- 編者按 -

為助力更多教師依托《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”）開(kāi)展高質(zhì)量課堂教學(xué)，本欄目邀請(qǐng)教研專(zhuān)家和一線教師圍繞“新課標(biāo)如何在實(shí)踐中落地”分享他們的特色探索。本期邀請(qǐng)北京教育科學(xué)研究院基礎(chǔ)教育教學(xué)研究中心數(shù)學(xué)教研室教研員康杰、侯海全、黃煒和北京市第一七一中學(xué)教師劉潔、張舒、梁軍玲，分享他們?cè)诼鋵?shí)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的相關(guān)探索。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生逐步會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。學(xué)生能獲得適應(yīng)未來(lái)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。[1]掌握必要的基礎(chǔ)知識(shí)是獲得基本技能的前提，在基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中可以不斷積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、體會(huì)基本思想，因此，基礎(chǔ)知識(shí)尤為重要。中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容龐大繁雜，概念、原理等知識(shí)多種多樣，而中高考數(shù)學(xué)試卷對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的覆蓋率常在六成以上，在復(fù)習(xí)教學(xué)中調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)顯得尤為重要？

1.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中出現(xiàn)的問(wèn)題

為了深入了解學(xué)生的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)情況，我們對(duì)北京市1288名初高中學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，并對(duì)部分學(xué)生進(jìn)行了訪談，通過(guò)調(diào)查數(shù)據(jù)和訪談結(jié)果分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)存在以下三個(gè)突出問(wèn)題。

一是學(xué)生缺乏復(fù)習(xí)的興趣。調(diào)查結(jié)果顯示，初中和高中都有超過(guò)三成的學(xué)生在上數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課時(shí)，感覺(jué)到無(wú)聊、缺乏興趣。究其原因：感覺(jué)數(shù)學(xué)題目太難，不會(huì)做也聽(tīng)不懂的學(xué)生占四成左右；自身缺乏明確的復(fù)習(xí)目標(biāo)的學(xué)生占三成左右；對(duì)知識(shí)的重復(fù)講解沒(méi)有興趣的學(xué)生接近二成，還有一成左右的學(xué)生受困于題海戰(zhàn)術(shù)。為扭轉(zhuǎn)這一局面，需要幫助每一名學(xué)生明確自己復(fù)習(xí)的目標(biāo)，而不是僅僅由教師為全體學(xué)生設(shè)定統(tǒng)一的目標(biāo)，這就需要教師采用新穎的教學(xué)方法、教學(xué)策略等來(lái)激發(fā)學(xué)生的興趣，改變教師滿(mǎn)堂講解、學(xué)生機(jī)械模仿的教學(xué)模式，減少機(jī)械、重復(fù)、枯燥的海量解題訓(xùn)練。

二是學(xué)生缺乏復(fù)習(xí)的計(jì)劃性。問(wèn)卷調(diào)查結(jié)果顯示，在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過(guò)程中，有近三成的初高中學(xué)生表示很少或從不制訂自己的復(fù)習(xí)計(jì)劃，有近五成學(xué)生表示只是有時(shí)會(huì)制訂，僅有二成的學(xué)生會(huì)經(jīng)常制訂復(fù)習(xí)計(jì)劃。由此可見(jiàn)，學(xué)生在復(fù)習(xí)過(guò)程中無(wú)所適從，對(duì)教師依賴(lài)性較強(qiáng)。

三是學(xué)生缺乏復(fù)習(xí)的針對(duì)性。問(wèn)卷調(diào)查結(jié)果顯示，僅有近三成的初高中學(xué)生非常清楚自己在復(fù)習(xí)中的薄弱點(diǎn)，六成左右的學(xué)生表示只知道自己的部分情況，一成左右的學(xué)生表示不太清楚或完全不清楚自己的薄弱環(huán)節(jié)。這些學(xué)生很難實(shí)現(xiàn)針對(duì)自己的薄弱點(diǎn)采取相應(yīng)的補(bǔ)救措施。

2.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的研究概述

我們以“數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)”為關(guān)鍵詞在CNKI中文數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行文獻(xiàn)搜索，共檢索到14211篇文獻(xiàn)。從2010年開(kāi)始，每年的文獻(xiàn)數(shù)都超過(guò)了500篇，其中在2019年達(dá)到了1160篇的高點(diǎn)，這表明關(guān)于數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的教學(xué)研究始終是熱點(diǎn)。學(xué)者和一線教師對(duì)于數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的研究投入了極大熱情，尤其是對(duì)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的價(jià)值、類(lèi)型、策略等進(jìn)行了深入的研究。

對(duì)于數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的價(jià)值，各類(lèi)研究均明確地指出了數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重要性。比如，薩如拉對(duì)初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的育人價(jià)值進(jìn)行了研究，指出初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課相比于其他數(shù)學(xué)教學(xué)有其獨(dú)特的價(jià)值，體現(xiàn)在對(duì)學(xué)生整體結(jié)構(gòu)認(rèn)知能力、綜合思維能力以及自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)與提升方面[2]。對(duì)于數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的類(lèi)型，大部分研究將數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)總結(jié)為單元復(fù)習(xí)、專(zhuān)題復(fù)習(xí)和習(xí)題復(fù)習(xí)三類(lèi)，并明確了各類(lèi)型數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的目標(biāo)、內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、設(shè)計(jì)、評(píng)價(jià)等方面。多數(shù)學(xué)者和教師都意識(shí)到研究數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的目的就是為了提升復(fù)習(xí)的質(zhì)量，所以多數(shù)研究都會(huì)提出改進(jìn)復(fù)習(xí)課的教學(xué)策略。比如，黃悅軍、劉明軍、田明剛立足數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，提出了初中數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)的教學(xué)策略來(lái)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[3]。陳龍?zhí)岢隽藘?yōu)化數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的具體方法：制訂詳細(xì)的復(fù)習(xí)計(jì)劃；明晰角色，提升實(shí)效；講練結(jié)合，張弛有度；重視錯(cuò)題，查漏補(bǔ)缺；培優(yōu)輔弱，靶向培養(yǎng)[4]。鐘志華認(rèn)為在中考復(fù)習(xí)中教師應(yīng)當(dāng)按照基本、變式、拓展三個(gè)階段設(shè)置題組，使學(xué)生能夠識(shí)別和掌握數(shù)學(xué)模型，吃透解題方法和技巧[5]。

我們以“數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)”和“學(xué)習(xí)目標(biāo)”為關(guān)鍵詞在CNKI中文數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行文獻(xiàn)搜索，只檢索到26篇文獻(xiàn)，僅占總檢索量的0.18%，這非常清晰地表明，廣大學(xué)者和教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的研究和實(shí)踐時(shí)，較少關(guān)注到學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)的重要性。謝華東、孫孟清、顧為秀等都意識(shí)到了學(xué)生的差異性對(duì)復(fù)習(xí)的影響，由此提出在復(fù)習(xí)教學(xué)中要為學(xué)生制定分層目標(biāo)。謝華東是結(jié)合教師的經(jīng)驗(yàn)和對(duì)學(xué)生成績(jī)的判斷，將學(xué)生進(jìn)行分層，再由教師為各層學(xué)生制定各自的學(xué)習(xí)目標(biāo)[6]；孫孟清提出根據(jù)不同學(xué)情制定對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)目標(biāo)，并以此給學(xué)生制訂對(duì)應(yīng)的復(fù)習(xí)計(jì)劃[7]。顯然，上述分層目標(biāo)都是以教師為主導(dǎo)，而且是針對(duì)學(xué)生群體制定的目標(biāo)，難以精準(zhǔn)到個(gè)人。顧為秀先讓學(xué)生練習(xí)幾份中考試卷或模擬試卷，然后綜合這幾份試卷的答題情況，幫助班上每一名學(xué)生進(jìn)行分析，幫助他們?cè)O(shè)定自己的奮斗目標(biāo)[8]。這樣的目標(biāo)雖然結(jié)合每一名學(xué)生的情況制定，但由于中考題或模擬試題往往都是綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)考查的，難以精準(zhǔn)地診斷出學(xué)生的問(wèn)題。

以上的研究重點(diǎn)基本集中于對(duì)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的價(jià)值、數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的類(lèi)型、改進(jìn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的策略等方面，但是我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于如何幫助學(xué)生自主建立復(fù)習(xí)目標(biāo)，從而制定個(gè)性化的復(fù)習(xí)計(jì)劃的研究還相對(duì)缺乏，而教育目標(biāo)分類(lèi)學(xué)理論恰好為我們提供了解決此類(lèi)問(wèn)題的新視野。

3.基于目標(biāo)分類(lèi)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)探析

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的首要目標(biāo)就是為了提升學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，那么，怎么才能順利地解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？首先，大腦需要提取解決這個(gè)問(wèn)題所需要的數(shù)學(xué)基本知識(shí)，也就是相關(guān)的概念、法則、公式等。其次，大腦將這些概念、法則、公式有機(jī)地聯(lián)系在一起，靈活地解決問(wèn)題。這就不可避免地使用了或者說(shuō)觸及到了另一類(lèi)知識(shí)及能力，我們稱(chēng)之為思路、程序或方法。例如，解決一個(gè)分式加減運(yùn)算的題目時(shí)，其實(shí)，從教育目標(biāo)分類(lèi)的角度來(lái)把握以上解題過(guò)程更易于理解，那么，教師如何基于此開(kāi)展數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)呢？

第一，引導(dǎo)學(xué)生明晰教育目標(biāo)分類(lèi)學(xué)與數(shù)學(xué)公理化思想的一致性。

教育目標(biāo)分類(lèi)學(xué)將知識(shí)分為四類(lèi)：事實(shí)類(lèi)知識(shí)、概念類(lèi)知識(shí)、程序性知識(shí)、元認(rèn)知知識(shí)[9]。如果我們從教育目標(biāo)分類(lèi)的角度分析以上的解題過(guò)程，那么被大腦提取的概念、法則和公式等都屬于事實(shí)類(lèi)知識(shí)和概念類(lèi)知識(shí)，而相應(yīng)的解題思路或者解題方法，則大多屬于程序類(lèi)知識(shí)。顯然，學(xué)生能正確提取事實(shí)類(lèi)和概念類(lèi)知識(shí)是順利求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)，因此這就要求我們?cè)趶?fù)習(xí)教學(xué)中必須幫助學(xué)生首先要完成對(duì)這類(lèi)基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)。通過(guò)對(duì)一線課堂的觀察我們發(fā)現(xiàn)，教師通常采用以下三種方式帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)。（1）用提問(wèn)帶領(lǐng)學(xué)生回顧知識(shí)，當(dāng)學(xué)生不能順利作答時(shí)，教師給予提示。這種問(wèn)答式的復(fù)習(xí)至少存在兩個(gè)問(wèn)題，一是不能幫助學(xué)生將所學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化，二是因?yàn)槊總€(gè)問(wèn)題不可能讓每名學(xué)生都作答，所以對(duì)于學(xué)生個(gè)人來(lái)說(shuō)，是否成功復(fù)習(xí)了所有知識(shí)是存疑的。（2）用練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生回顧知識(shí)，此時(shí)又有兩種模式，一是邊做邊講，師生活動(dòng)交替進(jìn)行，二是先做后講。這樣的復(fù)習(xí)方式所存在的問(wèn)題也很明顯，既不能使學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識(shí)，也難以激發(fā)學(xué)生的興趣。（3）要求學(xué)生用畫(huà)知識(shí)結(jié)構(gòu)圖的方式回顧知識(shí)，這種方式確實(shí)可以使學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化，但是對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱的學(xué)生，是難以完成的。那應(yīng)該怎么解決上述矛盾呢？

解決上述矛盾的關(guān)鍵是引導(dǎo)師生認(rèn)清數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特征——公理化。公理化就是把一個(gè)科學(xué)理論公理化，用公理方法研究它，建立一個(gè)公理系統(tǒng)。公理化的實(shí)現(xiàn)就是：（1）從它的諸多概念中挑選出一組初始概念，該理論中的其余概念，都由初始概念通過(guò)定義引入，稱(chēng)為導(dǎo)出概念；（2）從它的一系列命題中挑選出一組公理，而其余的命題，都應(yīng)用邏輯規(guī)則從公理推演出來(lái)，稱(chēng)為定理。實(shí)際上，數(shù)學(xué)的概念、定理構(gòu)成了數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)公理化的進(jìn)程也有助于學(xué)生調(diào)整和改進(jìn)認(rèn)知策略。

第二，利用教育測(cè)量工具促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)診斷。

從教育測(cè)量的角度為學(xué)生提供進(jìn)行自我診斷的工具，亦即命制進(jìn)行基礎(chǔ)知識(shí)檢測(cè)的測(cè)試試卷，其中的每一道題目只考察一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)要素，并且認(rèn)知加工方式比較基礎(chǔ)，僅涉及記憶、理解和簡(jiǎn)單應(yīng)用這三類(lèi)。如果學(xué)生做錯(cuò)某道題目，我們就可以斷言是某個(gè)單一知識(shí)要素的學(xué)習(xí)出現(xiàn)了問(wèn)題，我們稱(chēng)這樣的復(fù)習(xí)課為“明細(xì)課”。這類(lèi)課的目的就是幫助每一名學(xué)生清晰判斷某一模塊中所有應(yīng)該掌握的知識(shí)要素情況，這一模塊所包含的具體知識(shí)要素有哪些，對(duì)這些知識(shí)要素的簡(jiǎn)單認(rèn)知加工方式是什么等細(xì)節(jié)；同時(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷自我診斷的過(guò)程，充分了解自身知識(shí)掌握的優(yōu)勢(shì)與不足，進(jìn)而明確個(gè)人的學(xué)習(xí)目標(biāo)，合理制定個(gè)性化的復(fù)習(xí)方案。為了達(dá)成“明細(xì)課”的目標(biāo)，教師在課前需要為學(xué)生準(zhǔn)備一套檢測(cè)題目。命制這套題時(shí)需要注意兩個(gè)要點(diǎn)，一是要根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)中的相關(guān)要求，分解出詳細(xì)的知識(shí)要素表，并形成知識(shí)細(xì)目表，二是依據(jù)知識(shí)細(xì)目表設(shè)計(jì)僅僅考察一個(gè)知識(shí)要素的單一考點(diǎn)的題目。這樣的測(cè)試卷既覆蓋了全部知識(shí)要素，同時(shí)又具有診斷性功能。除了測(cè)試題目的命制，教師還應(yīng)該為學(xué)生準(zhǔn)備“知識(shí)內(nèi)容分布圖（對(duì)某一模塊進(jìn)行二次分類(lèi)）”“知識(shí)類(lèi)型分布圖（標(biāo)注其類(lèi)別屬性）”和“個(gè)人發(fā)展明細(xì)表”等學(xué)習(xí)資源。

“明細(xì)課”的第一個(gè)教學(xué)目標(biāo)是幫助每一名學(xué)生知曉課程標(biāo)準(zhǔn)中所規(guī)定的基本要求，教師通過(guò)引領(lǐng)學(xué)生將前測(cè)題目與課程標(biāo)準(zhǔn)的要求建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而使學(xué)生真正了解數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)相關(guān)內(nèi)容的具體要求，加深對(duì)教材編寫(xiě)和考試命題原則的理解，為后續(xù)自主建立復(fù)習(xí)目標(biāo)和制定個(gè)性化的復(fù)習(xí)方案奠定基礎(chǔ)。

“明細(xì)課”的第二個(gè)教學(xué)目標(biāo)是幫助每一名學(xué)生認(rèn)清自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容領(lǐng)域的強(qiáng)項(xiàng)和弱項(xiàng)，依據(jù)自己的答卷情況，通過(guò)勾畫(huà)“知識(shí)內(nèi)容分布圖”和“知識(shí)類(lèi)型分布圖”，分析自己和年級(jí)得分率的對(duì)比情況，可以知道自己哪部分學(xué)得好，哪部分有較大漏洞。設(shè)計(jì)這樣的環(huán)節(jié)，就是為了幫助每一名學(xué)生進(jìn)行精準(zhǔn)的自我診斷，增強(qiáng)自我認(rèn)知水平。在知識(shí)分類(lèi)中，還有一類(lèi)重要的知識(shí)——元認(rèn)知知識(shí)，有人稱(chēng)之為“關(guān)于知識(shí)的知識(shí)”或者“合起來(lái)的知識(shí)”。相對(duì)于事實(shí)類(lèi)、概念類(lèi)和程序性三種知識(shí)類(lèi)型在數(shù)學(xué)教學(xué)中比較容易產(chǎn)生關(guān)聯(lián)并得到教師的認(rèn)同，元認(rèn)知知識(shí)很少在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中得到體現(xiàn)。元認(rèn)知知識(shí)可以進(jìn)一步分為若干個(gè)亞類(lèi)，亞類(lèi)之一是自我認(rèn)知，主要是指對(duì)自己在學(xué)習(xí)和認(rèn)知方面的強(qiáng)項(xiàng)和弱項(xiàng)的了解，自我認(rèn)知還包括自我動(dòng)機(jī)信念，如自我效能感、興趣和價(jià)值。學(xué)習(xí)理論的研究顯示，學(xué)生對(duì)自己的知識(shí)和思維多一些意識(shí)與責(zé)任將會(huì)學(xué)得更好[9]。由此，我們認(rèn)為，學(xué)生明確自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的強(qiáng)項(xiàng)和弱項(xiàng)，將有助于其增強(qiáng)自我認(rèn)知水平，從而為建立自主的復(fù)習(xí)目標(biāo)和方案提供依據(jù)。

“明細(xì)課”的第三個(gè)教學(xué)目標(biāo)是幫助每一名學(xué)生自主建立復(fù)習(xí)目標(biāo)和個(gè)性化的復(fù)習(xí)方案，支撐這個(gè)目標(biāo)的資源是“個(gè)人發(fā)展明細(xì)表”。教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合本課之前的分析，從明確知識(shí)、培養(yǎng)習(xí)慣、提升能力、規(guī)劃時(shí)間等方面詳細(xì)制定屬于自己的復(fù)習(xí)方案。這樣的復(fù)習(xí)方案是有證據(jù)支撐的，而非完全感性的認(rèn)識(shí)，可以使學(xué)生的復(fù)習(xí)更有針對(duì)性和個(gè)性化，更能真正激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。

“明細(xì)課”使學(xué)生真正實(shí)現(xiàn)了查漏補(bǔ)缺，高效完成了對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)，為后續(xù)總結(jié)方法、培養(yǎng)能力、提升解題水平奠定了基礎(chǔ)。