駱煒

［摘 要］“做數(shù)學(xué)”是指學(xué)生借助材料和工具，在以實際操作為特征的數(shù)學(xué)活動中，經(jīng)歷知識形成過程與應(yīng)用過程的一種學(xué)習(xí)方式。文章針對“做數(shù)學(xué)”活動需求缺失、工具泛濫和時間緊迫等現(xiàn)狀，提出創(chuàng)設(shè)真實的問題情境、開發(fā)適切的材料工具、打開探索的時空等教學(xué)策略。

［關(guān)鍵詞］做數(shù)學(xué)；學(xué)科實踐；教學(xué)策略

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）26-0094-03

一、“做數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵和價值

1.內(nèi)涵

不同學(xué)者對“做數(shù)學(xué)”的理解各不相同。董林偉先生認(rèn)為：“做數(shù)學(xué)”是學(xué)生運用材料和工具，在手腦協(xié)同的過程中，通過操作體驗、數(shù)學(xué)實驗、綜合實踐等活動，理解數(shù)學(xué)知識、探究數(shù)學(xué)規(guī)律、解決問題的一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的一種范式。李其進(jìn)老師認(rèn)為：“做數(shù)學(xué)”是一種在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，經(jīng)歷由現(xiàn)實世界抽象出數(shù)學(xué)問題，通過猜測假設(shè)、操作實驗、合作探究、互動交流等活動，探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、自主建構(gòu)知識的學(xué)習(xí)活動。學(xué)者的觀點雖有不同，但也有共識：“做數(shù)學(xué)”是一種學(xué)習(xí)方式，它以“做”為支架，充分凸顯學(xué)生學(xué)習(xí)主體地位。筆者認(rèn)為，“做數(shù)學(xué)”是在真實情境中，學(xué)生借助材料和工具，在“做”中經(jīng)歷知識形成過程與應(yīng)用過程的一種學(xué)習(xí)方式。

2.價值

（1）激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

興趣是最好的老師，在教學(xué)過程中若能有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，一定會取得事半功倍的效果。然而數(shù)學(xué)知識的高度抽象性和小學(xué)生思維的形象性是難以調(diào)和的矛盾，這讓很多學(xué)生對數(shù)學(xué)望而卻步?！白鰯?shù)學(xué)”恰好能在兩者之間找到一個中間地帶，引領(lǐng)學(xué)生以具身實踐的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)好玩的一面顯現(xiàn)出來，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣自然高漲。

（2）促進(jìn)數(shù)學(xué)理解

“做數(shù)學(xué)”能憑借材料和工具的支撐，最大限度地將學(xué)習(xí)內(nèi)容“可視化”。于是，抽象的數(shù)學(xué)概念、嚴(yán)密的運算推理、精準(zhǔn)的圖形測量、隨機的概率統(tǒng)計等都以直觀的方式呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，學(xué)生在“做”的過程中獲得對數(shù)量關(guān)系和空間形式的深度理解，并在此基礎(chǔ)上逐步抽象，形成數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法，進(jìn)而不斷更新自己的知識結(jié)構(gòu)。

（3）豐盈活動經(jīng)驗

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅是對數(shù)學(xué)事實的接受，還是對數(shù)學(xué)思想方法的感悟，對數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累?！白鰯?shù)學(xué)”是數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗獲得的主要途徑，而數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗源于日常生活經(jīng)驗，它是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中對具體的材料和工具進(jìn)行操作、探究所獲得的經(jīng)驗。日常教學(xué)中，“做數(shù)學(xué)”的活動越豐富，學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗則越豐盈，這就為學(xué)生更加從容地利用經(jīng)驗解決真實情境中的實際問題提供條件。

（4）發(fā)展創(chuàng)新意識

“做數(shù)學(xué)”能直接刺激學(xué)生大腦，促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維，它不僅能幫助學(xué)生理解概念、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題，還能讓學(xué)生通過親身實踐真切感受到發(fā)現(xiàn)的快樂，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，勇于探索一些開放性的、非常規(guī)的實際問題與數(shù)學(xué)問題，并在這樣的過程中學(xué)會思考，學(xué)會創(chuàng)新。

二、“做數(shù)學(xué)”的現(xiàn)狀剖析

1.需求缺失：被動做

動手實踐、自主探索是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。因此，日常教學(xué)中，教師應(yīng)充分挖掘“做”的資源，引領(lǐng)學(xué)生在“做”中學(xué)。然而，在一些課堂上學(xué)生根本沒有“做”的需求，只是根據(jù)教師的指令被動完成一步步的操作。比如，在教學(xué)“因數(shù)和倍數(shù)”時，某教師讓學(xué)生用12張同樣大小的正方形紙片拼成一個長方形。五年級學(xué)生對這一活動本身是排斥的，因為他們完全可以在腦海中想象出結(jié)果，但又不得不按照教師的要求去拼，對于“為什么要拼”等本源性問題，學(xué)生根本無從思考。

2.工具泛濫：暗示做

“做數(shù)學(xué)”離不開材料和工具的支撐，這里的材料和工具應(yīng)是學(xué)生基于問題解決的需要而準(zhǔn)備或開發(fā)的。在一些課堂上，學(xué)生過著“飯來張口、衣來伸手”的學(xué)習(xí)生活，教師針對不同的教學(xué)內(nèi)容要求學(xué)生準(zhǔn)備了不同的材料和工具，這些材料和工具一覽無遺地呈現(xiàn)在學(xué)生眼前，暗示著學(xué)生后續(xù)“做”的活動。比如，學(xué)習(xí)平行四邊形的面積時，教師讓學(xué)生準(zhǔn)備三個平行四邊形紙片和一把剪刀，學(xué)生不難揣摩出今天的學(xué)習(xí)需要剪平行四邊形；學(xué)習(xí)三角形、梯形的面積時，教師讓學(xué)生準(zhǔn)備兩個完全一樣的三角形和兩個完全一樣的梯形，學(xué)生明白今天的學(xué)習(xí)不用剪三角形和梯形，兩個完全一樣的圖形很容易就想到拼組……如此教學(xué)，無形中削弱了“做數(shù)學(xué)”應(yīng)有的思維含量。

3.時間緊迫：草率做

在實際授課過程中，“做數(shù)學(xué)”和“講數(shù)學(xué)”相比，“做數(shù)學(xué)”必然會耗費更多的時間，在有限的課時內(nèi)，“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)任務(wù)落實必然更具挑戰(zhàn)性。雖然大部分教師深知“做數(shù)學(xué)”對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值，但囿于課堂上有限的時間，只得壓縮“做”的過程。于是，課堂上教師明確活動要求后，便一直催著學(xué)生動作快一些。在這樣的氛圍中，學(xué)生高度緊張，他們沒有思考的時間和空間，只為完成指定的任務(wù)而匆匆忙忙地經(jīng)歷一遍“做”的過程。于是，教師把學(xué)生囫圇吞棗的“做數(shù)學(xué)”過程等同于學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識的形成過程。實則不然，這樣的課堂中，“做”只是課堂教學(xué)的點綴和擺設(shè)，未能真正凸顯其應(yīng)有的育人價值。

三、“做數(shù)學(xué)”的實踐探索

1.創(chuàng)設(shè)真實的問題情境，激發(fā)“做”的需求

日常教學(xué)中，教師應(yīng)注重發(fā)揮情境創(chuàng)設(shè)和問題提出對學(xué)生主動參與數(shù)學(xué)活動的促進(jìn)作用，使學(xué)生在特定的問題情境中產(chǎn)生“做”的需求。真實的問題情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)圍繞教學(xué)任務(wù)，教師可從社會生活、自然科學(xué)和學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗等方面入手，選擇貼近學(xué)生生活經(jīng)驗、符合學(xué)生年齡特點和認(rèn)知加工特點的素材。比如，為讓學(xué)生感受簡單的隨機現(xiàn)象及其結(jié)果發(fā)生的可能性大小，并對一些簡單隨機現(xiàn)象發(fā)生可能性的大小做定性描述，教師可以組織六年級學(xué)生進(jìn)行一次“擲骰子實驗”。課始，教師開門見山：“兩名同學(xué)玩擲骰子游戲，他們同時擲骰子，并將朝上的點數(shù)相加，結(jié)果有哪些可能？”明確問題后，學(xué)生很快列舉出兩個骰子點數(shù)和有2～12這11種可能。教師繼續(xù)追問：“這11種點數(shù)之和出現(xiàn)的機會相等嗎？”當(dāng)這一問題拋出后，教室里炸開了鍋，學(xué)生各抒己見，但誰也不能說出確鑿的令人信服的理由，在大家僵持不下的時候，有學(xué)生建議可以像數(shù)學(xué)家蒲豐那樣做實驗，這一建議得到大家的普遍認(rèn)可。至此，“擲骰子實驗”成為學(xué)生的迫切需求。這時，教師從講臺里拿出預(yù)先準(zhǔn)備好的骰子，讓學(xué)生同桌兩人為一個小組，邊實驗邊記錄。教師將學(xué)生實驗結(jié)果匯總，學(xué)生發(fā)現(xiàn)記錄的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出的規(guī)律為“這11種點數(shù)之和出現(xiàn)的可能性不相等；把11個點數(shù)之和出現(xiàn)的次數(shù)順次排列，中間的數(shù)出現(xiàn)的機會更高”。教師再次追問：“這是巧合還是另有原因呢？”這一問題又引領(lǐng)著學(xué)生從直觀的“做數(shù)學(xué)”活動走向客觀的分析，學(xué)生在獨立思考和小組合作的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)每種結(jié)果點數(shù)之和出現(xiàn)的情況不同。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出實驗現(xiàn)象背后的道理。

回顧這一活動過程，教師創(chuàng)設(shè)一個真實的問題情境后，學(xué)生自主探索、合作交流，自然生成“做”的需求，而教師讓學(xué)生動手實踐，為他們進(jìn)一步探究積累了豐富的感性經(jīng)驗，有效推進(jìn)學(xué)生思維的跨越。

2.開發(fā)適切的材料工具，提供“做”的支撐

當(dāng)前，讓學(xué)生形成自主、合作、探究式學(xué)習(xí)已成為一線教師的普遍共識。在各級各類課堂教學(xué)現(xiàn)場，都能看到教師為學(xué)生學(xué)習(xí)準(zhǔn)備的材料和工具，毋庸置疑，必要的材料和工具是幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、驗證數(shù)學(xué)的重要載體。但材料和工具的使用貴在適切，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生明確材料和工具的來龍去脈，切忌直接地將材料和工具強加給學(xué)生。

筆者曾在一次教學(xué)比賽的現(xiàn)場聽兩位教師執(zhí)教同一道例題：

例：為了布置黑板報，美術(shù)小組的同學(xué)剪了一根粉色彩帶、黃色彩帶和藍(lán)色彩帶。如果以粉色彩帶作為標(biāo)準(zhǔn)，黃色彩帶和藍(lán)色彩帶各有多長？

分析例題不難發(fā)現(xiàn)，例題的意圖是引領(lǐng)學(xué)生從測量的視角再認(rèn)識分?jǐn)?shù)的意義，感悟分?jǐn)?shù)單位的意義，進(jìn)一步明確通過分?jǐn)?shù)單位的累加可以得到大小不同的分?jǐn)?shù)。對比，兩位教師都設(shè)計了“以粉色彩帶為標(biāo)準(zhǔn)，測量黃色彩帶的長度”的活動，但過程截然不同。

A教師直接出示問題，學(xué)生明確問題后，教師直接說明：“用粉色彩帶作為標(biāo)準(zhǔn)，我們可以將粉色彩帶平均分成2份、3份、4份……選擇更小的單位來測量。”隨即出示活動要求：（1）選一選：從老師提供的較小的分?jǐn)?shù)單位中選擇合適的分?jǐn)?shù)單位；（2）量一量：用選好的分?jǐn)?shù)單位量一量黃色彩帶，記錄結(jié)果；（3）說一說：黃色彩帶有（ ? ? ? ?）個 [1（ ? ? ? ? ?）] 根粉色彩帶長，是 [（ ? ? ? ? ?）（ ? ? ? ? ?）] 根粉色彩帶長。接下來，學(xué)生完成活動要求后全班集體交流。

B教師在測量黃色彩帶長度前增加了一條綠色彩帶，長度正好是粉色彩帶的2倍。學(xué)生通過觀察估計結(jié)果后，教師指名學(xué)生操作驗證。隨后，教師出示黃色彩帶，很明顯，這時黃色彩帶比1根粉色彩帶短。這時學(xué)生紛紛提出平均分粉色彩帶，選擇用平均分后的1份去量黃色彩帶的方案，那究竟平均分成多少份呢？B教師并沒有繼續(xù)提問，而是為每桌同學(xué)準(zhǔn)備了5根粉色彩帶和1根黃色彩帶，讓學(xué)生自己嘗試。課堂上，有的小組學(xué)生將粉色彩帶平均分成2份、3份……逐一嘗試；也有的小組學(xué)生在觀察兩種彩帶長度的基礎(chǔ)上做出大膽的猜測，然后有選擇性地平均分粉色彩帶，創(chuàng)造合適的單位去量。

兩種課堂呈現(xiàn)不同的課堂樣態(tài)：A教師的教學(xué)雖然順暢，但學(xué)生好似操作工，只是按部就班地完成指定的操作活動；B教師沒有為學(xué)生準(zhǔn)備現(xiàn)成的分?jǐn)?shù)單位，學(xué)生在特定的問題情境中主動創(chuàng)造探究的材料和工具。這樣，學(xué)生不僅從測量的視角對分?jǐn)?shù)的意義有了更為深刻的認(rèn)識，更為重要的是，他們從中習(xí)得了一致性的思想方法：在測量時若單位偏大，可以通過平均分不斷創(chuàng)造新的單位展開測量。可見，材料和工具的使用同樣需要教師精心地設(shè)計，適切的材料和工具是“做數(shù)學(xué)”的有力支撐，可以讓學(xué)生的學(xué)習(xí)活動不斷增值。

3.打開探索的時空，豐富“做”的成果

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)活動的組織者、引導(dǎo)者與合作者。因此，有效的教學(xué)活動是學(xué)生“學(xué)”和教師“教”的統(tǒng)一。其中，教師“教”的重點在于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生積極思考，給予學(xué)生充裕的探索時間，幫助學(xué)生打開廣闊的探索空間，鼓勵學(xué)生質(zhì)疑問難，并在真實情境中發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題。學(xué)生“學(xué)”的關(guān)鍵在于全身心投入學(xué)習(xí)過程，主動理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、掌握數(shù)學(xué)基本技能，感悟數(shù)學(xué)基本思想，獲得數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，形成積極的情感、態(tài)度和價值觀，發(fā)展核心素養(yǎng)。

例如，在教學(xué)“面積單位的認(rèn)識”一課時，面對教學(xué)內(nèi)容多、學(xué)生量感弱等客觀現(xiàn)實，教師可以改變教材編排的平方厘米、平方分米、平方米的教學(xué)順序，大膽重組課程內(nèi)容。從學(xué)生熟悉的長度測量開始，由長度測量需要長度單位順勢引入面積測量需要面積單位。大多數(shù)學(xué)生在不同場合聽過或見過平方厘米、平方分米和平方米這三個面積單位，對此，教師可以由“扶”到“放”，圍繞“是什么”“有多大”“有什么用”等三個核心問題，引領(lǐng)學(xué)生在豐富的“做數(shù)學(xué)”活動中建構(gòu)面積單位。認(rèn)識1平方厘米時，教師出示1平方厘米的正方形，讓學(xué)生猜想其邊長，并進(jìn)行驗證，明確定義。隨后，組織學(xué)生在摸一摸、想一想、比一比、找一找等活動中全方位感知1平方厘米的大小。有了認(rèn)識1平方厘米的經(jīng)驗，學(xué)生學(xué)習(xí)熱情高漲，繼而順利開展1平方分米和1平方米的探究活動。

不難預(yù)見，學(xué)生在探究1平方分米和1平方米的過程中與這兩個面積單位有了親密的接觸，后續(xù)的全班交流、分享將不斷豐富、完善學(xué)生對面積單位的認(rèn)識。經(jīng)歷了這樣“做數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生對面積單位的認(rèn)識不再是抽象晦澀的概念，而是集圖形、實物、文字、符號等多種表征于一體的具體的形象。這樣，學(xué)生建構(gòu)的知識更加堅固。

綜上，“做數(shù)學(xué)”作為學(xué)科實踐的基本樣態(tài)，它能幫助學(xué)生實現(xiàn)對數(shù)學(xué)的深度理解，經(jīng)歷對數(shù)學(xué)的自主探究，體驗對數(shù)學(xué)的實踐創(chuàng)新，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，充分彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 董林偉.走向?qū)W科育人：“做數(shù)學(xué)”的時代建構(gòu)與實踐創(chuàng)新[J].教育發(fā)展研究，2021（8）：7-17.

[2] 李其進(jìn).小學(xué)“做數(shù)學(xué)”教學(xué)主張及實踐建構(gòu)[J].現(xiàn)代中小學(xué)教育，2017（5）：40-42.

[3] 趙維坤，董林偉.初中數(shù)學(xué)實驗工具的開發(fā)與利用[J].數(shù)學(xué)通報，2018（11）：5-8.

[4] 茅羽，劉正松.“面積單位的認(rèn)識”教學(xué)實錄與評析[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2022（Z1）：79-82.

[5] 董林偉.“做數(shù)學(xué)”：中小學(xué)生適合教育的實踐構(gòu)建[J].教育研究與評論，2021（3）：16-21.

【本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十四期重點自籌課題“小學(xué)數(shù)學(xué)‘動手做’欄目的開發(fā)設(shè)計與案例研究”（編號：2021JY14-ZB37）、南京市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度專項課題“生活實踐理念下小學(xué)‘做數(shù)學(xué)’活動設(shè)計的實踐研究”（編號：SHZX/2022/006）的階段性研究成果?！?/p>

（責(zé)編 梁桂廣）