三角形取值范圍問題常與解三角形、三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何、向量、不等式等知識結(jié)合.因而解答三角形取值范圍問題，可以從多個角度切入，尋找多種不同的解題思路.接下來，通過一道典型例題，探討一下解答三角形取值范圍問題的方法、技巧.

例題：在[△ABC]中，角[A，B，C]的對應(yīng)邊分別為[a， b， c]，如果[A=π3]，[a=1]，求[b+c]的取值范圍.

該題較為簡單，題目中只給了三角形的一個內(nèi)角的大小和對應(yīng)邊的長度，三角形的另外兩條邊和另外兩個角的大小都是未知的.我們需要深入挖掘的隱含信息，尋找更多的解題依據(jù)，如三角形中兩邊之和大于第三邊，即[b+cgt;1]，[A+B+C=π]，即[B+C=2π3]，并利用正余弦定理來建立b、c之間的關(guān)系式，根據(jù)目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征尋找解題的思路.解答本題主要有以下兩種思路.

一、利用基本不等式

基本不等式：若[a]、[bgt;0]，則[a+b≥2ab]，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.在解答三角形取值范圍問題時，需先根據(jù)已知條件，靈活運用正弦定理[asinA=bsinB=csinC=2R]、余弦定理[cosA=b2+c2-a22bc]；進(jìn)行邊角互化，使得目標(biāo)式中只含有邊或角的式子；然后根據(jù)目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特征，將其配湊為兩式的和或積，并使其中之一為定值，即可運用基本不等式求得目標(biāo)式的最值.常用的配湊技巧有：湊系數(shù)、添減常數(shù)項、湊分母、進(jìn)行“1”的代換等.

解：由余弦定理可得：[a2=b2+c2-2bccosA]，

由于[A=π3]，[a=1]，所以[1=b2+c2-bc]，

可得[（b+c）2-3bc=1]，化簡得[bc=（b+c）2-13]，

由基本不等式得：[bc=（b+c）2-13≤b+c22]，

當(dāng)且僅當(dāng)[b=c]時等號成立，

令[b+c=t（tgt;0）]，則[t2-13≤t22]，

解得：[0lt;t≤2]，即[b+c≤2]，

由于在三角形中兩邊之和大于第三邊，

所以[b+cgt;a=1]，即[1lt;t≤2]，

綜上可得，[b+c]的取值范圍為[（1，2]].

解答本題主要運用了基本不等式的變形式[bc≤b+c22]，從而求得b+c的最大值.在求代數(shù)式的最值或取值范圍時，經(jīng)常用到基本不等式的變形式：（1）若[a]、[b∈R]，則[a2+b2≥2ab]，當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時等號成立；（2）若[a]、[bgt;0]，則[a+b≥2ab]，當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時等號成立；（3）若[a]、[bgt;0]，則[21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22]，當(dāng)且僅當(dāng)[a=b]時等號成立；（4）若[a]、[b]、[cgt;0]，則[a+b+c3≥abc3]，當(dāng)且僅當(dāng)[a=b=c]時等號成立.

二、利用三角函數(shù)的性質(zhì)

有時題目中告知的角的關(guān)系較多，我們就可以利用正余弦定理將邊化為角，把目標(biāo)式用角的三角函數(shù)表示出來，這樣就將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，利用三角函數(shù)中的兩角和差公式、輔助角公式、誘導(dǎo)公式等進(jìn)行三角恒等變換，使目標(biāo)式變?yōu)橹缓幸粋€角、一種函數(shù)名稱的式子，即可根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性來解題.在求目標(biāo)式的取值范圍時，要深入挖掘角的隱含條件，根據(jù)已知條件和隱含條件來縮小角的范圍，以得到正確的答案.

解：由正弦定理得[asinA=bsinB=1sinπ3=233]，

于是[b+c=233sinB+233sinC=233（sinB+sinC）]，

因為[A=π3]，所以[B+C=2π3]，則[C=2π3-B]，

因為[B∈（0，2π3）]，則[B+π6∈π6，5π6]，

于是[b+c=233（sinB+sinC）]

[=233sinB+sin2π3-B=2sinB+π6∈（1，2]]，

所以[b+c]的取值范圍為[（1，2]].

先運用正弦定理將邊化為角，然后將目標(biāo)式用角B的正余弦函數(shù)式表示出來，并通過三角恒等變換將其化為[2sin （B+π6）]，便可直接根據(jù)正弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性求得問題的答案.

在解答三角形取值范圍問題時，同學(xué)們要學(xué)會運用發(fā)散思維，將數(shù)學(xué)中的各個知識點融會貫通起來，形成知識網(wǎng)，這樣在解題時便能快速找到多種不同的解題思路.

（作者單位：江蘇省沭陽如東中學(xué)）