摘 要：隨著素質(zhì)教育理念向高中教學(xué)階段擴(kuò)展，高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該向新課標(biāo)中核心素養(yǎng)培育的方向探索新的優(yōu)化發(fā)展路徑，新課標(biāo)中明確指出“數(shù)學(xué)建模與探究活動”貫穿于高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的始終，而高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括“數(shù)學(xué)建模”的內(nèi)容，所以，培育學(xué)生的建模思想與素質(zhì)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)綜合思維與應(yīng)用能力的一個重要路徑。高中數(shù)學(xué)教師要不斷明確教學(xué)指向、優(yōu)化教學(xué)思路、改進(jìn)教學(xué)流程，有針對性地培育學(xué)生的建模思想，使得學(xué)生能夠通過參與多種形式的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)活動，有效鞏固知識技能、形成良好的思維品質(zhì)與綜合能力。

關(guān)鍵詞：建模思想；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)研究

一、問題的提出

隨著新課改的不斷深入，高中數(shù)學(xué)教學(xué)逐漸開始重視在知識性教學(xué)基礎(chǔ)上對于學(xué)生實際問題解決能力以及綜合思維的培育、聚焦擴(kuò)展數(shù)學(xué)教學(xué)的維度、帶動實現(xiàn)數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域和其他學(xué)科的融合滲透。而在這樣的背景下，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要將抽象的數(shù)學(xué)知識與實際問題和情境聯(lián)系起來，這時學(xué)生的建模思想就能夠發(fā)揮重要的作用。在2020年修訂版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，“數(shù)學(xué)建?！边@一概念被首次納入學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)，這也說明了數(shù)學(xué)建模思維能力的培育越來越受到國家和學(xué)校的重視。要在實際的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中融合數(shù)學(xué)建模思想、引導(dǎo)學(xué)生逐步建立建模思想，教師需要不斷創(chuàng)新角度、拓展維度、豐富活動，形成一套契合高中生學(xué)習(xí)發(fā)展規(guī)律、滿足高中數(shù)學(xué)教學(xué)實際情況、貫徹新課標(biāo)新理念的教學(xué)應(yīng)用策略，帶動學(xué)生依托建模思想養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)建模能力，進(jìn)而實現(xiàn)各方面數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高。筆者選取以下新高考建模教學(xué)為例進(jìn)行現(xiàn)狀分析。

（2021年全國高考Ⅰ卷 16題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為____；如果對折次，那么____.

從答題情況看，筆者所帶的兩個班共81名同學(xué)，答對第一空的11人，答對第二空的只有6人，少數(shù)同學(xué)能夠通過特殊情況找出規(guī)律，極少數(shù)同學(xué)能夠通過探究找規(guī)律來挖掘面積和的模型解決第二問。但大部分同學(xué)不能將實際問題抽象出數(shù)學(xué)知識，建立數(shù)學(xué)模型，沒有形成良好的數(shù)學(xué)建模能力。基于以上例子說明目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對于建模教學(xué)存在著缺失。

（一）教學(xué)必要素養(yǎng)缺位

有不少高中數(shù)學(xué)教師由于自身教學(xué)理念比較傳統(tǒng)，他們對于新課標(biāo)所提出的“數(shù)學(xué)建?！备拍钆c內(nèi)涵都較為模糊，不知道如何挖掘高中教材中的建模思想，如何將實際問題融入建模思想；很多教師一心放在提高學(xué)生考試成績、進(jìn)行高考題型適應(yīng)性訓(xùn)練上，缺少及時更新教學(xué)理論和教學(xué)技能的素養(yǎng)，缺少用先進(jìn)的教育理論和課程標(biāo)準(zhǔn)來優(yōu)化自己的課程教學(xué)樣態(tài)，因此，數(shù)學(xué)建模教學(xué)缺少發(fā)展的空間。

（二）數(shù)學(xué)教學(xué)縱深不足

數(shù)學(xué)建模思想實際上貫穿于高中數(shù)學(xué)各個教學(xué)內(nèi)容之中，同時還涉及了物理、化學(xué)等其他學(xué)科的知識；但當(dāng)前很多高中數(shù)學(xué)教師將自己的教學(xué)內(nèi)容局限在教輔資料中，沒有適時地將融合了數(shù)學(xué)建模思想的綜合性問題與任務(wù)帶入到課堂教學(xué)中來，學(xué)生大多只是像了解一個知識點一樣初步了解了“數(shù)學(xué)建模”的含義，卻不知道怎樣應(yīng)用建模思想來解決問題，這種教學(xué)縱深的不足導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)難以真正培育。

（三）建模教育意識落后

有部分?jǐn)?shù)學(xué)教師盡管認(rèn)識到了數(shù)學(xué)建模的重要性，但缺少對于支撐性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)探究活動形式的構(gòu)建、同時在實際教學(xué)中也缺少對于學(xué)生建模思維的有效引導(dǎo)和培養(yǎng)；很多數(shù)學(xué)教師迫于教學(xué)內(nèi)容多、課時少，無法開展以數(shù)學(xué)建模為核心的探究式教學(xué)，不懂得將建模思想有機(jī)融入常規(guī)教學(xué)活動中來，建模教育意識相對落后。

二、數(shù)學(xué)建模概念界定

2020年修訂版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對“數(shù)學(xué)建?！边@一概念有著詳細(xì)的闡述，其中認(rèn)為數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為“發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題”等四個方面的主要內(nèi)容。新課標(biāo)認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模是“應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的基本手段，也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力”；教師通過引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)建模的方法、通過數(shù)學(xué)模型來解決實際問題，能夠使得學(xué)生深切地感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界之間的關(guān)聯(lián)，并且能有效帶動學(xué)生提高綜合學(xué)習(xí)與實踐能力，幫助學(xué)生培養(yǎng)創(chuàng)新精神以及數(shù)學(xué)理性精神[1]。

從新課標(biāo)對于“數(shù)學(xué)建模”的定義角度來分析，數(shù)學(xué)建模實際上就是基于建模思維、運(yùn)用數(shù)學(xué)模型來解決實際問題的一種綜合性的實踐活動；它不僅可以在數(shù)學(xué)學(xué)科之中加以應(yīng)用，在其他理工科學(xué)科之中也有著重要的作用。高中數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行建模思想培育的過程中，要特別把握好“數(shù)學(xué)模型構(gòu)建和優(yōu)化”這一核心問題，在提出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)造出特定數(shù)學(xué)情境的基礎(chǔ)上要求學(xué)生尋找其中隱含的各種數(shù)量關(guān)系，并帶動學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)的知識來建立數(shù)學(xué)模型，通過運(yùn)算的方法來對模型求解以便解決問題；要強(qiáng)化對模型檢驗以及修改完善環(huán)節(jié)的重視，保證數(shù)學(xué)模型能夠得出科學(xué)有效的檢驗結(jié)果。在這樣的學(xué)習(xí)和問題解決過程中，學(xué)生就能夠逐步養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)建模思想。

三、核心素養(yǎng)下高中數(shù)學(xué)建模活動的實踐研究

（一）挖掘教材建模思路，問題引導(dǎo)學(xué)生探究

要在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效培育學(xué)生的建模思想，教師首先就要提高對于數(shù)學(xué)建模教學(xué)的重視程度，同時結(jié)合新課標(biāo)對于“數(shù)學(xué)建?！钡亩x來審查和提煉數(shù)學(xué)教材中的各部分內(nèi)容、有效挖掘教材中的建模思路，并將建模的思路通過一些簡單易懂的小故事或是生動的情境來展現(xiàn)給學(xué)生，使得學(xué)生能夠培養(yǎng)起對于數(shù)學(xué)建模的初步興趣。

【案例】茶水問題——情境引入，提出問題

師：有句話叫作“欲把西湖比西子，從來佳茗似佳人”，亞運(yùn)會即將召開，我們以東道主招待客人，同學(xué)們，我們可以用什么招待客人？

生：龍井茶。

師：那如何才能泡制一杯清香可口的龍井茶呢？從茶葉的采摘、制作、儲存、沖泡、飲用等都與溫度相關(guān)。你們知道，龍井茶一般需要多少溫度的水進(jìn)行沖泡嗎？

生：80℃～85℃

師：對，那你們知道生活中類似的還有哪些沖泡溫度嗎？請看表。

綠茶 咖啡 奶茶

最佳沖泡溫度 85℃ 90℃ 70℃

最佳口感溫度 60℃ 55℃ 40℃

師：剛沖泡好的茶葉能喝嗎？要達(dá)到多少度口感溫度最好？

生：不能，當(dāng)溫度降到60℃，口感最好。

師：有什么辦法能測量溫度嗎？

生1：用溫度計。但好像沒有人泡茶拿著溫度計在測的。

生2：用時間來估計溫度，隨著時間的增加，茶水的溫度在降低，我們可以建立茶水與溫度的式子。

【設(shè)計意圖】：建模第一步是問題分析，搜集數(shù)據(jù)，分析其中隱含的數(shù)學(xué)因素，用數(shù)學(xué)語言描述實際現(xiàn)象。通過討論探究，體會由實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題的過程，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生探究興趣，同時引導(dǎo)學(xué)生提出茶水溫度和時間的關(guān)系[2]。

（二）引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)階學(xué)習(xí)，強(qiáng)化建模思想滲透

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用非常廣泛，而學(xué)生如果要在實際數(shù)學(xué)知識鞏固和理解的基礎(chǔ)上實現(xiàn)對于知識的靈活科學(xué)運(yùn)用，教師就需要不斷培育學(xué)生的建模思想和數(shù)學(xué)建模能力，以此帶動學(xué)生提高解決實際問題的能力。教師要根據(jù)所教授的知識內(nèi)容、選擇適合學(xué)生進(jìn)行分析建模的實際問題，讓學(xué)生從簡單的問題分析入手，不斷提高思維的進(jìn)階難度、并逐步將建模的思想滲透于其中，使得學(xué)生能夠從不同的學(xué)習(xí)起點通過一定的學(xué)習(xí)梯度實現(xiàn)同步提升。

【案例】茶水問題——收集數(shù)據(jù)，建立模型

師：如果要研究茶水溫度與時間的關(guān)系實驗，我們需要準(zhǔn)備些什么？

生：茶、熱水、溫度計、計時器……

師：我們今天還有一個工具溫度傳感器，它一端放在茶水里，一端連接電腦，可以直接采集茶水溫度與時間的數(shù)據(jù)，并每隔一秒可以采集一次數(shù)據(jù)。

師：打開數(shù)據(jù)采集軟件，橫軸表示時間，縱軸表示溫度，現(xiàn)在測試茶水溫度是85℃，請大家觀察點的走勢，呈什么形狀。

師：請仔細(xì)觀察，是呈直線還是曲線？

生1：近似于直線

師：教師將采集時間分別設(shè)為1，5，10，20，30，60...

師：請繼續(xù)觀察圖像的變化，發(fā)現(xiàn)什么？

生2：茶水溫度隨著時間的增加下降速度越來越慢。

師：如果改變實驗條件，圖像會是什么樣子？圖像與原來差不多，也就意味著溫度與時間有某種函數(shù)關(guān)系。我們要得到這個函數(shù)關(guān)系的過程就稱為數(shù)學(xué)建模。

師：那么選取哪組數(shù)據(jù)作為分析比較合適？

生：為了使數(shù)據(jù)更準(zhǔn)確，我們選用了間隔1分鐘的數(shù)據(jù)，因為間隔比較小可以減少誤差。

師：好，在理想狀態(tài)下我們收集的數(shù)據(jù)越多越好，但時間有限，我們就用間隔1分鐘的數(shù)據(jù)。

師：收集好數(shù)據(jù)后接下來我們要干什么？

生：描點、連線

師：大家把數(shù)據(jù)標(biāo)在直角坐標(biāo)系中，這種圖叫散點圖，請大家畫出散點圖。（師將數(shù)據(jù)輸入EXCEL，畫出散點圖。）

師：觀察散點圖的點的走勢，我們可以選擇哪個函數(shù)來擬合？

生3：反比例函數(shù)。" 生4：像指數(shù)函數(shù)。

師：剛才兩位同學(xué)提出的函數(shù)模型你們覺得可行嗎？

生5：我認(rèn)為這兩個模型都有不足之處，對于反比例函數(shù)模型，的值會一直變小，直至接近0，但事實上不可能低于室溫。對于指數(shù)函數(shù)模型，當(dāng)=0，=83.504，實際上初始溫度是85℃。

師：請大家在剛才分析的基礎(chǔ)上，4人一個小組合作，寫出你們認(rèn)為最合理的模型進(jìn)行求解。

【設(shè)計意圖】：數(shù)學(xué)建模的第二個步驟就是模型假設(shè)。這是學(xué)生之前沒有學(xué)習(xí)接觸過的板塊，教師要引導(dǎo)學(xué)生提出一系列的假設(shè)條件，明確為研究好溫度與時間的關(guān)系，要控制其他因素不變的要求。

（三）強(qiáng)化建模項目學(xué)習(xí)，突出趣味合作探究

要在高中數(shù)學(xué)教學(xué)之中有效培育學(xué)生的建模思想，高中數(shù)學(xué)教師還需要聚焦于組織綜合性實踐性的項目化數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)活動，使得學(xué)生能夠組成不同的小組、以小組的形式來參與共同建模解決問題。教師可以在課堂上騰出部分時間、或是利用課后的時間為學(xué)生組織建模項目學(xué)習(xí)活動；教師要結(jié)合學(xué)生之間接觸到的數(shù)學(xué)建模相關(guān)的知識內(nèi)容向?qū)W生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模活動流程的講解，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)建模有一個大致總體上的把握，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)建模思想在實際生活問題之中的重要作用，同時教師在小組合作探究的過程中要強(qiáng)化引導(dǎo)和輔助[3]。

【案例】茶水問題——求解模型，回歸實際

大約幾分鐘后，有個別小組建立好了模型并已經(jīng)求解好了。

小組代表1：我們是以指數(shù)函數(shù)建立模型的，室內(nèi)溫度為25攝氏度，當(dāng)=25時，是函數(shù)的漸近線，當(dāng)=0時，取不到85，所以圖像是平移過了的，所以我們組是用待定系數(shù)法求解。并借助gbb軟件進(jìn)行擬合，求得解析式為

小組代表2：我們小組是用反比例函數(shù)做模型的，設(shè)，

然后把=0和=1代入求解，求得解析式為

師：我留意到其他幾個小組也是用這兩個模型，但是求解參數(shù)的值有差別。這兩類模型的溫度都是趨向于室溫。通過觀察分析，指數(shù)函數(shù)的R2 擬合度更高，圖像也更吻合。

【設(shè)計意圖】：數(shù)學(xué)建模的第三個步驟就是模型求解。通過待定系數(shù)法計算函數(shù)解析式中的參數(shù)值，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。借助軟件，使得課堂更加高效，讓學(xué)生體會到信息技術(shù)發(fā)展的重要性，體會數(shù)據(jù)軟件對數(shù)學(xué)建模的促進(jìn)作用，落實數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

檢驗結(jié)果，優(yōu)化模型

師：如何檢驗?zāi)Ｐ湍兀?/p>

生：可以通過EXCLE軟件計算模擬數(shù)據(jù)，計算其與實驗數(shù)據(jù)的差，并在同一坐標(biāo)系中畫出散點圖。結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)何時吻合度更高。

【設(shè)計意圖】：數(shù)學(xué)建模最后就是模型優(yōu)化。這個過程一直是數(shù)學(xué)建模的難點，每個人對于模型的優(yōu)化都有不一樣的看法，關(guān)鍵是要在此過程中培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維和嚴(yán)密的邏輯推理能力，提升解決實際問題的能力。

在接下來的合作探究學(xué)習(xí)活動之中，教師要注重突出建模學(xué)習(xí)過程的趣味性、適切性以及啟發(fā)性，不要對學(xué)生提出過于嚴(yán)苛的在模型建立過程以及計算結(jié)果上的精準(zhǔn)度要求，而是給予實時動態(tài)評價、鼓勵學(xué)生思維發(fā)散，使得學(xué)生能夠有效提高建模學(xué)習(xí)活動的參與感和體驗感。教師要幫助各個學(xué)習(xí)小組劃分明確的前期討論、模型選擇、模型建立、計算結(jié)果和驗證結(jié)果等幾個過程，同時給定學(xué)生具體的問題和情境，讓小組內(nèi)的學(xué)生都能夠經(jīng)歷這幾個學(xué)習(xí)過程。當(dāng)學(xué)生在進(jìn)行諸如統(tǒng)計分析建模的學(xué)習(xí)時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等不同的函數(shù)模型來表示同一個散點圖，并指導(dǎo)學(xué)生使用圖形計算器GeoGebra、計算軟件Matlab等來擬合出不同函數(shù)模型，并指導(dǎo)學(xué)生通過計算擬合函數(shù)與實際數(shù)據(jù)之間的誤差平方、或是計算擬合優(yōu)度判定系數(shù)來判斷不同函數(shù)的擬合度，選取出擬合度最高的函數(shù)模型，最后計算得出結(jié)果。教師要注重對學(xué)生的全程學(xué)習(xí)過程的評價，同時要求各個小組將研究過程和研究步驟進(jìn)行記錄，形成一份建模學(xué)習(xí)報告；依據(jù)“小組配合度”“模型科學(xué)度”“研究環(huán)節(jié)”等不同的評價標(biāo)準(zhǔn)挑選出完成度較好的建模學(xué)習(xí)項目，指導(dǎo)全班學(xué)生共同學(xué)習(xí)建模思路，帶動學(xué)生集體形成良好的建模思想。

四、基于建模教學(xué)的幾點思考

（一）數(shù)學(xué)抽象，聚焦本質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是將數(shù)學(xué)知識與技能置于真實情境中，通過解決實際問題形成和發(fā)展的能力。本節(jié)課通過茶水的溫度與時間的關(guān)系，借助真實的問題情境，學(xué)生能從現(xiàn)實問題抽象出數(shù)學(xué)問題，做好數(shù)學(xué)建模的第一步，提升數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)[4]。通過分析并確定影響茶水的主要因素，明確本節(jié)課研究的是時間對溫度的印象，初步建立模型，培養(yǎng)提出、分析、解決問題的能力，感悟數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活，學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界。

（二）體會模型，發(fā)現(xiàn)函數(shù)

通過具體分析茶水溫度與時間的幾種可能關(guān)系，如函數(shù)關(guān)系、相關(guān)關(guān)系，也可能沒有相關(guān)關(guān)系。利用散點圖來呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的實時動態(tài)關(guān)系，通俗易懂。在模型建立的過程中，借助SPSS軟件，通過數(shù)據(jù)收集與分析、畫散點圖、模型擬合和認(rèn)定溫度與時間的關(guān)系，從而得到函數(shù)模型。學(xué)生掌握模型建立的基本途徑，感受數(shù)學(xué)建模中數(shù)據(jù)分析的魅力，實現(xiàn)學(xué)科內(nèi)與學(xué)科間知識的遷移與融合，發(fā)現(xiàn)函數(shù)，發(fā)展數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)，體會數(shù)學(xué)建模的科學(xué)過程。

（三）認(rèn)知沖突，修正模型

本節(jié)課通過小組合作探究，任務(wù)明確清晰，各小組在提出模型有缺陷的條件下迅速求解，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，落實數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。同時通過對比各小組成果，經(jīng)過激烈的討論求解，修正模型，借助EXCEL進(jìn)行求解，提升信息素養(yǎng)。此環(huán)節(jié)突出了師生、生生的互動探究，有效落實合作探究的教學(xué)模式，嘗試課堂教學(xué)的轉(zhuǎn)型，實現(xiàn)以生為本。通過經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模全過程，真正落實數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。

（四）技術(shù)輔助，滲透建模

本節(jié)課借助信息技術(shù)工具進(jìn)行數(shù)據(jù)處理與計算，函數(shù)擬合、模型求解等，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具象的問題，提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，滲透數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)。利用SPSS、EXCEL、GBB等軟件的強(qiáng)大數(shù)據(jù)處理功能，更加形象直觀地揭示所探究內(nèi)容的本質(zhì)屬性與特征，探尋合理的解決方案解決實際問題。注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課堂的深度融合，拓寬了學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，使課堂更加豐富和高效[5]。

結(jié)束語

高中數(shù)學(xué)教師要注重依托新課標(biāo)核心素養(yǎng)培育的要求，同時吸收先進(jìn)的互動教學(xué)法、小組合作學(xué)習(xí)法和進(jìn)階式學(xué)習(xí)法等各種先進(jìn)的教學(xué)方法；數(shù)學(xué)教師要充分反思當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中建模思想教育缺失的“通病”，不斷從挖掘教材問題引導(dǎo)、進(jìn)階學(xué)習(xí)思想滲透、項目學(xué)習(xí)趣味合作等方面來為學(xué)生構(gòu)建沉浸式的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)空間，帶動學(xué)生在自主探究和學(xué)習(xí)、教師必要輔助與引導(dǎo)下提高數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，使得學(xué)生的建模思想以及數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)能夠得到有效提升。

參考文獻(xiàn)

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