立體幾何最值問題比較常見.這類問題通常較為復(fù)雜，我們需靈活運(yùn)用立體幾何、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、平面幾何、三角函數(shù)等知識求解.求解立體幾何問題常用的方法主要有轉(zhuǎn)化法和向量法，下面結(jié)合具體的題目進(jìn)行探討.

一、轉(zhuǎn)化法

立體幾何最值問題較為復(fù)雜，我們很難直接求得最值，通常需將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值、平面幾何最值問題來求解.一般地，可先根據(jù)題意，添加合適的輔助線，將空間中的點(diǎn)、線、面的關(guān)系轉(zhuǎn)移至平面內(nèi)，將立體幾何最值問題轉(zhuǎn)化為平面幾何最值問題；再研究平面內(nèi)圖形中的邊角關(guān)系，找到臨界的情形，便可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、勾股定理等求得最值.

例1.如圖1所示，長方體[ABCD-A1B1C1D1]中，[AB=BC=1，AA1=2，P]是[A1B]上的一個動點(diǎn)，則下列說法正確的是（" "）.

A. [DP]的最小值為[355]

B. [DP]的最小值為[5]

C. [AP+PC1]的最小值為[6]

D. [AP+PC1]的最小值為[1705]

lt;D：＼馬麗工作＼語數(shù)外＼2024年＼2024年高中3期＼2024年高中3期數(shù)學(xué)＼Image＼image12.pnggt;" " " " lt;D：＼馬麗工作＼語數(shù)外＼2024年＼2024年高中3期＼2024年高中3期數(shù)學(xué)＼Image＼image13.pnggt;

圖1" " " " " " " " "圖2

解：由圖1可知，[DP]的最小值即為點(diǎn)[D]到線段[A1B]的距離，

在等腰[ΔA1BD]中，[A1B=DA1=5]，[BD=2]，

所以[A1B]邊上的高為[355]，即[DP]的最小值為[355]，

所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯誤.

由圖1可知，[A1B]是平面[ABA1]和平面[A1BC1]的交線，于是連接[A1C1]，[BC1]，以[A1B]所在的直線為軸，將[ΔA1BC1]所在的平面旋轉(zhuǎn)至平面[ABB1A1]，則[AC1]的長度為[AP+PC1]的最小值.

在圖2中，設(shè)[∠AA1B=α，∠BA1C1=β]，[AB=1，A1C1=2]，

則[sinα=15，cosα=25]，[sinβ=310，cosβ=110]，

則[cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-210]，

在[ΔA1AC1]中，

[AC21=A1A2+A1C21-2×2×2cos（α+β）=345]，

解得[AC1=1705]，所以選項(xiàng)C錯誤，選項(xiàng)D正確.

則本題的正確答案為AD.

因?yàn)镻是[A1B]上的一個動點(diǎn)，所以我們無法確定P點(diǎn)的位置，也就很難確定[DP]以及[AP+PC1]的大小.而[A1B]是平面[ABA1]和平面[A1BC1]的交線，于是以[A1B]所在的直線為軸，將[ΔA1BC1]所在的平面旋轉(zhuǎn)至平面[ABB1A1]，這樣就可以將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題.根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，確定[AP+PC1]的最小值即為線段[AC1]的長，如此便可直接利用點(diǎn)到直線的距離公式、余弦定理順利求得問題的答案.

有時問題中的距離、邊長、角等是一個變量，此時我們可以選取一個合適的變量，將目標(biāo)式用該變量表示出來，把該式視為函數(shù)式，將立體幾何最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.通過研究函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，就能求得問題的答案.

例2.正四棱錐的側(cè)棱長為[l]，其各點(diǎn)均在同一個球面上，且球的體積為[36π]，若[3≤l≤33]，則四棱錐體積的取值范圍為（" " ）.

[A.[18，814]]" [B.[274，814]]

[C.[274，643]]" " [D.[18，27]]

解：因?yàn)榍虻捏w積為[36π]，

由球的體積公式可得[V=43πr3=36π]，解得[r=3]，

設(shè)正四棱錐底面的邊長為[2a]，高為[h].

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圖3

由圖3可知[l2=2a2+h2，32=2a2+（3-h）2，]解得[h=l26，2a2=l2-l436，]

所以正四棱錐的體積[V=13Sh=13×4a2×h=19（l4-l636）]，[l∈[3，33]]，

求導(dǎo)可得[V=19l3（24-l26）]，

令[V=0]，得[l=26]，

當(dāng)[l∈[3，26）]時，[Vgt;0]，當(dāng)[l∈（26，33]]時，[Vlt;0]，

則[V]在[[3，26）]上單調(diào)遞增，在[（26，33]]上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)[l=26]時，[V]取得極大值[19×[（26）4-（26）636）=643].

當(dāng)[l=3]時，[V=274]；當(dāng)[l=33]時，[V=814]；

所以當(dāng)[l∈[3，33]]時，正四棱錐體積的最大值為[643]，最小值為[274]，故選C.

我們以正四棱錐的側(cè)棱長[l]為自變量，將正四棱錐的體積用[l]表示出來，即可構(gòu)造出關(guān)于[l]的6次函數(shù).再對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，就能根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得正四棱錐體積的最值.

二、向量法

向量法是解答立體幾何問題常用的方法.運(yùn)用向量法解答立體幾何最值問題，通常需先根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，并用向量表示出幾何體中的各個點(diǎn)、各條線段以及平面的法向量；然后通過空間向量坐標(biāo)運(yùn)算來求得最值.

例3.如圖4，已知[ΔABC]是邊長為[a]的等邊三角形，[PQ//BC]，將[ΔABC]沿[PQ]折疊，使平面[A'PQ]垂直于平面[BCQP]，求當(dāng)[A'B]取最小值時四棱錐[A'-BCQP]的體積.

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圖4

解：取[PQ]的中點(diǎn)[O]，連接[AO]，

則[PQ⊥AO]，即[PQ⊥AO]，

由于平面[APQ⊥]平面[BCQP]，

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知[AO⊥]平面[BCQP]，

以[O]為原點(diǎn)、PQ為y軸、[AO]為z軸建立，建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)[AO=m]，則[O（0，0，0）]，[A（0，0，m）]，[B（32a-m，] [-12a，0）]，

因?yàn)閇AB=AO+OB=（32a-m，-12a，-m）]，

所以[|AB|=32a-m2+-12a2+-m2]

[=2（m-34a）2+58a2]，

則當(dāng)[m=34a]時，[AB]取最小值[104a]，

所以[VA-BCQP=13×SBCQP?|AO|=1334a2-3412a2×]

[34a=364a2].

本題的難點(diǎn)在于構(gòu)建合適的空間直角坐標(biāo)系.由題意可知[PQ⊥AO]，[AO⊥]平面[BCQP]，即可以O(shè)為原點(diǎn)、PQ為y軸、[AO]為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.這樣就能快速求得O、P、Q、[A]、B的坐標(biāo)，得到[AB]的表達(dá)式，進(jìn)而求得最值.

雖然解答立體幾何最值問題較為復(fù)雜，但是我們只要靈活運(yùn)用向量法，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題、平面幾何最值問題，就能利用空間向量知識、函數(shù)知識、平面幾何知識順利求得最值，破解難題.

（作者單位：甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)第十四中學(xué)）