文| 潘小福（特級(jí)教師） 蔣敏杰

“用字母表示數(shù)”是后繼學(xué)習(xí)方程的重要基礎(chǔ)。學(xué)生學(xué)會(huì)用字母或含有字母的式子表示數(shù)量之間的關(guān)系、性質(zhì)和規(guī)律，需要突破原有思維慣性，因此，“用字母表示數(shù)”一直以來都是教學(xué)的難點(diǎn)，也是教師教學(xué)研究的熱點(diǎn)。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）從知識(shí)教學(xué)的整體性、一致性出發(fā)，強(qiáng)化了“用字母表示數(shù)”的教學(xué)，并將“方程”移入第四學(xué)段，這對(duì)教學(xué)“用字母表示數(shù)”提出了新的研究視角。那么，如何立足新課標(biāo)要求，驅(qū)動(dòng)“用字母表示數(shù)”的創(chuàng)新教學(xué)呢？常州市的芮金芳老師與楊曄老師都依據(jù)新課標(biāo)中“內(nèi)容要求”“學(xué)業(yè)要求”與“教學(xué)提示”的要求，合理設(shè)計(jì)與編排學(xué)習(xí)活動(dòng)，幫助學(xué)生經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)的“再加工”，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)提升，但她們?cè)谇榫硠?chuàng)設(shè)、探究引領(lǐng)、交流互動(dòng)、鞏固應(yīng)用方面，有著各自的特點(diǎn)和風(fēng)格，形成了可借鑒的案例。

一、創(chuàng)設(shè)豐富情境，幫助學(xué)生感悟“用字母表示數(shù)”的一般性

從用字母表示已知的數(shù)到用字母表示未知的數(shù)，再到理解用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系，是認(rèn)識(shí)上的飛躍，需要豐富的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，特別是要讓學(xué)生感悟“用字母表示數(shù)”的一般性，是學(xué)生認(rèn)識(shí)的一個(gè)難點(diǎn)，需要讓學(xué)生通過真實(shí)的問題情境去體悟。

1.以問題情境激活探究需求

芮老師和楊老師都非常關(guān)注創(chuàng)設(shè)問題情境，立足學(xué)生原有認(rèn)知起點(diǎn)，激活問題思考：首先基于生活經(jīng)驗(yàn)，知道字母可以表示特定的數(shù)；其次借助運(yùn)算律學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)字母可以表示不確定的數(shù)；然后啟發(fā)學(xué)生從“是什么、為什么、怎么做”的角度提出新問題、新思考，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，從真實(shí)需求出發(fā)，學(xué)生也自然進(jìn)入了真實(shí)的情境問題。芮老師在課始安排了遞進(jìn)式的鋪墊環(huán)節(jié)，從學(xué)生熟悉的撲克牌引入字母的“含義”，再到回顧運(yùn)算律中字母表示數(shù)的特點(diǎn)，最后啟發(fā)學(xué)生提出學(xué)習(xí)問題，明確學(xué)習(xí)需求，一系列環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)上，讓學(xué)生體會(huì)在生活、數(shù)學(xué)中用數(shù)、符號(hào)、字母表示的普遍性。楊老師將思考巧妙地安排在與學(xué)生的對(duì)話過程中，提出“無法確定的數(shù)，在數(shù)學(xué)上如何表示？”的問題，引導(dǎo)學(xué)生與原有經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系，體會(huì)字母表達(dá)的應(yīng)用，再引入韋達(dá)的研究，使學(xué)生知道從文字?jǐn)⑹龅椒?hào)、字母表達(dá)的過程，感受到用字母表示數(shù)的力量。

2.以問題解決感悟一般性

感受用字母表達(dá)的一般性，需要融合各類情境、問題，讓學(xué)生在不同背景的分析及問題解決中從代數(shù)視角看問題，把握規(guī)律，逐步體會(huì)用字母表示數(shù)及數(shù)量關(guān)系的一般化。芮老師借“擺小三角形，探索三角形個(gè)數(shù)與小棒根數(shù)的關(guān)系”“喝牛奶，研究總量與分量的聯(lián)系”“圍正方形，求周長、面積”三個(gè)問題情境，讓學(xué)生在解決問題中認(rèn)識(shí)到字母不僅可以表示簡潔的結(jié)果，還可以表示兩個(gè)變量的關(guān)系，在變與不變中感悟用字母表達(dá)的一般性。其后通過不同問題情境下對(duì)“5a”含義的解讀，理解其表示的相同數(shù)量關(guān)系，體會(huì)“字母表示數(shù)”還能表示不同情境中共同的本質(zhì)聯(lián)系。楊老師設(shè)計(jì)的“年齡問題”“擺三角形問題”，集中指向?qū)W生思維的表達(dá)，通過如何簡潔表達(dá)“哥哥和妹妹年齡的關(guān)系”“三角形的個(gè)數(shù)和小棒的根數(shù)之間的關(guān)系”，幫助學(xué)生在真實(shí)情境與抽象形式之間建立聯(lián)結(jié)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)用字母比用文字更簡潔、概括。

兩位教師都激活了學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)，在實(shí)際情境中認(rèn)識(shí)到用字母或含有字母的式子可以表達(dá)常見數(shù)量關(guān)系及其變形，還可以表達(dá)圖形的周長和面積計(jì)算公式等，感悟字母符號(hào)在數(shù)學(xué)表達(dá)上的一般性。

二、消解認(rèn)知困境，幫助學(xué)生理解含有字母的式子可以表達(dá)關(guān)系、規(guī)律

“用字母表示數(shù)”的目標(biāo)定位是什么？有些教師定位在“能表示特定的未知數(shù)”，為此教學(xué)中進(jìn)行大量練習(xí)以達(dá)成目標(biāo)。教學(xué)實(shí)踐告訴我們，學(xué)生的思維困難不僅在于此，學(xué)生依據(jù)經(jīng)驗(yàn)，能理解喝掉的可以用 “x 毫升” 表示，但剩下的用250-x 表示，部分學(xué)生卻難以接受與理解。產(chǎn)生問題的根源在于學(xué)生之前面對(duì)的都是在確定的數(shù)量關(guān)系中得出確定的結(jié)果，而當(dāng)出現(xiàn)用含有字母的式子表示數(shù)量時(shí)，受算術(shù)思維的影響，從而造成對(duì)字母表示數(shù)的理解片面化。教學(xué)就需要在此下功夫，以更好地幫助學(xué)生突破原有思維，理解知識(shí)。

1.設(shè)計(jì)能引發(fā)學(xué)生思考的學(xué)習(xí)活動(dòng)

教師教學(xué)要善于設(shè)計(jì)貼合學(xué)生思維的學(xué)習(xí)活動(dòng)，引發(fā)認(rèn)知沖突，通過具有挑戰(zhàn)性的問題，促進(jìn)學(xué)生積極思考，經(jīng)歷數(shù)學(xué)觀察、思考、表達(dá)、概括與分析等學(xué)習(xí)過程，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的表達(dá)方式。兩位教師均設(shè)計(jì)了三個(gè)基本學(xué)習(xí)活動(dòng)。芮老師“用自己的方式表示喬治喝掉的牛奶和剩下的牛奶之間的關(guān)系” 就是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)活動(dòng)。教師在教學(xué)中緊扣住了兩個(gè)關(guān)鍵：一是通過對(duì)“剩下b 毫升”與“剩下250-x 毫升”的對(duì)比，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到用字母式能表示兩個(gè)有聯(lián)系的數(shù)量間關(guān)系；二是含有字母的式子可以表示一種結(jié)果，是一個(gè)數(shù)，當(dāng)喝掉的牛奶x 確定，剩下的牛奶250-x 的量也就確定了，同時(shí)結(jié)合具體情境，表示不確定的數(shù)（變量）也存在一定范圍。楊老師以“表示哥哥的年齡”設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，通過“能用一個(gè)式子表示出所有的情況嗎”為核心問題，啟發(fā)學(xué)生用自己的方式嘗試概括表達(dá)，經(jīng)歷初步抽象概括過程。通過對(duì)話交流清晰數(shù)量關(guān)系中的不變情況，使學(xué)生體會(huì)到用字母思考和表達(dá)是數(shù)學(xué)概括的重要形式，具有更高水平的一般性。

2.促進(jìn)學(xué)生思維的多元表征

新課標(biāo)指出：在用數(shù)與符號(hào)表達(dá)和分析現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系時(shí)，要讓“學(xué)生經(jīng)歷在具體情境中運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決問題的過程。”教學(xué)中就需要充分理解并給予學(xué)生思維的呈現(xiàn)方式及結(jié)果，并借以此為資源，指導(dǎo)學(xué)生比較與分析，逐層深入以達(dá)成基于數(shù)量關(guān)系理解之上的、對(duì)字母表示的一般性的感悟。兩位教師在設(shè)計(jì)中都注重了學(xué)生思維多樣表征的辨析。芮老師在引導(dǎo)學(xué)生自主探究“怎樣表示三角形個(gè)數(shù)和小棒根數(shù)之間的關(guān)系？”的問題后，呈現(xiàn)五種不同的學(xué)生思維結(jié)果，其中“作品3”和“作品5”的本質(zhì)是一樣的，都是從數(shù)量關(guān)系中抽取出共同特征進(jìn)行總結(jié)，體現(xiàn)簡潔性與概括性。楊老師在指導(dǎo)學(xué)生分析哥哥與妹妹年齡關(guān)系時(shí)也是如此，抓住數(shù)量關(guān)系，從具體數(shù)量向符號(hào)表達(dá)的轉(zhuǎn)變中，通過比較、說理，幫助學(xué)生打破原有思維，初步感悟代數(shù)思維。從數(shù)量關(guān)系的視角理解和把握核心內(nèi)容，設(shè)計(jì)并捕捉學(xué)生多樣表征，讓思維可見，推動(dòng)深度學(xué)習(xí)正是教師教學(xué)專業(yè)化的體現(xiàn)。

三、強(qiáng)化關(guān)系思維，幫助學(xué)生確立代數(shù)思維

《用字母表示數(shù)》一課，除了讓學(xué)生理解并會(huì)用字母或含有字母的式子表示簡單的數(shù)和數(shù)量關(guān)系外，還要讓學(xué)生探索經(jīng)歷常見數(shù)量關(guān)系的抽象概括過程，體會(huì)一般化的表達(dá)，發(fā)展代數(shù)思維。教學(xué)中，需要通過具體學(xué)習(xí)任務(wù)，幫助學(xué)生分析事物的關(guān)系、性質(zhì)和規(guī)律，以更好地感悟內(nèi)涵。芮老師巧妙設(shè)計(jì)了“喝牛奶”情境，共250 毫升牛奶，喝掉的不確定，那么如何表示剩下的就需要學(xué)生把握數(shù)量關(guān)系，理清總量與分量，并引導(dǎo)學(xué)生在交流互動(dòng)中發(fā)現(xiàn)變量之間的聯(lián)系，進(jìn)而知道在同一問題中不同的變量可用不同字母表示，也可以依據(jù)聯(lián)系，用一個(gè)字母概括表示關(guān)系。楊老師通過比較用不同字母表示不同事物，并抓住哥哥、妹妹的年齡關(guān)系，幫助學(xué)生理清字母所概括表示的關(guān)系結(jié)構(gòu)?！叭绻妹玫哪挲g用a 表示，那哥哥的年齡就可以根據(jù)妹妹的年齡，用a＋4 表示；如果哥哥的年齡用b 表示，那妹妹的年齡就可以用b－4 表示”，通過對(duì)比讓學(xué)生意識(shí)到字母表示的量不同，那含有字母的式子表示的量也不同，但蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系是不變的。

可見，認(rèn)識(shí)其概括性、簡潔性，需要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)從具體到抽象、由確定到變化的過程，要注重關(guān)系的發(fā)現(xiàn)及應(yīng)用，讓學(xué)生初步感受到“代數(shù)思維”的方式，由此自然生長。兩個(gè)設(shè)計(jì)在解決“字母表示變量”時(shí)，都提了同一問題：“這里的3為什么不能用字母表示呢？”其目的就在于幫助學(xué)生理清對(duì)“用字母表示”的情境判斷，明確字母是對(duì)數(shù)量及數(shù)量關(guān)系的抽象，這也是算術(shù)思維邁入代數(shù)思維的關(guān)鍵一步。

四、螺旋遞進(jìn)練習(xí)，幫助學(xué)生掌握含有字母式子的簡寫方法

學(xué)生掌握含有字母式子的簡寫方法也是需要達(dá)成的目標(biāo)。以往的教學(xué)主要是通過教師講解或?qū)W生自學(xué)課本的方式，教給學(xué)生簡寫的規(guī)則，并能應(yīng)用規(guī)則準(zhǔn)確簡寫。這樣教學(xué)，雖也能完成基本目標(biāo)，但弱化了學(xué)生體會(huì)用字母表示數(shù)的簡潔性，沒能很好發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)、推理意識(shí)。芮老師和楊老師都關(guān)注到“練習(xí)”對(duì)知識(shí)理解的作用，通過螺旋遞進(jìn)的方式，幫助學(xué)生掌握方法，提升字母表示的一般性認(rèn)識(shí)。芮老師首先要求學(xué)生用字母表示正方形周長、面積的計(jì)算公式，在應(yīng)用反饋中溝通原有認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)，明確用字母表示公式更簡潔；其次安排自主學(xué)習(xí)簡寫規(guī)則，并應(yīng)用規(guī)則解決計(jì)算公式、數(shù)量關(guān)系的簡寫；最后，要求學(xué)生應(yīng)用規(guī)則再次整理運(yùn)算律，一方面內(nèi)化用字母表示關(guān)系和規(guī)律的方法，另一方面豐富學(xué)生的認(rèn)知應(yīng)用情境，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到用字母可以表達(dá)數(shù)量關(guān)系、性質(zhì)和規(guī)律，感受其一般性。楊老師安排了三個(gè)層次的教學(xué)環(huán)節(jié)，即在應(yīng)用中體現(xiàn)簡寫的作用，并學(xué)習(xí)規(guī)則；借助正方形、長方形等周長、面積計(jì)算公式完善規(guī)則應(yīng)用；用含有字母的式子表示運(yùn)算律。兩位教師都將規(guī)則新授與練習(xí)應(yīng)用融為一體，通過新舊知識(shí)聯(lián)系拓展思維，感悟出用字母表示數(shù)的內(nèi)涵與價(jià)值，從而提升用字母表達(dá)具有一般性的認(rèn)識(shí)。

在《用字母表示數(shù)》一課的教學(xué)中，兩位教師在素材選擇上都化繁為簡，通過核心問題引導(dǎo)學(xué)生思考，讓思維在比較分析中得以豐富與深刻，認(rèn)識(shí)也隨著場(chǎng)景應(yīng)用及理解的深入拾級(jí)而上。她們立足新課標(biāo)要求，對(duì)教學(xué)進(jìn)行了創(chuàng)新實(shí)踐，取得了較好的教學(xué)效果。但是，立足新課標(biāo)，“用字母表示數(shù)”的教學(xué)研究遠(yuǎn)不止于此，比如立足整體性、階段性，第三學(xué)段的“用字母表示數(shù)”與第四學(xué)段的”用字母表示數(shù)”教學(xué)如何體現(xiàn)區(qū)別與聯(lián)系；如何基于代數(shù)思維發(fā)展促進(jìn)學(xué)生符號(hào)意識(shí)的發(fā)展等，都是后續(xù)仍需關(guān)注的問題，正符合教學(xué)研究是一個(gè)長期規(guī)劃、不斷累進(jìn)的過程。依“標(biāo)”研究，洞察問題，破解難題正是新課標(biāo)學(xué)習(xí)與實(shí)踐的重要舉措。