函數(shù)的性質(zhì)有很多種，如奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性等.其中，對稱性主要包括軸對稱和中心對稱.一般地，奇函數(shù)是中心對稱圖形，偶函數(shù)是軸對稱圖形.當(dāng)然，有些基本初等函數(shù)本身就是對稱圖形，有的函數(shù)通過變換，也具有對稱性.下面主要談一談函數(shù)對稱性在解題中的應(yīng)用.

一、利用函數(shù)的對稱性求解函數(shù)圖象問題

在解答函數(shù)圖象問題時，可以先根據(jù)函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)的對稱性、奇偶性、周期性、單調(diào)性；然后根據(jù)函數(shù)的對稱性作出或者補全完整的圖象，即可根據(jù)函數(shù)的圖象、對稱性確定對稱點、對稱軸的位置.在圖象中，關(guān)于點對稱的兩點的中點即為對稱點，關(guān)于軸對稱的兩點的中點在對稱軸上.

例1.設(shè)函數(shù)[fx=sinπ2x]，[gx=e-x-1].當(dāng)[x∈-2023，2025]時， [fx]與[gx]圖象上的所有交點的橫坐標(biāo)之和為（" " "）.

A. 4051 B. 4049 C. 2025 D. 2023

解：函數(shù)[fx=sinπ2x]的最小正周期為2，直線[x=1]為其一條對稱軸，

[gx=e-x-1=e-x+1，x≥1，ex-1，xlt;1，]的圖象關(guān)于直線[x=1]對稱，

作出函數(shù)[fx=sinπ2x]和函數(shù)[gx=e-x-1]的圖象，如圖1所示.

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圖1

在直線[x=1]的右側(cè)，即在[x∈（1，2025]]上，（0，2）上的圖象重復(fù)出現(xiàn)1012次，

而在[（1，3]，（3，5]，…，（2023，2025]]上，[fx]和[gx]的圖象都有2個交點，

即兩個函數(shù)在[（1，2025]]上共有2024個交點，

根據(jù)圖象的對稱性可知，在直線[x=1]的左側(cè)，即在[[-2023，1）]上，（0，2）上的圖象重復(fù)出現(xiàn)1012次，所以在[[-2023，1）]上，[fx]和[gx]的圖象也有2024個交點，

而在直線[x=1]兩側(cè)的交點是關(guān)于直線[x=1]對稱的，

故這4048個交點的橫坐標(biāo)之和為[2024×2=4048]，

而[x=1]也是這兩個函數(shù)圖象的一個交點的橫坐標(biāo)，

故[fx]與[gx]圖象上的所有交點的橫坐標(biāo)之和為[4048+1=4049]，故選B.

解答本題，需根據(jù)兩個函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)的周期性和對稱性；然后畫出兩個函數(shù)的圖象，借助圖象討論兩個函數(shù)圖象在[（1，2025]]上的交點的個數(shù)；最后根據(jù)函數(shù)的對稱性，求得在[[-2023，1）]上兩個函數(shù)的交點的個數(shù)以及交點的橫坐標(biāo)之和.

例2.已知函數(shù)[fx=kx1e≤x≤e2]，[gx=e-x+12+1]，若[fx]與[gx]的圖象上存在兩點[M]、[N]關(guān)于直線[y=x+1]對稱，求實數(shù)[k]的取值范圍.

解：設(shè)[x0，y0]是函數(shù)[gx]的圖象上的任意一點，其關(guān)于[y=x+1]對稱的點的坐標(biāo)為[x，y]，

所以[x=y0-1，y=x0+1]，

所以函數(shù)[gx]關(guān)于[y=x+1]對稱的函數(shù)為[hx=-2lnx].

由于[M]、[N]關(guān)于直線[y=x+1]對稱，

故函數(shù)[hx=-2lnx]與函數(shù)[fx=kx]的圖象在[1e，e2]上有交點，

所以方程[kx=-2lnx]在區(qū)間[1e，e2]上有解，

所以[-4≤kx≤2]，即[-4x≤k≤2x]，所以[-2e≤k≤2e].

解答本題，關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)圖象上關(guān)于直線[y=x+1]對稱的點[M]、[N]的坐標(biāo)之間的關(guān)系，求出[gx]關(guān)于[y=x+1]對稱的函數(shù)[hx=-2lnx]，進而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)[hx=-2lnx]與函數(shù)[fx=kx]圖象在[1e，e2]上有交點的問題.

二、利用函數(shù)的對稱性比較函數(shù)值的大小

對于具有對稱性的函數(shù)，要比較兩個函數(shù)值的大小，只需討論函數(shù)在定義域內(nèi)的對稱性和單調(diào)性.一般地，關(guān)于原點對稱的函數(shù)，在原點兩側(cè)的圖象具有相同的單調(diào)性；關(guān)于[y]軸對稱的函數(shù)，在對稱軸兩側(cè)的圖象具有不同的單調(diào)性.在比較兩個函數(shù)式的大小時，可先比較自變量與對稱中心或?qū)ΨQ軸之間的距離，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進行比較.

例3.已知函數(shù)[fx]滿足：①定義域為[R]，②[fx+1]為偶函數(shù)，③[fx+2]為奇函數(shù)，④對任意的[x1，x2∈0，1]，且[x1≠x2]，都有[x1-x2fx1-fx2gt;0]，比較[f-73，] [f23，][ f113]的大小關(guān)系.

解：∵[f（x+1）]在R上為偶函數(shù)，

∴[f（x+1）=f（-x+1）]，∴[fx]關(guān)于[x=1]對稱.

∵[f（x+2）] 在R上為奇函數(shù)，

∴[f（x+2）+f（-x+2）=0]，

∴[fx]關(guān)于[（2，0）]對稱，且[f（2）=0]，

∵[f（x+1）=f（-x+1）]，∴[f（x）=f（-x+2）]①，

又∵[f（x+2）+f（-x+2）=0]，

∴[f（-x+2）=-f（x+2）] ②，

∴由①②得： [f（x）=-f（x+2）]③，

∴由③得： [f（x+2）=-f（x+4）]④，

∴由③④得： [f（x）=f（x+4）]，

∴[fx]的一個周期為[T=4]，且[f（0）=0]，[fx]關(guān)于[（0，0）]對稱，

∵對任意的[x1，x2∈0，1]，且[x1≠x2]，

都有[x1-x2fx1-fx2gt;0]，

∴[fx]在[0，1]上單調(diào)遞增.

∴[fx]在一個周期內(nèi)的圖象如圖2所示.

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圖2

∴[f（-73）=f（-73+4）=f（53）=f（2-53）=f（13）]，

[f（113）=f（113-4）=f（-13）]，

∴[f（-13）lt;f（13）lt;f（23）]，

即[f（113）lt;f（-73）lt;f（23）].

由②得[f（x）]關(guān)于[x=1]對稱，由③得[f（x）]關(guān)于[（2，0）]對稱，由④得[f（x）]在[0，1]上單調(diào)遞增，據(jù)此可畫出函數(shù)的圖象.再根據(jù)函數(shù)的圖象和對稱性，將要比較的三個函數(shù)式的自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行比較即可.

函數(shù)對稱性的應(yīng)用范圍較廣，如求抽象函數(shù)的函數(shù)值、解函數(shù)不等式、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等.運用函數(shù)的對稱性解題，需先確定函數(shù)的對稱中心或?qū)ΨQ軸；據(jù)此畫出函數(shù)的圖象，明確對稱點之間的關(guān)系，據(jù)此建立關(guān)系式.

（作者單位：山東省商河縣第一中學(xué)）