羅皓洋, 龔海林, 余美奇, 熊靜妍

(1.江西師范大學(xué) 物理與通信電子學(xué)院,南昌 330022; 2.江西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,南昌 330022; 3.江西師范大學(xué) 國(guó)際教育學(xué)院,南昌 330022)

0 引 言

在電子產(chǎn)品生產(chǎn)過(guò)程中,將電子元件自動(dòng)焊接至電路板上的方式是將電路板放置在回焊爐中加熱.生產(chǎn)過(guò)程中為保證較高產(chǎn)品質(zhì)量,需要回焊爐的各部分保持工藝要求的溫度.目前,該領(lǐng)域相關(guān)工作需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試來(lái)進(jìn)行控制和調(diào)整,本文以2020年“高教杯”全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題“爐溫曲線”為例進(jìn)行研究[1].

該賽題設(shè)定了生產(chǎn)工藝中的一些參數(shù)條件(具體內(nèi)容可參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]),要求參賽選手得出對(duì)應(yīng)的爐溫曲線,并進(jìn)行優(yōu)化研究.根據(jù)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)發(fā)布的優(yōu)秀論文展示[2]:編號(hào)A195的文章對(duì)爐溫曲線的優(yōu)化采用雙目標(biāo)非線性規(guī)劃進(jìn)行求解,考慮了不同目標(biāo)的優(yōu)先級(jí),改進(jìn)了規(guī)劃求解算法.但忽略了熱輻射對(duì)爐溫曲線的影響,在刻畫(huà)峰值溫度時(shí)容易產(chǎn)生偏差.編號(hào)A212的文章采用了多重搜索法與模擬退火算法進(jìn)行求解,避免搜索結(jié)果陷入局部最優(yōu).雖然降低了一定的運(yùn)算量,但是所采用模擬退火算法耗時(shí)較長(zhǎng),所得最優(yōu)解存在較大誤差.編號(hào)A147的文章在對(duì)爐溫曲線優(yōu)化求解時(shí),采用了爬山、A*等人工智能算法,使得結(jié)果更加精確,但是遍歷空間過(guò)大,容易導(dǎo)致程序運(yùn)行緩慢.

本文在充分考慮熱輻射對(duì)爐溫曲線影響的基礎(chǔ)上,綜合考慮各種傳熱方式,并設(shè)定合理的邊界條件,構(gòu)建了改進(jìn)的熱傳導(dǎo)方程,模型求解模擬所得溫度分布曲線與根據(jù)實(shí)驗(yàn)所測(cè)數(shù)據(jù)所得曲線基本重合,擬合優(yōu)度高,所得模型結(jié)果能很好地用于爐內(nèi)溫度分布的預(yù)測(cè),為實(shí)際生產(chǎn)工作提供了可靠的現(xiàn)實(shí)依據(jù).同時(shí),模型求解簡(jiǎn)單直觀,程序運(yùn)行也較快.

1 非線性瞬態(tài)傳熱數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 基本理論

① 熱傳遞基本方式

在熱力學(xué)過(guò)程中,有三種基本的熱傳遞方式:熱傳導(dǎo)、熱對(duì)流和熱輻射.

(i) 熱傳導(dǎo):因?qū)w內(nèi)部存在的溫差或溫度梯度引起自由電子發(fā)生移動(dòng)進(jìn)而實(shí)現(xiàn)熱量傳遞.固、液、氣三相均存在此種傳熱方式.主要以傅里葉定律為依據(jù)計(jì)算[3].

(ii) 熱對(duì)流:流體質(zhì)點(diǎn)因運(yùn)動(dòng)發(fā)生相對(duì)位移而導(dǎo)致熱量傳遞.主要以牛頓冷卻定律為依據(jù)計(jì)算.

(iii) 熱輻射:受熱物體內(nèi)部原子振動(dòng)形成的電磁波能量傳遞,任何物體均可發(fā)生.

② 邊界條件

對(duì)于導(dǎo)熱問(wèn)題,為確保其具有唯一解,往往需附加一定的邊界條件和初始條件,此類問(wèn)題一般來(lái)說(shuō)有三類邊界條件.以T(x,y,z,t)作為溫度分布函數(shù),Γ作為物體邊界進(jìn)行以下說(shuō)明.

(i) 第一類邊界條件:規(guī)定邊界上的溫度值為

T(x,y,z,t)|(x,y,z)∈Γ=f(x,y,z,t);

(ii) 第二類邊界條件:規(guī)定邊界上的熱流密度為

(iii) 第三類邊界條件:規(guī)定邊界上物體同其相接觸流體介質(zhì)間的對(duì)流傳熱系數(shù)與溫度為

1.2 模型假設(shè)

(i) 假設(shè)開(kāi)始加工時(shí)爐內(nèi)空氣穩(wěn)定;

(ii) 假設(shè)傳熱過(guò)程中產(chǎn)生的耗散熱忽略不計(jì);

(iii) 假設(shè)題目附件中所給的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)信息真實(shí)可靠;

(iv) 不考慮電子元件材料種類、質(zhì)量等指標(biāo)對(duì)溫度傳感器及焊接效率的影響;

(v) 假設(shè)溫區(qū)間隙處溫度是恒定的,同時(shí)不考慮回焊爐系統(tǒng)內(nèi)部熱源的影響;

(vi) 假設(shè)電子元件進(jìn)入回焊爐的過(guò)程中,內(nèi)部熱源的影響可以忽略,y,z方向上各狀態(tài)參數(shù)穩(wěn)定不變,即只需要考慮電子元件沿傳送帶運(yùn)動(dòng)方向(x方向)上的溫度變化.

1.3 模型建立

1.3.1 吸熱過(guò)程分析

以焊板為研究對(duì)象,以其類型下的印制電路板組裝件(Printed Circuit Board Assembly, 簡(jiǎn)稱PCBA)為例,分析其吸熱過(guò)程.在回流焊接過(guò)程中,PCBA吸收的熱量可由式(1)表示[4]:

QPCBA=mcp(T(t)-T(i)),

(1)

式中,m為組件質(zhì)量(單位kg),cp為質(zhì)量定壓熱容(單位J/(kg·K)).

PCBA在回焊爐中存在三種熱量傳遞方式,分別為:熱傳導(dǎo)、熱對(duì)流和熱輻射.

對(duì)于PCBA,因其在傳送導(dǎo)軌上通過(guò)時(shí)僅吸收極少的熱量,所以可以認(rèn)為熱傳導(dǎo)過(guò)程對(duì)其傳熱影響可忽略不計(jì)[5].對(duì)其對(duì)流與輻射傳熱兩個(gè)過(guò)程,基于牛頓冷卻定律,可由式(2)-(3)表征:

Qc=hcAPCBA(Tair-TPCBA),

(2)

式中,Tair為熱風(fēng)溫度(K),TPCBA為PCBA(含元器件)溫度(K).

Qr=hcAPCBA(Tair-TPCBA),

(3)

同時(shí),對(duì)流傳熱還受到熱風(fēng)溫度、與PCBA的接觸面積等因素影響.

1.3.3 PCBA瞬間受熱過(guò)程分析

對(duì)單位時(shí)間內(nèi)的焊接過(guò)程,有[6]

QPCBA=Qc+Qe.

(4)

由式(1)～(4)可得

mc(T(t)-T(i))=[hc+hr]APCBA(Tair-TPCBA).

(5)

對(duì)于瞬間傳熱有[7]:

患兒進(jìn)行內(nèi)科介入治療/外科手術(shù)前，SPE組成員首先評(píng)估患兒及家屬的心理狀態(tài)和應(yīng)對(duì)情況，有針對(duì)性地給予圍術(shù)期健康教育和心理輔導(dǎo)，同時(shí)將相關(guān)信息及時(shí)反饋給介入中心/手術(shù)室的責(zé)任護(hù)士，有利于醫(yī)務(wù)人員更好地從生理、心理和社會(huì)等方面連續(xù)性照護(hù)患兒。

(6)

變換為積分式:

(7)

1.4 模型求解

1.4.1 參數(shù)的選取

對(duì)回焊爐系統(tǒng),建立了單溫區(qū)爐腔模型,如圖1所示.

圖1 單溫區(qū)爐腔模型

為不失一般性,分別取單溫區(qū)長(zhǎng)度L=300mm,高度G=2H=200mm,寬度W=300mm,噴孔直徑D=10mm,噴孔間距S=50mm,爐腔上下壁具有相同的噴孔分布.以下是參考文獻(xiàn)[4-7]后選定的各溫區(qū)參數(shù)計(jì)算表.

1.4.2 方程的求解與實(shí)現(xiàn)

基于表1中給出的參數(shù)計(jì)算表,同時(shí)對(duì)式(6),為利于編程求解,將其轉(zhuǎn)換為差分方程:

表1 各溫區(qū)參數(shù)計(jì)算表

(8)

1.4.3 模型的結(jié)果與分析

通過(guò)相關(guān)參數(shù)的選取配合MATLAB的編程實(shí)現(xiàn),得到了以下結(jié)果:

t3=66.3462℃,t6=148.2692℃,t7=175.5769℃,t8=214.6154℃.

其中t3,t6,t7,t8分別對(duì)應(yīng)小溫區(qū)3,6,7中點(diǎn)及小溫區(qū)8結(jié)束處焊接區(qū)域中心的溫度.同時(shí)得到了初步模擬的爐溫曲線與不同時(shí)間下的溫度曲線,如圖2所示.

圖2 (a) 初步模擬得到的爐溫曲線;(b) 溫度求解曲線

同時(shí),考慮模型方程中一些參數(shù)存在的波動(dòng),對(duì)此進(jìn)行了優(yōu)化并同經(jīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)得后所繪制的爐溫曲線進(jìn)行比對(duì),如圖3所示,發(fā)現(xiàn)模擬所得曲線與根據(jù)實(shí)驗(yàn)所測(cè)數(shù)據(jù)所得曲線基本重合.引入擬合優(yōu)度R2對(duì)模擬結(jié)果的擬合效果優(yōu)劣程度進(jìn)行定量刻畫(huà)[8],計(jì)算得到R2=0.9056,證明了所建立模型具有較強(qiáng)的合理性與準(zhǔn)確性.

圖3 優(yōu)化模擬得到的爐溫曲線

2 傳輸帶速度模型建立

2.1 窮舉法的思想

窮舉法是通過(guò)在可能的解空間中窮舉出每一種可能的解,并對(duì)每一個(gè)可能解進(jìn)行判斷,從中得到問(wèn)題的答案的一種算法.該算法思想簡(jiǎn)單,易于實(shí)現(xiàn),在解決一些規(guī)模適中的問(wèn)題而無(wú)須過(guò)多考慮求解速度時(shí),使用窮舉法不失為一種很好的選擇.

2.2 模型的限制條件

回焊爐加熱過(guò)程需要考慮印制電路板(Printed Circuit Board,簡(jiǎn)稱PCB)板材料特性和焊接元器件的耐熱性,所以在實(shí)際生產(chǎn)中存在諸多的限制條件,見(jiàn)表1[1].

2.3 模型的建立

以最大傳送帶過(guò)爐速度作為優(yōu)化目標(biāo),選取表2中提供的制程界限中的相關(guān)參數(shù)及回焊爐系統(tǒng)中一般性物理原理的限制作為限制條件,傳送帶的過(guò)爐速度作為控制變量,列出如下模型方程組:

表2 制程界限

(9)

2.4 模型的結(jié)果與分析

2.4.1 模型的結(jié)果

利用MATLAB編程[9],進(jìn)行窮舉算法,經(jīng)過(guò)多次的循環(huán),得到了基于前文所述條件下的最大傳送帶過(guò)爐速度:

v=69.700cm/min.

(10)

2.4.2 模型的分析

接下來(lái),對(duì)構(gòu)建的優(yōu)化模型進(jìn)行靈敏度分析.

根據(jù)式(10),對(duì)于回焊爐系統(tǒng),其傳送帶過(guò)爐速度主要由制程界限中的溫度限制量決定.下面分析具有時(shí)間限制的溫度上升區(qū)間和峰值溫度的區(qū)間變動(dòng)對(duì)模型結(jié)果的影響.已知溫度上升與下降的斜率區(qū)間和超值溫度時(shí)限區(qū)間一定,對(duì)于峰值溫度的區(qū)間,選取[217,240]為溫度下界變動(dòng)區(qū)間,[250,265]作為溫度上界變動(dòng)區(qū)間;對(duì)于具有時(shí)間限制的溫度上升區(qū)間,選取[30,150]作為下界的波動(dòng)區(qū)間,[190,217]作為上界的波動(dòng)區(qū)間.通過(guò)MATLAB繪制見(jiàn)圖4.

(a) 時(shí)間限制下的溫度上升區(qū)間上界變動(dòng)影響;(b) 時(shí)間限制下的溫度上升區(qū)間下界變動(dòng)影響;(c) 峰值溫度區(qū)間上界變動(dòng)影響;(d) 峰值溫度區(qū)間下界變動(dòng)影響圖4 峰值溫度區(qū)間上下界與時(shí)間限制下的溫度上升區(qū)間上下界變動(dòng)影響

由圖4中的(a)-(d),發(fā)現(xiàn)二者溫度上界穩(wěn)定,故其均對(duì)速度的影響不大;而對(duì)于二者下界,其中峰值溫度下界在238℃發(fā)生突變,時(shí)間限制下的溫度上升區(qū)間下界在102℃發(fā)生突變,由此有理由認(rèn)為,制程界限中溫度區(qū)間給定是合理的,任意調(diào)換溫度區(qū)間的下界值將會(huì)影響實(shí)際回流焊接工程中對(duì)傳送帶過(guò)爐速度的調(diào)控.

3 陰影面積尋優(yōu)模型的建立

3.1 極限思想

用極限概念分析和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想.其一般步驟可概括為:對(duì)于某一未知量,先假設(shè)一個(gè)同它有關(guān)的變量,并且該變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量,最后利用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果.

3.2 模型建立

采取與上述的優(yōu)化模型類似的思想構(gòu)建陰影面積尋優(yōu)模型.選取最小陰影面積作為優(yōu)化目標(biāo),選取表2提供的制程界限中的相關(guān)參數(shù)及回焊爐系統(tǒng)中一般性物理原理的限制作為限制條件,各溫區(qū)設(shè)定的溫度值與傳送帶速度作為控制變量,建立了如下優(yōu)化方程組:

(11)

3.3 陰影面積尋優(yōu)模型求解

對(duì)于曲線的陰影面積,理論上可以采用積分進(jìn)行求解,如圖5所示,列式如下:

圖5 爐溫曲線陰影面積求解圖示

(12)

考慮用一條從t1-t2、高為ΔT的正弦曲線對(duì)原曲線進(jìn)行近似模擬以簡(jiǎn)化求解,這樣一來(lái)S就可以簡(jiǎn)化為

(13)

考慮極限思想,溫度曲線的最小值應(yīng)為一個(gè)三角形,由溫度大于217℃的時(shí)間和峰值溫度兩個(gè)界限,可以求出理論邊界值為460,以此值作為下邊界對(duì)陰影面積進(jìn)行近似估算,最后通過(guò)MATLAB進(jìn)行仿真,采用雙重for循環(huán)枚舉遍歷,得到最優(yōu)爐溫曲線與各溫區(qū)溫度參數(shù)及速度同最小陰影面積關(guān)系曲線,如圖6、圖7所示.其中,最優(yōu)速度為v=93cm/min,最優(yōu)溫度分別為183℃, 185℃, 243℃, 265℃,最小面積為613.6508cm2.

圖6 最優(yōu)爐溫曲線

圖7 各溫區(qū)溫度參數(shù)及速度同最小陰影面積關(guān)系

下圖展示了各溫區(qū)溫度參數(shù)及速度同最小陰影面積關(guān)系.由圖7可以看出,在恒溫7區(qū)其同最小陰影面積呈線性上升關(guān)系,回流區(qū)呈非線性下降關(guān)系,速度呈線性下降關(guān)系.由此通過(guò)逐步定長(zhǎng)迭代尋優(yōu)得到陰影面積最小解.

4 結(jié) 論

本文分析了PCB板在回焊爐進(jìn)行回流焊接過(guò)程中的受熱情況,使用物理知識(shí)對(duì)整個(gè)過(guò)程進(jìn)行分析,之后結(jié)合數(shù)學(xué)建模思想對(duì)PCB板的受熱過(guò)程進(jìn)行了模擬,得出結(jié)論如下:

(i) 基于傳熱學(xué)原理,結(jié)合PCB在回焊爐中加熱的實(shí)際物理過(guò)程,建立了非線性瞬態(tài)傳熱模型,使用有限差分方法完成求解,得到了溫度分布及隨時(shí)間演化曲線,有效取代了針對(duì)回焊爐爐溫曲線傳統(tǒng)研究中仿真困難的問(wèn)題.

(ii) 根據(jù)PCB板經(jīng)過(guò)不同溫度的受熱情況,結(jié)合設(shè)備參數(shù),建立了傳輸帶速度和陰影面積尋優(yōu)模型,實(shí)現(xiàn)了對(duì)得到的爐溫曲線的優(yōu)化.

(iii) 本文所建立模型旨在為相關(guān)領(lǐng)域研究學(xué)者提供可能的優(yōu)選思路,專業(yè)科研工作者可以考慮利用ANSYS軟件對(duì)再流焊各爐區(qū)的加載溫度進(jìn)行仿真研究,以獲得各組件優(yōu)化加載溫度條件下的動(dòng)態(tài)溫度場(chǎng),進(jìn)一步驗(yàn)證本文所采用的幾何模型和材料參數(shù),同時(shí)評(píng)估再流焊的仿真的工藝參數(shù)是否可以用來(lái)指導(dǎo)生產(chǎn).

致謝非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見(jiàn)!同時(shí),在對(duì)本文模型結(jié)果進(jìn)行可視化的過(guò)程中,FigureBest插件幫助極大,在此對(duì)其創(chuàng)作者致以由衷感謝!