稱A是X的Ω-猶豫模糊理想.記X的全體猶豫模糊理想為Ω-HFI(X).

定義12設A∈Ω-HF(X),對?x,y,z∈X,?q∈Ω,如果A滿足以下條件:

(iii)hA(0,q)?hA(x,q);

(v)hA(x,q)?hA((x*z)*(y*z),q)∩hA(y,q),

則稱A是X的Ω-猶豫模糊P理想.記X上全體Ω-猶豫模糊P理想為Ω-HFPI(X).

例1(i) 每一個常數(shù)函數(shù)A∶X×Ω→[0,1]是X的Ω-猶豫模糊P理想.

(ii) 令X={0,a,b,c}是一個BCI代數(shù),且滿足下表:

表1 BCI代數(shù)

定義X上的Ω-猶豫模糊集如下:對任意的q∈Ω,hA(0,q)=0.8,hA(a,q)=0.6,hA(b,q)=hA(c,q)=0.5;通過計算可得A是X的Ω-猶豫模糊P理想.

性質(zhì)2若A∈Ω-HF(X),A∈Ω-HFPI(X).如果對?x,y∈X,且x≤y,那么有hA(x,q)?hA(y,q).

性質(zhì)3設A∈Ω-HFPI(X),如果?x∈X,q∈Ω,則有hA(x,q)?hA(0*(0*x),q)成立.

證因為A∈Ω-HFPI(X),則對?x,y,z∈X,?q∈Ω,有

hA(x,q)?hA((x*z)*(y*z),q)∩hA(y,q),

現(xiàn)在用x代替z,用0代替y,則有

hA(x,q)?hA((x*x)*(0*x),q)∩hA(0,q)=hA(0*(0*x),q)∩hA(0,q)=hA(0*(0*x),q).

定理1如果A∈Ω-HFPI(X),則A∈Ω-HFI(X).

證令A∈Ω-HFPI(X).對?x,y∈X,?q∈Ω,由于x*0=x,則有

hA(x,q)?hA((x*0)*(y*0),q)∩hA(y,q)=hA(x*y,q)∩hA(y,q).

因此,A∈Ω-HFI(X).

注 定理1的逆,即如果A是X上的Ω-猶豫模糊理想,不能得到A是X上的Ω猶豫模糊P理想,下面給出具體例子說明此結(jié)論.

例2令X={0,a,b,c,d}是一個BCI代數(shù),滿足下表:

表2 BCI代數(shù)

定義X上的Ω-猶豫模糊集如下:A∶X×Ω→[0,1],且對任意的q∈Ω,令

hA(0,q)=0.71,hA(a,q)=0.62,hA(b,q)=hA(c,q)=hA(c,q)=0.58;

根據(jù)計算可得A∈Ω-HFI(X).但是

hA(a,q)?hA((a*b)*(0*b),q)∩hA(0,q),

因此A?Ω-HFPI(X).

定理2設A∈Ω-HFPI(X),如果對?x,y,z∈X,?q∈Ω,則hA((x*z)*(y*z),q)?hA(x*y,q)成立.

證在BCI代數(shù)中有(x*z)*(y*z)≤x*y成立,則有

((x*z)*(y*z))*(x*y)=0.

因為A∈Ω-HFPI(X),則由定理1可得A∈Ω-HFI(X).即對?x,y,z∈X,?q∈Ω,有

hA((x*z)*(y*z),q)?hA(((x*z)*(y*z))*(x*y),q)∩hA(x*y,q)
=hA(0,q)∩hA(x*y,q)=hA(x*y,q).

定理3設A∈Ω-HFI(X),如果對?x,y,z∈X,?q∈Ω,有

hA((x*y)*(y*z),q)?hA(x*y,q)

成立,則有A∈Ω-HFPI(X).

證因為A∈Ω-HFI(X),對?x,y,z∈X,?q∈Ω,則有

hA((x*z)*(y*z),q)∩hA(y,q)?hA(y,q)∩hA(x*y,q)?hA(x,q)

和定義11(iii)成立,因此,A∈Ω-HFPI(X).

說明 若A∈Ω-HFI(X),則有hA(0*(0*x),q)?hA((0*(0*x))*x,q)∩hA(x,q).

定理4如果A∈Ω-HFI(X),則對?x∈X,?q∈Ω,有hA(x,q)?hA(0*(0*x),q)成立.

證若A∈Ω-HFI(X),則對?x∈X,?q∈Ω,有

hA(0*(0*x),q)?hA(0*(0*x)*x,q)∩hA(x,q)=hA(0,q)∩hA(x,q)=hA(x,q)

成立.

定理5設A∈Ω-HFI(X),如果對?x∈X,?q∈Ω,有hA(x,q)?hA(0*(0*x),q)成立,則有A∈Ω-HFPI(X).

證對?x,y,z∈X,?q∈Ω,因為A∈Ω-HFI(X),由定理4以及性質(zhì)1,有

hA((x*z)*(y*z),q)?hA(0*(0*((x*z)*(y*z))),q)=hA((0*y)*(0*x),q)
=hA(0*(0*(x*y)),q)?hA(x*y,q).

因此,由定理3可得,A∈Ω-HFPI(X).

定理6設A,B∈Ω-HF(X) ,如果A,B∈Ω-HFPI(X),則A∩B∈Ω-HFPI(X).

證由于A,B∈Ω-HFPI(X),因此對?x,y,z∈X,?q∈Ω,則

hA∩B(0,q)=hA(0,q)∩hB(0,q)?hA(x,q)∩hB(x,q)=hA∩B(x,q),

hA∩B(x,q)=hA(x,q)∩hB(x,q)

?(hA((x*z)*(y*z),q)∩hA(y,q))∩(hB((x*z)*(y*z),q)∩hB(y,q))

=(hA((x*z)*(y*z),q)∩hB((x*z)*(y*z),q))∩(hA(y,q)∩hB(y,q))

=hA∩B((x*z)*(y*z),q)∩hA∩B(y,q).

定義13設X和X′都是BCI代數(shù),f是X到X′的同態(tài)映射,A與B分別是X和X′上的Ω-猶豫模糊集,則由f可以誘導出兩個Ω-猶豫模糊集f(A)和f-1(B):

定理7X,X′是兩個BCI代數(shù),設f∶X→X′是同態(tài)滿射,B∈Ω-HF[X′],如果B∈Ω-IFPI[X′],則有f-1(B)∈Ω-IFPI[X].

證設

B={x,hB(x,q)|x∈X′,q∈Ω},f-1(B)={x,hf-1(B)(y,q)|x,y∈X′,q∈Ω}.

由于B∈Ω-IFPI[X′],因此對?x∈X,?q∈Ω,有

hf-1(B)(0,q)=hB(f(0),q)=hB(0′,q)?hB(f(x),q)=hf-1(B)(x,q),

對?y′,z′∈X′,?q∈Ω.因為f∶X→X′是同態(tài)滿射,所以?y,z∈X,使得f(y)=y′,f(z)=z′.則有

hf-1(B)(x,q)?hB((f(x)*z′)*(y′*z′),q)∩hB(y′,q)

=hB((f(x)*f(z))*(f(y)*f(z)),q)∩hB(f(y),q)

=hB(f((x*z)*(y*z)),q)∩hB(f(y),q)

=hf-1(B)((x*z)*(y*z),q)∩hf-1(B)(y,q),

因此f-1(B)∈Ω-IFPI[X].

定理8X,X′是兩個BCI代數(shù),設f∶X→X′是同態(tài)滿射,若A具有上確界且滿足A∈Ω-HFPI[X],則有f(A)∈Ω-HFPI[X′].

證設

A={x,hA(x,q))|x∈X,q∈Ω},

f(x)={y,hf(x)(y,q)|f(x)=y,y∈X,q∈Ω}.

由于0∈f-1(0′),則對?x∈X,?q∈Ω,有

對?x′∈X′,?q∈Ω,有

對?x′,y′,z′∈X′,?q∈Ω,令x0∈f-1(x′),y0∈f-1(y′),z0∈f-1(z′),則有

因此可得

綜上可得,f(A)∈Ω-HFPI[X′].

現(xiàn)在,研究如何用猶豫模糊P理想構(gòu)造Ω猶豫模糊P理想.

定理9X是一個BCI代數(shù),令Ω={A|A∈HFPI(X)},定義B∈Ω-HF(X),如果對?x∈X,?B∈Ω,hB(x,A)=hA(x), 則B∈Ω-HFPI(X).

證?x∈X,?A∈Ω,則有

hB(0,A)=hA(0)?hA(x)=hB(x,A).

?x,y,z∈X,?A∈Ω,可得

hB(x,A)=hA(x)?hA((x*z)*(y*z))∩hA(y)=hB((x*z)*(y*z),A)∩hB(y).

因此,B∈Ω-HFPI(X).

定義XΩ∶Ω→X,在XΩ上定義二元運算?:

(α?β)(q)=α(q)*β(q),α,β∈XΩ,q∈Ω,

則(XΩ,?,θ)是一個BCI代數(shù),且對q∈Ω,θ是XΩ上的零映射當且僅當θ(q)=0.

定理10設A∈HFPI(X),如果f∶XΩ×Ω→[0,1],其中hf(α,q)=hA(α(q)),α∈XΩ,q∈Ω.則f∈Ω-HFPI(XΩ).

證對α,β,γ∈XΩ,q∈Ω,有

hf(α,q)=hA(α(q))?hA(0)=hA(θ(q))=hf(θ,q),

hf(α,q)=hA(α(q))?hA((α(q)*γ(q))*(β(q)*γ(q)))∩hA(β(q))

=hA((α?γ)(q)*(β?γ)(q))∩hA(β(q))

=hA((α?γ)?(β?γ))(q))∩hA(β(q))

=hf((α?γ)?(β?γ),q)∩hf(β,q),

因此f∈Ω-HFPI(XΩ).

定理11令A∈Ω-HFPI(XΩ),對?q∈Ω,定義Aq∶X→[0,1],其中對?x∈X,hAq(x)=hA(x,q).則有Aq∈Ω-HFPI(X).

證對?x∈X,?q∈Ω,有

hAq(0)=hA(0,q)?hA(x,q)=hAq(x).

令x,y,z∈X,q∈Ω,則

hAq(x)=hA(x,q)?hA((x*z)*(y*z),q)∩hA(y,q)=hAq((x*z)*(y*z))∩hAq(y),

因此,Aq∈Ω-HFPI(X).

定理12令A∈Ω-HF(X),A∈Ω-HFPI(X)當且僅當對?γ∈[0,1],則有

R(A,γ)={x∈X|hA(x,q)?γ,q∈Ω}≠?

是X的P理想.

證假設A∈Ω-HFPI(X),由定義12可得,對?x∈X,q∈Ω,hA(0,q)?hA(x,q).因此,hA(0,q)?hA(x,q)?γ,所以0∈R(A,γ).

令(x*z)*(y*z)∈R(A,γ),y∈R(A,γ),則

hA((x*z)*(y*z),q)?γ,hA(y,q)?γ.

因為A∈Ω-HFPI(X),則有

hA(x,q)?hA((x*z)*(y*z),q)∩hA(y,q)?γ,

因此A∈Ω-HFPI(X).

反之,僅需要證明定義12中的(i)和(ii)成立.用反證法證明.

假設(i)不成立.則存在x′∈X,q′∈Ω,使得

hA(x′,q′)?hA(0,q′).

如果令γ′=[hA(x′,q′)+hA(0,q′)]/2,則有hA(x′,q′)?γ′?hA(0,q′).因此x′∈A且R(A,γ)≠?.因為R(A,γ)是X的P理想,則有0∈R(A,γ),因此γ′?hA(0,q′).產(chǎn)生矛盾.

假設(ii)不成立.則存在x′,y′,z′∈X,q′∈Ω,有

hA(x′,q′)?hA((x′*z′)*(y′*z′),q′)∩hA(y′,q′).

令

γ′=[hA(x′,q′)+hA((x′*z′)*(y′*z′),q′)∩hA(y′,q′)]/2,

則

hA(x′,q′)?γ′?hA((x′*z′)*(y′*z′),q′)∩hA(y′,q′),

因此可得

γ′?hA((x′*z′)*(y′*z′),q′),γ′?hA(y′,q′),

即(x′*z′)*(y′*z′)∈R(A,γ),y′∈R(A,γ).因為R(A,γ)是X的P理想,則有x′∈R(A,γ),并且hA(x′,q′)?γ′.這仍然矛盾.

定理13若A∈Ω-HFPI(X),則對?x0∈X,Ix0={x∈X|hA(x,q)?hA(x0,q),q∈Ω}≠?是X的P理想.

Ix0={x∈X|hA(x,q)?hA(x0,q),q∈Ω}

是X的P理想.

3 Ω-猶豫模糊P理想的乘積

定義14設ξ是X上的一個Ω-猶豫模糊關系,則稱ξ是X×X上的Ω猶豫模糊集.其中ξ定義如下:ξ∶(X×X)×Ω→[0,1].

定義15設A,B∈Ω-HF(X),對?x,y∈X,q∈Ω,A和B的乘積A×B定義如下:

hA×B((x,y),q)=hA(x,q)∩hB(y,q).

引理1令A,B∈Ω-HF(X),則以下結(jié)論成立:

(i)A×B是X上的Ω-猶豫模糊關系;(ii)?t∈[0,1],(A×B)t=At×Bt.

定義16設A∈Ω-HF(X),則X上的強Ω-猶豫模糊關系ξ0是X×X上的Ω猶豫模糊集,且ξ0定義如下:hξ0((x,y),q)=hA(x,q)∩hB(y,q),?x,y∈X,q∈Ω.

引理2設A∈Ω-HF(X),如果ξ0是X上的強Ω-猶豫模糊關系,則對?t∈[0,1],有(ξ0)t=At×At.

定理14設A∈Ω-HF(X),ξ0是X上的強Ω-猶豫模糊關系.如果ξ0是X×X上的Ω猶豫模糊P理想,則對?x∈X,q∈Ω,有hA(0,q)?hA(x,q)成立.

證因為ξ0是X×X上的Ω猶豫模糊P理想,即對?x∈X,q∈Ω,hξ0((0,0),q)?hξ0((x,x),q).因此

hA(0,q)∩hA(0,q)?hA(x,q)∩hA(x,q),

由此可得hA(0,q)?hA(x,q).

定理15令A,B∈Ω-HFPI(X),則A×B∈Ω-HFPI(X×X).

證對?(x,y)∈X×X,q∈Ω,由于A,B∈Ω-HFPI(X),首先

hA×B((0,0),q)=hA(0,q)∩hB(0,q)?hA(x,q)∩hB(y,q)=hA×B((x,y),q).

又令(x1,x2),(y1,y2),(z1,z2)∈X×X,q∈Ω,則有

hA×B(((x1,x2)*(z1*z2))*((y1,y2)*(z1*z2)),q)∩hA×B((y1,y2),q)

=hA×B(((x1*z1,x2*z2)*(y1*z1,y2*z2),q)∩hA×B((y1,y2),q)

=hA×B(((x1*z1)*(y1*z1),(x2*z2)*(y2*z2)),q)∩hA×B((y1,y2),q)

=hA(((x1*z1)*(y1*z1),q)∩hB((x2*z2)*(y2*z2),q)∩hA(y1,q)∩hB(y2,q)

=hA((x1*z1)*(y1*z1),q)∩hA(y1,q)∩hB((x2*z2)*(y2*z2),q)∩hB(y2,q)

?hA(x1,q)∩hB(y1,q)=hA×B((x1,y1),q).

即證A×B∈Ω-HFPI(X×X).

定理16A,B∈Ω-HF(X),如果A×B∈Ω-HFPI(X×X),則以下結(jié)論成立:

(i) ?x∈X,q∈Ω,hA(x,q)?hA(0,q)或hB(x,q)?hB(0,q)成立.

(ii) ?x∈X,q∈Ω,若hA(x,q)?hA(0,q),可得hA(x,q)?hB(0,q)或者hB(x,q)?hB(0,q)成立.

(iii) ?x∈X,q∈Ω,若hB(x,q)?hB(0,q),可得hA(x,q)?hA(0,q)或者hB(x,q)?hA(0,q)成立.

(iv)A∈Ω-HFPI(X)或B∈Ω-HFPI(X).

證(i)假設對?x,y∈X,q∈Ω,hA(x,q)?hA(0,q)和hB(y,q)?hB(0,q)成立.則有

hA×B((0,0),q)=hA(0,q)∩hB(0,q)?hA(x,q)∩hB(y,q)=hA×B((x,y),q).

產(chǎn)生矛盾.因此(i)成立.

(ii)假設存在x,y∈X,q∈Ω,hA(x,q)?hA(0,q)和hB(y,q)?hB(0,q)成立.因此

hA×B((0,0),q)=hA(0,q)∩hB(0,q)=hB(0,q).

即

hA×B((0,0),q)=hB(0,q)?hA(x,q)∩hB(y,q)=hA×B((x,y),q).

產(chǎn)生矛盾,因此(ii)成立.

(iii)證明同(ii).

(iv)對?x,y∈X,q∈Ω,由(i)可得hA(x,q)?hA(0,q)或hB(x,q)?hB(0,q)成立.假設hB(x,q)?hB(0,q),由(iii)可得hA(x,q)?hA(0,q)或hB(x,q)?hA(0,q)成立.如果對?x∈X,q∈Ω,hB(x,q)?hA(0,q),則有

hA×B((0,x),q)=hA(0,q)∩hB(x,q)=hB(x,q).

令(x1,x2),(y1,y2),(z1,z2)∈X×X,q∈Ω,因為A×B∈Ω-HFPI(X×X),有

hA×B((x1,y1),q)?hA×B((x1,x2)*(z1,z2))*((y1,y2)*(z1,z2)),q)∩hA×B((y1,y2),q)

=hA×B(((x1*z1)*(y1*z1),(x2*z2)*(y2*z2)),q)∩hA×B((y1,y2),q).

(1)

如果令x1=y1=z1=0,則

hB(x2,q)=hA×B((0,x2),q)

?hA×B((0,(x2*z2)*(y2*z2)),q)∩hA×B((0,y2),q)

=hA(0,q)∩hB((x2*z2)*(y2*z2),q)∩hA(0,q)∩hB(y2,q)

=hB((x2*z2)*(y2*z2),q)∩hB(y2,q).

即證B∈Ω-HFPI(X×X).

現(xiàn)在考慮對?x∈X,q∈Ω,有hA(x,q)?hA(0,q)成立.假設對?x∈X,q∈Ω,有hB(y,q)?hA(0,q)成立.則

hB(0,q)?hB(y,q)?hA(0,q).

因為hA(x,q)?hA(0,q),則有hB(0,q)?hA(x,q).因此

hA×B((x,0),q)=hA(x,q)∩hB(0,q)=hA(x,q).

在(1)中,令x2=y2=z2=0,則有

hA(x1,q)=hA×B((x1,0),q)

?hA×B(((x1*z1)*(y1*z1),0),q)∩hA×B((y1,0),q)

=hA((x1*z1)*(y1*z1),q))∩hB(0,q)∩hA(y1,q)∩hB(0,q)

=hA((x1*z1)*(y1*z1),q)∩hB(y1,q).

即證A∈Ω-HFPI(X×X).

現(xiàn)在給出具體例子說明,如果A×B∈Ω-HFPI(X×X),則A和B不一定是X的Ω猶豫模糊P理想.

例3X是一個BCI代數(shù),且|X|≥2.定義X上的Ω-猶豫模糊集,對?x∈X,q∈Ω,分別定義

則

hA×B((x,y),q)=hA(x,q)∩hB(y,q)=0.4,

即A×B是常函數(shù),因此A×B∈Ω-HFPI(X×X).現(xiàn)在有A∈Ω-HFPI(X),但是當x≠0時,有

hB(0,q)=0.6<1=hB(x,q),

所以B?Ω-HFPI(X).

定理17設A∈Ω-HF(X),ξ0是X上的強Ω-猶豫模糊關系.則A∈Ω-HFPI(X)當且僅當ξ0∈Ω-HFPI(X×X).

證假設A∈Ω-HFPI(X),對?x,y∈X,q∈Ω,有

hξ0((0,0),q)=hA(0,q)∩hA(0,q)?hA(x,q)∩hA(y,q)=hξ0((x,y),q).

對?(x,x′),(y,y′),(z,z′)∈X×X,q∈Ω.有

hξ0((x,x′),q)=hA(x,q)∩hA(x′,q)

?[hA((x*z)*(y*z),q)∩hA(y,q)]∩[hA((x′*z′)*(y′*z′),q)∩hA(y′,q)]

=[hA((x*z)*(y*z),q)∩hA((x′*z′)*(y′*z′),q)]∩hA(y,q)∩hA(y′,q)

=hξ0(((x*z)*(y*z),(x′*z′)*(y′*z′)),q)∩hξ0((y,y′),q)

=hξ0((x*z,x′*z′)*(y*z,y′*z′),q)∩hξ0((y,y′),q)

=hξ0((x,x′)*(z,z′))*((y,y′)*(z,z′)),q)∩hξ0((y,y′),q),

因此ξ0∈Ω-HFPI(X×X).

反之,假設ξ0∈Ω-HFPI(X×X),則對?x∈X,q∈Ω,

hA(0,q)=hξ0((0,0),q)?hξ0((x,x),q)=hA(x,q).

對?(x,x′),(y,y′),(z,z′)∈X×X,q∈Ω.則有

hA(x,q)∩hA(x′,q)=hξ0((x,x′),q)

?hξ0((x,x′)*(z,z′))*((y,y′)*(z,z′)),q)∩hξ0((y,y′),q)

=hξ0((x*z,x′*z′)*(y*z,y′*z′),q)∩hξ0((y,y′),q)

=hξ0(((x*z)*(y*z),(x′*z′)*(y′*z′)),q)∩hξ0((y,y′),q)

=[hA((x*z)*(y*z),q)∩hA((x′*z′)*(y′*z′),q)]∩hA(y,q)∩hA(y′,q)
=[hA((x*z)*(y*z),q)∩hA(y,q)]∩[hA((x′*z′)*(y′*z′),q)∩hA(y′,q)].

特別地,如果令x′=y′=z′=0,則

hA(x,q)?hA((x*z)*(y*z),q)∩hA(y,q).

因此A∈Ω-HFPI(X).

4 結(jié) 論

作為模糊集一個重要的分支,猶豫模糊集對研究BCI代數(shù)有非常重要的理論意義. 許多文獻在研究了BCI代數(shù)理論時,側(cè)重點主要是此代數(shù)中的濾子和理想等相關性質(zhì).本文在相關概念的基礎上研究了BCI代數(shù)的Ω-猶豫模糊P理想,討論了它的一些性質(zhì),豐富了BCI代數(shù)和猶豫模糊集的理論研究.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.