胡同祥　張藝蘭

一、情境引入

活動一：

（出示PPT）《數(shù)青蛙兒歌》，一只青蛙一張嘴，兩只眼睛四條腿，撲通一聲跳下水；兩只青蛙兩張嘴，四只眼睛八條腿……（由學生往下接）。

師：我們把這首歌歌詞單獨列出來，觀察這首歌詞里有沒有一定的規(guī)律呢？

生1：眼睛是青蛙只數(shù)的兩倍，腿是青蛙只數(shù)的四倍。

師：請大家想一下，按照這樣接下去我們能把這首歌詞補完嗎？能唱完嗎？

生2：不能。

師：那么有沒有辦法讓它簡潔一些？

生（齊聲）：可以用字母表示數(shù)（引出課題）。

師：現(xiàn)在假設用n來表示青蛙的數(shù)量，你來表示下？

生3：n只青蛙n張嘴，2n只眼睛4n條腿。

師：請大家想一下，用字母表示數(shù)有什么樣的好處？

生4：字母可以代替任何數(shù)，具有廣泛性和普通性。

師：好，剛才這個同學說到字母具有廣泛性和普通性，那么字母n能代表任何數(shù)嗎？還有沒有作用？

生（齊聲）：可以找到規(guī)律。

師：很好！也就是說，用字母表示數(shù)可以體現(xiàn)這道題的規(guī)律，那既然用字母表示數(shù)有那么多好處，我們就來學習用字母表示數(shù)。

點評：老師從學生熟悉的兒歌入手，引入課題，這樣，讓學生在新知的接受上感到特別適合自己的生活實際，同時為數(shù)學化提供了素材。通過教師引導學生閱讀情景題，加上老師追問，在追問中自然生成代數(shù)式的概念。

二、講授新課

活動二：

師：回想一下，小學時候用字母表示數(shù)學過哪些知識點？

生5：加法交換律a+b=b+a。

師：還有沒有其他運算律？

生6：加法結合律。

生7：乘法交換律，乘法結合律。

師：還有乘法分配律，那請大家回想一下還有沒有？

生8：還有圖形的計算公式。

師：那圖形有什么計算公式呢？

生9：面積公式，周長公式。

師：那我們一起來看下有哪些？

（ppt展示）（三角形，正方形，長方形，平行四邊形，梯形，并用字母來表示面積）

生10：S=ah/2……（請學生回答如何用字母表示面積公式）。

師：用文字語言表示？

生11：三角形的面積等于底乘高除以2

……

師：用字母表示數(shù)，用字母表示面積，這些都屬于數(shù)學三大語言里的哪一種？

生（齊聲）：符號語言

師：用字母表示數(shù)，實際就是數(shù)學符號語言的基礎，我們更應該把它學會學懂。

點評：通過設計對小學知識的回顧，喚醒學生對小學學過的舊知的回憶，讓學生在回顧中深刻體會自己主動選擇字母表示數(shù)的方法，這是符號意識自覺化的進一步提升。

三、鞏固訓練

活動三：

例題1：為了測試一種皮球的彈跳高度與下落高度之間的關系，通過試驗，得到下列一組數(shù)據(jù)（單位：厘米）：

請觀察：

①彈起高度與之下落高度間存在著什么樣的規(guī)律？

②如果下落的高度為bcm，彈起的高度為acm，請問a和b之間有什么樣的關系？

師：通過這個圖表發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生12：下落高度是彈起高度的兩倍。

師：換句說法？

生（齊聲）：彈起高度是下落高度的二分之一倍。

師：非常好！剛才同學們用文字語言描述了圖表的規(guī)律，你能用字母表示它的規(guī)律嗎？

生13：設彈起高度為n，那么下落高度就為2n。

師：如果用式子表示的話，如果用式子來表示，我們能說n=2n嗎？顯然不能，那么這個地方我們嘗試用兩個字母表示？假設下落高度是b，彈起高度是a的話，你能否表示出a，b之間的關系？

生14：b=a/2（學生回答錯誤）。

師：注意下落高度是b，彈起高度是a，請看文字語言是誰是誰的一半？

生（齊聲）：彈起高度是下落高度的一半

師：所以應該是a=b/2，如果根據(jù)你說的，這個符號語言寫成b=a/2，請問文字語言怎么表述？

生15：彈起高度是下落高度的二倍

師：非常好！請大家看，數(shù)學中的三大語言都在這道題里面體現(xiàn)了，而且也實現(xiàn)了一些基本的運算。

活動四：

師：出示PPT（如圖1）

例題2：正方形①的面積為______；長方形②的面積為____________于是整個圖形的面積為_______；又因為大正方形的面積：________；長方形③的面積為_______；正方形④的面積為_________；于是，整個圖形的面積為_________ 又因為大正方形的面積為_________；所以可以得到等式_________。

師：怎么用字母來表示①的面積？

生16：a的平方。

師：怎么用字母表述②的面積？

生17：ab。

師：自己完成其他兩個沒有填完的圖形的面積。

生：（自己填圖）。

師：現(xiàn)在再來看，這四個圖形組成的是一個什么圖形？

生（齊聲）：正方形。

師：那這個正方形的邊長是多少？

生17：a+b。

師：所以我們用整體的眼光來看他這個圖形的面積還可以用什么式子來表示？

生（齊聲）：a加b的和的平方。

師：大家想，這道題的面積我們用了兩種方式表示，一種是邊長的平方，一種是把它們分成四塊，加起來的面積，那么都是它的面積，我們可以得到一個什么樣的數(shù)量關系？

生（齊聲）：兩個式子相等。

師：用這個圖形看起來更加的直觀，更加形象，因此這是我們之前講到的數(shù)形結合思想。剛才我們從圖形中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用字母表示規(guī)律，下面我們來看一下從式子中來發(fā)現(xiàn)什么問題。

點評：通過對圖表的理解和翻譯，將圖表語言轉化為文本語言，同時會翻譯成符號語言，進一步促成符號意識的升華，同時經(jīng)歷“替代”的過程。

活動五：

出示PPT：

例題3：

我們知道：

23=2×10+3

865=8×102+6×10+5

5948=___×103+___×102+___×10+___

若某三位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c，則此三位數(shù)可表示為________。

（小組討論）

師：我請一位同學給我們說一下空格上應該填什么？

生18：第一個空填5，第二個空填9，第三個空填8，第四個空填4

師：非常好，她把這個數(shù)字按照上面的規(guī)律填出來了，她既然填對了，就說明她在題中發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。那么你們能不能根據(jù)這個規(guī)律填出其他的數(shù)字呢？

生（齊聲）：能

師：那么請一位同學說一位數(shù)字，另外一位同學填出來。

生19：1354

生20：1乘以10的三次方加上3乘以10的二次方加上5乘以10，再加4

師：現(xiàn)在我們用字母來解釋下這個怎么填。假設一個三位數(shù)個位數(shù)為a，十位數(shù)為b，百位數(shù)為c，則這個三位數(shù)可表示為？哪位同學能非常熟練的填出來？

（學生討論）

生（齊聲）：c乘以10的二次方加b乘以10加a

師：好，他用字母表示了這個數(shù)的分解法。

活動六：

師：出示PPT

例題4：

請觀察、比較、猜想下列個算式的規(guī)律：

[1+2=2×（2+1）2=3]

[1+2+3=3×（3+1）2=6]

[1+2+3+4=4×（4+1）2=10]

[1+2+3+4+5=________=________]

……

1+2+3+…+100=________=________

一般地，有：1+2+3+…+n=________

（請學生討論，思考）

師：我們現(xiàn)在問一下同學們，從這些符號，這些式子當中，你有沒有發(fā)現(xiàn)規(guī)律？那么請一位同學來說一下。請觀察第2個式子，這里的3表示什么意思？

生21：表示末項

師：這里的1表示什么意思？

生22：首項

師：那你明白每一個數(shù)字代表什么意思，你用文字語言敘述一下這個式子？

生（齊聲）：項數(shù)乘以首項加末項的和除以2

師：既然發(fā)現(xiàn)規(guī)律了，那下面的空該怎么填？

（請同學上黑板填寫，填寫正確）

師：我們可不可以用簡單的方法把它表述出來？

生（齊聲）：1加2加3一直加到n，等于n乘以n加1的和除以2

師：像這樣表示它具有什么性？

生（齊聲）：具有代表性

師：所以就從特殊的例子，轉化成了具有普遍性一般性的字母表示這個式子，這個個是我們數(shù)學中一個重要的思想，就是特殊到一般的思想。

（給出變式2+4+6+.......+2n=______）

師：請大家想一想這些空格應該怎么填？請在練習本上寫出來。

生（齊聲）：二分之n乘以2n加2的和

師：請問你這個式子的得來是什么理由？

生23：先發(fā)現(xiàn)它們的項數(shù)有n個，然后在用它們的末項加首項除以2

師：也就是我們剛才發(fā)現(xiàn)的那個公式是嗎？

生（齊聲）：是

師：還有沒有其他方法？

生（齊聲）：方法就是，先將2+4+6......，先把它全部除以2，變成1+2+3+4……

師：我們可不可以簡單來寫2（1+2+3+4+.......n），那么變成這個式子的前面我們可以寫成什么？

生（齊聲）：2×1+2×2+2×3+2×4+……+2×n

師：現(xiàn)在又怎么辦？

生24：把2提出來？

師：用到什么知識？

生25：乘法分配律？

師：是乘法分配律，還是乘法分配律的逆運算？

生26：逆運算

師：很好，我們把2提出來寫成2（1+2+3+4+……n），因此下面就變成了什么形式？

生（齊聲）：二乘以2分之n乘n加1的和

師：所以結果是什么？

生（齊聲）：就等于n（n+1）

師：如果是3+6+9+12+……+3n=，那么就可以直接等于這個公式的幾倍？

生（齊聲）：3倍

活動七：

點評：通過對式子的分析和理解，通過師生的“經(jīng)歷”，讓學生感受歸納思想，體味從特殊到一般的思想，同時感受“抽象”的本質，這種本質不僅是字母“代替”文字，“代替”數(shù)字的過程，而且更是具體數(shù)字符號化和形式化的抽象過程，更是靜態(tài)數(shù)字一般化，動態(tài)化的過程。它是人類認識從算術到代數(shù)的一次飛躍。這時，字母既可以表示已知量，又可以表示未知量，還可以表示這個數(shù)量在不斷的運動變化中。

四、小結與感悟

師：通過這節(jié)課的學習，同學們有哪些收獲和感悟呢？

生：（自由談）

總評：本課例是一節(jié)思想方法教學課，圍繞核心概念（符號意識）的培養(yǎng)進行教學設計。教學流程經(jīng)歷了四個環(huán)節(jié)：（1）創(chuàng)設情境，導入新知；（2）聯(lián)系嘗試，體驗新知；（3）合作交流，加深理解；（4）自主探究，拓展延伸。整個教學過程程序清楚，脈絡清晰。通過對舊知的激活，找到進一步探討“用字母表示數(shù)”這一新知識的生長點。在觀察、試驗、類比、推斷等活動中，進一步提升了學生的符號意識。在應用中，讓學生深刻地體會“用字母表示數(shù)”的簡潔性和優(yōu)越性。在小結、反思中梳理知識網(wǎng)絡，體會數(shù)學思考的過程和方法，幫助學生更好地進行知識建構、認知建構和意義建構，梳理了符號意識，發(fā)展了抽象思維。具體表現(xiàn)在以下幾方面的特點：

（一）重視情境建構，充分體現(xiàn)了意義建構的重要作用

上課伊始，從學生熟悉的兒歌入手，創(chuàng)設教學情境，在情境中輕松的引入課題。這樣一種數(shù)學化的方式，教學策略實施顯得很自然，學生感覺到很親切，激發(fā)了學習興趣，調動了學習的積極性，學生們愿意進一步進行探討和研究。這種情境建構的方式，為學習“用字母表示數(shù)“的意義建構起到了促進作用。

（二）重視合作學習，充分體現(xiàn)了學習共同體的作用和力量

在整個教學設計的實施過程中，充分展示了以“學“為中心的課堂特征：教學行為要從“以教為中心”向“以學為中心”轉移，從以“學科邏輯體系”為中心轉向“以學生發(fā)展為本”，從關注“教得完整”“學得完整”走向“發(fā)展得完整”，教學要滿足學生個性的發(fā)展需要，應從因材施教走向因需施教。教學是指導學生通過自己的學習活動獲得知識、經(jīng)驗、方法和技能，形成可持續(xù)發(fā)展的有效本領。具體表現(xiàn)在：首先，學生嘗試自主獨立學習，在獨立學習有困難的基礎上，教師要引導學生閱讀、思考和探究，幫助學生學會閱讀、思考、探究的方法，養(yǎng)成會閱讀、善思考、愿探究的學習習慣。其次，在學生獨立閱讀、思考、嘗試問題等解決等獲得感受、想法時，充分挖掘學生的合作共同體的學習力量，采取組內合作，再在全班交流的分享式學習模式。教師采取巡視各小組，發(fā)現(xiàn)好的事例、典型的錯誤、存在的缺憾等，在全班交流時，對各組中出現(xiàn)的典型錯誤進行分析，讓不同思路、不同的方法加以展示和碰撞，達成經(jīng)驗共享的效果。

（三）重視學生的認知規(guī)律，做到了認識問題與問題解決的完美結合

學生在小學就已經(jīng)接觸了用字母表示數(shù)，用字母表示數(shù)及數(shù)量關系，用字母表示未知量（簡易方程），運算律，圖形的周長、面積（體積）公式等，但這些都留在初步的符號意識，有一點用字母“代替”數(shù)的意識。新課標在7—9年級學生提出建立一個核心概念的要求，就是建立符號意識。因此，在整個教學活動中，通過情景引入，對學生學過的一些知識進行回顧。在此基礎上，讓學生觀察圖表，分析量與量之間的關系。通過對數(shù)學中的“三語言“（文字語言、符號語言、圖表語言）之間的轉化的反復訓練，充分挖掘學生認知能力，進行了自然的過渡，在表達中感悟“用字母表示數(shù)”的簡潔性。在引導學生自我小結、試驗、反思的過程中，經(jīng)歷用含字母的式子表示數(shù)和數(shù)量關系（或規(guī)律）的過程，進一步體會用字母表示數(shù)的優(yōu)越性，提升用字母表示數(shù)的自覺性。這一過程實際上就是用字母表示數(shù)抽象程度升華的過程。

（四）重視再現(xiàn)數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學的實踐價值

數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，表現(xiàn)在：除了是數(shù)學知識的教學以外，更關鍵的是數(shù)學思想和方法的教學。在數(shù)學知識和方法的教學過程中，通過教師有效的引路和學生自覺的找路，在師生雙邊活動的基礎上，學生在活動中探索用字母表示數(shù)的基本知識，同時也從中體悟歸納、猜想、驗證的數(shù)學思想和方法，這樣一來，始終堅守數(shù)學學習除了知識的掌握，更重要的是感悟其中的思想和方法，為今后的學習做了一些積累。只有這樣，學生的數(shù)學學科素養(yǎng)才得到具體的落實。

（責任編輯：張華偉）