劉業(yè)生

一、問題的提出

“平行四邊形的面積”一課是一節(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典課例，不同版本的內(nèi)容編排也基本相同，基本都包括數(shù)方格法比較面積、公式猜想、推導(dǎo)公式等環(huán)節(jié)。由于該課的可操作性強(qiáng)，該內(nèi)容經(jīng)常亮相各大賽課平臺(tái)。筆者在系統(tǒng)接受學(xué)教評(píng)一致性理論知識(shí)后，在學(xué)教評(píng)一致性背景下重新思考該節(jié)課例，“平行四邊形的面積”一課承載了哪些數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？最核心的素養(yǎng)是什么？這些核心素養(yǎng)該如何在教學(xué)之中體現(xiàn)？這節(jié)課的最核心目標(biāo)是什么？“數(shù)方格”的教學(xué)價(jià)值又體現(xiàn)在哪里？如何剪拼？基于以上思考，筆者開展了相關(guān)的行動(dòng)研究和課例研究，聚焦面積這一本質(zhì)內(nèi)容，促進(jìn)“量感”這一核心素養(yǎng)培育。

二、學(xué)教評(píng)一致性背景下的核心素養(yǎng)和核心目標(biāo)的確定

（一）核心素養(yǎng)的確定

通過研究課標(biāo)和不同版本教材分析，我們認(rèn)為“量感”是本節(jié)課的核心素養(yǎng)，我們認(rèn)為公式猜想就應(yīng)該回歸到圖形面積概念本質(zhì)，從“數(shù)方格”即“數(shù)面積單位”的角度去提出猜想，緊扣面積本質(zhì)屬性，不但數(shù)整格的面積單位，還讓學(xué)生在將兩個(gè)半格合成一格的思量中感受到接下來為什么要進(jìn)行圖形的轉(zhuǎn)化，很好地促進(jìn)量感教學(xué)的同時(shí)，感受到數(shù)學(xué)“轉(zhuǎn)化法”的重要性。

（二）核心目標(biāo)的確定

1.經(jīng)歷數(shù)方格求平行四邊形面積的過程，體會(huì)面積的本質(zhì)——面積單位的疊加，初步滲透圖形轉(zhuǎn)化思想，建立量感。2.通過操作、探究、對(duì)比、交流，經(jīng)歷平行四邊形面積的推導(dǎo)過程，初步體會(huì)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想，發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)。3.掌握平行四邊形面積公式的計(jì)算方法，能在現(xiàn)實(shí)中解決實(shí)際問題，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)用意識(shí)。

三、學(xué)教評(píng)一致性背景下的“平行四邊形的面積”教學(xué)實(shí)踐

（一）情境激趣，引發(fā)猜想

教師播放微課，出示地主分地的故事：從前有個(gè)地主，他給兩個(gè)兒子分地，給大兒子分了一塊長(zhǎng)方形的地，給小兒子分了一塊平行四邊形的地，可是兩個(gè)兒子都認(rèn)為分給自己的那塊地小，都說老地主偏心。（如下圖）在學(xué)生讀懂?dāng)?shù)學(xué)信息后，教師拋出問題：你們認(rèn)為哪塊地的面積大呢？學(xué)生根據(jù)教師提供的沒有標(biāo)數(shù)據(jù)的兩個(gè)圖形，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)大膽進(jìn)行猜測(cè)。在猜測(cè)中感覺到要計(jì)算出兩塊地的面積，需要給出相關(guān)數(shù)據(jù)，為了便于研究，教師提供兩個(gè)圖形（如下圖）的相關(guān)數(shù)據(jù)，在學(xué)生計(jì)算完左邊長(zhǎng)方形的面積后，教師引導(dǎo)學(xué)生大膽猜測(cè)平行四邊形的面積會(huì)該怎么求？

學(xué)生匯報(bào)，教師記錄下學(xué)生的三種猜想：6×4=24 m2????? 6×5=30 m2

5×4=20 m2 。

師生明確三種猜想所對(duì)應(yīng)的公式分別為：平行四邊形的面積=底×高，平行四邊形的面積=鄰邊×鄰邊，平行四邊形的面積=底×不對(duì)應(yīng)的高。但哪種算法才是正確的？學(xué)生爭(zhēng)論不一。

師：到底哪種猜想是對(duì)的呢？教師揭示課題：平行四邊形的面積。

思考：新課標(biāo)中“推理意識(shí)”核心素養(yǎng)明確要求：能夠通過簡(jiǎn)單的歸納或類比，猜想或發(fā)現(xiàn)一些初步的結(jié)論。本節(jié)課通過地主分地創(chuàng)設(shè)比較平行四邊形和長(zhǎng)方形面積大小的需要，通過情景激趣，引發(fā)對(duì)平行四邊形面積公式的三種猜想，從而進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生運(yùn)用不同方法去驗(yàn)證猜想的學(xué)習(xí)興趣。

（二）動(dòng)手操作，驗(yàn)證猜想

1.直觀度量，初步驗(yàn)證。教師提供方格情境，供學(xué)生探索。

在方格紙上數(shù)一數(shù)，然后填寫下表。（一個(gè)方格代表1 m2）

在學(xué)生動(dòng)手操作之前，師引導(dǎo)生一起弄清楚每個(gè)方格代表1平方米的具體含義。

生動(dòng)手?jǐn)?shù)方格，并完成學(xué)習(xí)單上的學(xué)習(xí)任務(wù)。師組織學(xué)生分享結(jié)果，平行四邊形的面積數(shù)方格得出來的結(jié)果為24格，面積為24平方米。教師及時(shí)追問：“大家在數(shù)的時(shí)候，有沒有什么小竅門？”，通過問題引領(lǐng)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)的時(shí)候可以將左邊的角部分移到右邊就會(huì)變成學(xué)過的長(zhǎng)方形，數(shù)起來更方便。

師：這種方法在數(shù)學(xué)上稱為“割補(bǔ)法”，也是一種轉(zhuǎn)化的方法，引出課題：平行四邊形的面積。

教師通過繼續(xù)追問：“通過對(duì)比左右兩個(gè)圖形的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？”在思維碰撞中學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圖形的面積是相等的，還有學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)了平行四邊形的底與高分別與長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬是相等的。學(xué)生從數(shù)據(jù)上的觀察初步認(rèn)為平行四邊形的面積應(yīng)該是底乘高。師進(jìn)一步追問：“是不是所有的平行四邊形的面積都等于底乘高呢？”接下來開始第二個(gè)驗(yàn)證。

2.轉(zhuǎn)化推理，再次驗(yàn)證。師出示第二個(gè)驗(yàn)證任務(wù)，并引導(dǎo)學(xué)生明確任務(wù)一：選擇一個(gè)平行四邊形將它轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形。學(xué)生利用課前教師發(fā)下的4個(gè)不同形狀的平行四邊形學(xué)具，小組合作，動(dòng)手操作。在核心問題“可以從什么地方剪？”的驅(qū)動(dòng)下，各組開展動(dòng)手操作，2組學(xué)生代表主動(dòng)上臺(tái)匯報(bào)，2組學(xué)生分別采用的都是沿平行四邊形最邊上的高剪開通過平移拼成長(zhǎng)方形。在學(xué)生進(jìn)一步思辨下，師生明確還可以沿中間的高剪拼成長(zhǎng)方形的情況。

3.深入理解，歸納小結(jié)。師出示任務(wù)二：觀察剪拼的圖形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與平行四邊形的底和高有什么關(guān)系，由長(zhǎng)方形的面積公式如何推導(dǎo)出平行四邊形面積公式？生自由討論，繼續(xù)完成學(xué)習(xí)單上相應(yīng)任務(wù)后，在核心問題“該如何剪？為什么這樣剪？”的引領(lǐng)下，教師組織匯報(bào)，在操作和觀察后，學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與平行四邊形的底相等，長(zhǎng)方形的寬與平行四邊形的高相等這組關(guān)系，同時(shí)根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式得出平行四邊形的面積等于底乘高。在核心內(nèi)容的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生對(duì)于課前三種猜想中的第一種猜想：平行四邊形的面積=底×高有了進(jìn)一步的理解。

（三）學(xué)以致用，總結(jié)反思

為了避免學(xué)生只注重對(duì)公式的機(jī)械運(yùn)用，在練習(xí)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了如下的梯度訓(xùn)練題：第一層次：前后呼應(yīng)：“現(xiàn)在可以知道兩個(gè)兒子誰分的地大了嗎？”第二層次：聯(lián)系生活實(shí)際，計(jì)算車位的面積，給出平行四邊形兩組底和高。第三層次：選一選，給出三組數(shù)據(jù)—給出鄰邊的長(zhǎng)度、一組對(duì)應(yīng)的底和高，讓學(xué)生選擇正確的計(jì)算算式。并利用微課解釋為什么平行四邊形面積不能鄰邊×鄰邊。在最后全課小結(jié)后，教師布置了一道思考銜接題：“分到平行四邊形地的小兒子決定將這塊地平均分成兩個(gè)三角形地，一塊地用來種龍眼樹，一塊地用來種荔枝樹，你知道它們的面積各是多少嗎？”為接下來的三角形面積的教學(xué)做好鋪墊。

四、思考與結(jié)論

（一）明確水平層次及學(xué)習(xí)路徑，構(gòu)建知識(shí)間的聯(lián)系

教師在教學(xué)這節(jié)課時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生充分利用已有的圖形與幾何的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行自主探索，在不斷操作和對(duì)比聯(lián)系已學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上逐步推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式。我們確定本節(jié)課通過讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證這兩大環(huán)節(jié)，從故事地主分地入手，引發(fā)學(xué)生對(duì)平行四邊形面積計(jì)算公式的猜想，然后讓學(xué)生經(jīng)歷方格圖數(shù)一數(shù)以及沿高剪拼的兩大核心任務(wù)，以學(xué)生作品為基礎(chǔ)，溝通了平行四邊形與長(zhǎng)方形之間的聯(lián)系，驗(yàn)證并確定了平行四邊形面積計(jì)算公式，最后再進(jìn)行鞏固練習(xí)，明確學(xué)習(xí)路徑，能更好地建構(gòu)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，更好地實(shí)現(xiàn)“結(jié)構(gòu)地教，關(guān)聯(lián)地學(xué)”。

（二）核心任務(wù)驅(qū)動(dòng)，有效提高課堂教學(xué)實(shí)效

在設(shè)計(jì)核心任務(wù)時(shí)，我們重點(diǎn)基于以下幾個(gè)思考：學(xué)生怎么會(huì)自覺想到通過高進(jìn)行割補(bǔ)，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化？轉(zhuǎn)化后的圖形怎么一定能證明就是長(zhǎng)方形？學(xué)生怎么會(huì)想到所有的平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形呢？經(jīng)過認(rèn)真思考，設(shè)計(jì)以下三個(gè)核心問題：1.可以從什么地方剪？2.該如何剪？3.為什么要這樣剪？第一個(gè)問題可以有效打破只沿頂點(diǎn)畫的那條高剪這一思維定勢(shì)，突破沿平行四邊形所有的高都可以剪這一思維難點(diǎn)。第二、三個(gè)問題能有效溝通平行四邊形與長(zhǎng)方形之間的關(guān)聯(lián)，在師生對(duì)話、生生對(duì)話中思辨平行四邊形的轉(zhuǎn)化后得到的就是一個(gè)長(zhǎng)方形，體會(huì)“割補(bǔ)轉(zhuǎn)化”的價(jià)值。學(xué)生在精心設(shè)計(jì)的核心任務(wù)的驅(qū)動(dòng)下，通過師生、生生對(duì)話解決問題，在思辨中達(dá)成共識(shí)，能高效的完成核心知識(shí)的學(xué)習(xí)，提高課堂教學(xué)效率和品質(zhì)。

（三）落實(shí)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生思維能力

為了實(shí)現(xiàn)“量感”這一核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效落實(shí)，在組織教學(xué)實(shí)施時(shí)，我們將數(shù)方格作為驗(yàn)證猜想的第一個(gè)核心任務(wù)，為了讓學(xué)生更好地經(jīng)歷數(shù)的過程，感受任何圖形的面積都是面積單位的疊加，在數(shù)方格時(shí)我們沒有給出提示“不滿一格按半格計(jì)算”這句話語，一方面可以讓學(xué)生扎實(shí)地?cái)?shù)，另一方面讓學(xué)生自己去想到將平行四邊形最左邊的角平移到最右邊轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形后來數(shù)會(huì)更好數(shù)，為后面的圖形轉(zhuǎn)化做好鋪墊。在學(xué)生沿高將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形后，為了培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的推理能力，我們還增設(shè)了讓學(xué)生說理環(huán)節(jié)。怎么證明拼成的就是長(zhǎng)方形，讓學(xué)生從長(zhǎng)方形的特征入手加以辨析論證，培養(yǎng)學(xué)生的辨析推理能力。在應(yīng)用環(huán)節(jié)為了更好地鞏固平行四邊形的面積公式=底×高，設(shè)計(jì)的兩道習(xí)題中都特別加強(qiáng)了底乘對(duì)應(yīng)高的理解，以及不能鄰邊相乘的辨析，并用微課加以論證說明，排除錯(cuò)誤知識(shí)干擾，更好地幫助學(xué)生將平行四邊形面積公式運(yùn)用到實(shí)際生活中去。

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)