付芳芳, 許道軍, 夏夢(mèng)雪

(陸軍炮兵防空兵學(xué)院 基礎(chǔ)部,合肥 230031)

0 引 言

本節(jié)位于假設(shè)檢驗(yàn)這一章的第一節(jié),其特點(diǎn)是概念多、內(nèi)容雜、較抽象、難理解.共涉及8個(gè)新概念,傳統(tǒng)的授課方式先介紹所有抽象概念再講解例題,大多數(shù)學(xué)生會(huì)有種囫圇吞棗的感覺(jué),對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)的思想和原理還是理解不透徹,只知道有若干公式和程式化的解題步驟,只會(huì)生搬硬套,遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)卻不知道如何利用假設(shè)檢驗(yàn)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷.

目前,針對(duì)本科生“假設(shè)檢驗(yàn)基本概念”章節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)能查閱到的文獻(xiàn)較少,有的側(cè)重翻轉(zhuǎn)課堂的使用[1],有的側(cè)重思政元素的融入[2],有的側(cè)重部分知識(shí)點(diǎn)的探討[3],文獻(xiàn)[4]中也對(duì)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行了重新設(shè)計(jì),但沒(méi)有充分利用離散型案例揭示的檢驗(yàn)思想去解決后面的連續(xù)型案例,而是繼續(xù)沿用傳統(tǒng)教材的解決方法,沒(méi)有將前后案例有效銜接,沒(méi)有將離散型和連續(xù)型案例充分聯(lián)系.本文是在基于學(xué)為主體充分體現(xiàn)、思政元素有效融入、前后案例緊密銜接等原則下,提出的案例分析問(wèn)題主導(dǎo)式的教學(xué)設(shè)計(jì),力爭(zhēng)做到知識(shí)傳授、能力培養(yǎng)、價(jià)值引領(lǐng)三者有機(jī)融合.

1 內(nèi)容設(shè)計(jì)

1.1 檢驗(yàn)思想

上課開(kāi)始,先提問(wèn)同學(xué)們,香甜可口的奶茶是否都喝過(guò)?喝奶茶的時(shí)候是否能鑒別出所喝的奶茶是由先倒茶后倒牛奶還是由先倒牛奶后倒茶制作出來(lái)的? 進(jìn)而引入統(tǒng)計(jì)學(xué)歷史故事——女士品茶問(wèn)題.

引例1Fisher的女士品茶問(wèn)題:一種飲料由牛奶和茶按照一定比例混合而成,可以先倒茶后倒牛奶(TM)或者反過(guò)來(lái)(MT).某女士稱(chēng),她可以鑒別是TM還是MT.

Fisher的試驗(yàn)設(shè)計(jì) 準(zhǔn)備8杯以?xún)煞N方式?jīng)_泡的奶茶,TM和MT各半,把它們隨機(jī)的排成一列請(qǐng)?jiān)撆科穱L,并告訴她TM和MT各半,然后請(qǐng)她說(shuō)出哪4杯是TM,結(jié)果她全說(shuō)對(duì)了.

與學(xué)生共同分析該案例,由于此試驗(yàn)結(jié)果是一個(gè)小概率事件,故由小概率原理,得出此試驗(yàn)結(jié)果為推翻H0提供了足夠充分的證據(jù),因此判定該女士有鑒別能力.

介紹女士品茶試驗(yàn)設(shè)計(jì)在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的重要意義,帶領(lǐng)學(xué)生一起提煉Fisher檢驗(yàn)方法的基本思想(如圖1所示),同時(shí)引入概念1原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1.

圖1 假設(shè)檢驗(yàn)基本思想分支圖

利用Fisher這一實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)過(guò)程融入思政元素.

課程思政1在生活中要善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并勤于思考,生活處處皆學(xué)問(wèn),作為未來(lái)的指揮軍官,同學(xué)們更應(yīng)具備這種素質(zhì).

問(wèn)題1如果該女士說(shuō)對(duì)三杯,則情況怎樣?

問(wèn)題2概率到底多小才算是小概率呢?有沒(méi)有一個(gè)衡量標(biāo)準(zhǔn)?進(jìn)而引入概念2顯著性水平α.

問(wèn)題3指出軍事和生活領(lǐng)域的判定問(wèn)題比女士品茶的復(fù)雜之處.提問(wèn)如何進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn),引入例1,學(xué)生通過(guò)求解例1理解假設(shè)檢驗(yàn)的方法步驟.

1.2 檢驗(yàn)方法

例1彈藥經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期儲(chǔ)存其質(zhì)量是否會(huì)發(fā)生變化?現(xiàn)上級(jí)主管部門(mén)對(duì)某后方彈藥庫(kù)中的彈藥進(jìn)行隨機(jī)抽樣檢驗(yàn),共隨機(jī)抽取9發(fā)炮彈進(jìn)行發(fā)射試驗(yàn),測(cè)得數(shù)據(jù)如下,801,790,798,792,799,797,799,797,801,已知炮彈總體初速X～N(μ,σ2), 根據(jù)這些數(shù)據(jù)能否判斷出這批彈炮彈的初速是否符合表定初速800m/s?(給定α=0.05)

解H0:μ=μ0,H1:μ≠μ0.

若H0成立,

查表得C′=t0.025(8)=2.3060,而P(|t|≥2.306)=0.05,因?yàn)?.288<2.306,所以P(|t|≥2.288)>0.05,說(shuō)明這樣的試驗(yàn)結(jié)果不構(gòu)成一個(gè)小概率事件,故由圖1,接受H0,即根據(jù)此次抽樣結(jié)果判定這批炮彈的初速仍然符合表定初速.

在和學(xué)生共同求解例1的過(guò)程中引入概念3檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和概念4拒絕域,并融入思政元素.

課程思政2透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì).

通過(guò)例1讓學(xué)生總結(jié)假設(shè)檢驗(yàn)的方法步驟:提假設(shè),構(gòu)造小概率事件,選擇檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,查表計(jì)算,比大小作決策.

雖然例1解決了,但還有更多的細(xì)節(jié)問(wèn)題沒(méi)有考慮,進(jìn)而請(qǐng)學(xué)生分組討論以下問(wèn)題.

問(wèn)題4類(lèi)似引例和例1這種判決問(wèn)題在做判決時(shí)還有可能犯哪些錯(cuò)誤?

問(wèn)題5假設(shè)H0和H1可以調(diào)換嗎?女士品茶問(wèn)題中,可以事先假定該女士有鑒別能力嗎?炮彈初速檢驗(yàn)問(wèn)題中,可以將炮彈初速不符合表定初速作為原假設(shè)H0嗎?

問(wèn)題6例1中的樣本均值經(jīng)過(guò)計(jì)算為797.11m/s,是小于表定初速的.由于實(shí)際中,通常關(guān)心的是炮彈經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期儲(chǔ)存,其初速是否會(huì)明顯降低,所以將問(wèn)題“是否符合”表定初速修改為“是否小于”表定初速,檢驗(yàn)過(guò)程會(huì)有哪些變化?

第一課時(shí)結(jié)束,在例1的基礎(chǔ)上留給學(xué)員問(wèn)題4和5,引入下一課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容,兩類(lèi)錯(cuò)誤和提假設(shè)的原則等其它概念.

1.3 兩類(lèi)錯(cuò)誤、提假設(shè)的原則

為了解決問(wèn)題4,先查看學(xué)生課前討論題的回答情況.

課前討論題無(wú)罪推定原則中,在現(xiàn)有證據(jù)下,法官作判決時(shí)有可能會(huì)犯哪些錯(cuò)誤?

學(xué)生普遍給出以下兩類(lèi)錯(cuò)誤,錯(cuò)誤1,嫌疑人實(shí)際無(wú)罪,但法官根據(jù)現(xiàn)有證據(jù)做出了有罪的判決;錯(cuò)誤2,嫌疑人實(shí)際有罪,但法官認(rèn)為現(xiàn)有證據(jù)不夠充分做出了無(wú)罪的判決.

問(wèn)題7可以同時(shí)避免犯這兩類(lèi)錯(cuò)誤嗎?可以同時(shí)降低犯這兩類(lèi)錯(cuò)誤發(fā)生的可能性嗎?在樣本容量一定的情況下,能同時(shí)降低這兩類(lèi)錯(cuò)誤發(fā)生的概率嗎?

分析 在樣本容量一定時(shí),想要降低棄真錯(cuò)誤,就會(huì)減少拒絕H0而增加接受H0的決策,故又增加了取偽錯(cuò)誤.

結(jié)論 只能采取一個(gè)折中的辦法.進(jìn)而引入概念6奈曼和皮爾遜原則和概念7顯著性假設(shè)檢驗(yàn).

通過(guò)分析奈曼和皮爾遜原則得出H0和H1的地位并不是對(duì)等的,H0不能輕易被拒絕,是受保護(hù)的,進(jìn)而引入概念8提假設(shè)的原則 .

原則1(棄真后果更嚴(yán)重原則)發(fā)生棄真錯(cuò)誤所帶來(lái)的后果遠(yuǎn)大于發(fā)生取偽錯(cuò)誤所帶來(lái)的后果,則將該結(jié)論作為原假設(shè)H0,其對(duì)立面為備擇假設(shè)H1.例如,防空預(yù)警系統(tǒng)中的目標(biāo)探測(cè)問(wèn)題,H0:“目標(biāo)存在”;H1:“目標(biāo)不存在”.2021年新冠病毒感染期間,一旦出現(xiàn)高燒,H0:被感染;H1:未被感染.

原則2(無(wú)改變?cè)瓌t)一般將維持現(xiàn)狀的結(jié)論作為原假設(shè)H0,而將改變現(xiàn)狀的結(jié)論作為備擇假設(shè)H1.例如,炮彈初速檢驗(yàn)問(wèn)題,H0:初速均值μ=μ0;H1:初速均值μ≠μ0.

概率統(tǒng)計(jì)中一般將貌似正確的結(jié)論(僅通過(guò)計(jì)算樣本值形成的直觀結(jié)論)作為備擇假設(shè)H1,其對(duì)立面為原假設(shè)H0,并融入思政元素.

課程思政3有時(shí)眼見(jiàn)不一定為實(shí),需要進(jìn)一步驗(yàn)證.

解決了問(wèn)題4,再利用以上知識(shí)詳細(xì)講解問(wèn)題5和問(wèn)題6.

問(wèn)題5解答女士品茶問(wèn)題中,正常人是無(wú)鑒別能力,故依據(jù)無(wú)改變?cè)瓌t,應(yīng)將“無(wú)鑒別能力”作為原假設(shè)H0. 炮彈初速檢驗(yàn)問(wèn)題中,由于炮彈初速原本是符合表定初速的,故依據(jù)無(wú)改變?cè)瓌t,將“符合表定初速”作為原假設(shè)H0.

問(wèn)題6解答H0:μ≥μ0,H1:μ<μ0.

而P{t≤-t0.05(8)}=0.05,查表得-t0.05(8)=-1.86,因?yàn)?2.288<-1.86,所以P{t≤-2.288}<0.05,故由圖1,拒絕H0,即根據(jù)此次抽樣結(jié)果判定這批炮彈的實(shí)際初速是小于表定初速的.

課程思政4僅僅是兩個(gè)字的不同,但結(jié)論截然不同,所以對(duì)待問(wèn)題一定要有一個(gè)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度.

課后思考題1為何問(wèn)法不同,結(jié)論截然不同,引起這一不同的原因是什么?這給了在用假設(shè)檢驗(yàn)作判決時(shí)哪些啟示?

課后思考題2例1中的兩種不同問(wèn)法,它們的求解過(guò)程有哪些共同點(diǎn)與不同點(diǎn)?

2 教學(xué)效果評(píng)價(jià)

課程組成員在對(duì)2020級(jí)15個(gè)教學(xué)班學(xué)情分析的基礎(chǔ)上,選取了6個(gè)學(xué)情相當(dāng)?shù)慕虒W(xué)班進(jìn)行課堂教學(xué)隨堂測(cè)試,其中3個(gè)教學(xué)班采用傳統(tǒng)設(shè)計(jì)教學(xué),3個(gè)教學(xué)班采用本設(shè)計(jì)教學(xué).針對(duì)學(xué)生在知識(shí)點(diǎn)的基本理解、簡(jiǎn)單運(yùn)用、綜合分析三個(gè)認(rèn)知層次共設(shè)計(jì)了10道題,根據(jù)愛(ài)課堂平臺(tái)反饋的數(shù)據(jù),將測(cè)試結(jié)果分別統(tǒng)計(jì)到表1和表2中,其中定義掌握程度=平均答題率×平均正確率[7].

表1 傳統(tǒng)設(shè)計(jì)講解隨堂測(cè)試結(jié)果統(tǒng)計(jì)

表2 本設(shè)計(jì)講解隨堂測(cè)試結(jié)果統(tǒng)計(jì)

對(duì)于本設(shè)計(jì)還在3個(gè)教學(xué)班共195人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查(見(jiàn)表3),滿(mǎn)意度分布如圖2所示,學(xué)生的評(píng)價(jià)和建議見(jiàn)表4,聽(tīng)課的校級(jí)督導(dǎo)專(zhuān)家、教研室同行也給出了很高的評(píng)價(jià),在基礎(chǔ)部共126名教員中教學(xué)評(píng)價(jià)綜合排名始終位于部系前10名,學(xué)習(xí)效果和學(xué)員評(píng)教得分均位于數(shù)學(xué)教研室共32名教員中前列,見(jiàn)表5.

表3 調(diào)查問(wèn)卷

表4 隨機(jī)抽取部分學(xué)生評(píng)價(jià)及建議

表5 2020和2021學(xué)院教學(xué)評(píng)價(jià)結(jié)果

案例剖析問(wèn)題主導(dǎo)式的教學(xué)設(shè)計(jì)是學(xué)院進(jìn)行課程體系化改造中的重要一項(xiàng),以此為基礎(chǔ)的實(shí)際課堂教學(xué)競(jìng)賽在2021年6月的首屆全國(guó)數(shù)學(xué)課程創(chuàng)新示范交流活動(dòng)中獲得軍隊(duì)賽區(qū)第二名,在2021年10月的陸軍教壇之星教學(xué)比武中獲得陸軍第四名,2022年1月全國(guó)職業(yè)院校技能大賽教學(xué)能力比賽中獲全國(guó)三等獎(jiǎng).

3 結(jié) 論

整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)主要在以下兩個(gè)方面進(jìn)行了有效嘗試并取得了良好的教學(xué)效果:(i)以案例分析為主線,提煉知識(shí)點(diǎn).精選軍事案例、層層剖析,注重啟發(fā)引導(dǎo)、強(qiáng)化知識(shí)生成,使教學(xué)過(guò)程更加符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律.(ii)以思維創(chuàng)新為導(dǎo)向,設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈.在導(dǎo)入新課、講授新課及新課小結(jié)時(shí)均設(shè)置了相關(guān)問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生思考、探究,成為分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的主角,有效提升他們的思維創(chuàng)新能力.

案例剖析問(wèn)題主導(dǎo)式的教學(xué)設(shè)計(jì),可以幫助學(xué)生提高對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析探究能力,對(duì)思想方法的總結(jié)歸納能力,和對(duì)抽象概念的類(lèi)比簡(jiǎn)化能力.融入的課程思政元素能夠瞄準(zhǔn)軍事問(wèn)題,幫助學(xué)生增強(qiáng)學(xué)習(xí)動(dòng)力,體驗(yàn)數(shù)學(xué)之重,同時(shí)通過(guò)探索數(shù)據(jù)規(guī)律,幫助學(xué)生強(qiáng)化理性決策,感受數(shù)學(xué)之威.

致謝特別感謝陸軍炮兵防空兵學(xué)院王金山教授給出的設(shè)計(jì)思路,以及與丁玲、張?jiān)品虇T的有益討論,同時(shí)非常感謝審稿專(zhuān)家提出的寶貴意見(jiàn)以及參考文獻(xiàn)對(duì)本文工作的啟發(fā).