張俊廷 李會(huì)超

摘? 要：固體物理課程是高等院校物理專業(yè)本科生重要的一門專業(yè)必修課。針對(duì)該課程教學(xué)過程中存在的理論教學(xué)與實(shí)踐脫節(jié)、教學(xué)手段單一、平時(shí)過程考核不能體現(xiàn)運(yùn)用知識(shí)能力等問題，該文提出利用第一性原理軟件輔助固體物理課程教學(xué)的改革舉措。通過將第一性原理軟件的一些功能應(yīng)用于固體物理不同章節(jié)內(nèi)容的教學(xué)過程，實(shí)現(xiàn)固體物理知識(shí)學(xué)習(xí)與第一性原理計(jì)算訓(xùn)練緊密結(jié)合。同時(shí)把運(yùn)用第一性原理軟件分析解決具體問題作為課外任務(wù)引入平時(shí)的過程考核，考察學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際的能力。這些舉措能夠使學(xué)生更直觀地理解固體物理知識(shí)，改善課堂教學(xué)效果，同時(shí)鍛煉學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，能夠?qū)⒅R(shí)學(xué)習(xí)與科研訓(xùn)練結(jié)合起來，有助于其養(yǎng)成良好的科研素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：固體物理；第一性原理計(jì)算；教學(xué)改革；石墨烯；能帶結(jié)構(gòu)

中圖分類號(hào)：G642? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號(hào)：2096-000X（2023）35-0130-04

Abstract： The solid state physics course is an important compulsory course for physics majors in colleges and universities. In view of the problems existing in the teaching process of this course， such as the disconnection between theory teaching and practice， single teaching means， and the inability to reflect the ability to apply knowledge in normal process assessment， this article proposes reform measures to use first-principles software to assist the teaching of solid-state physics course. By applying some functions of the first-principles software to the teaching process of different chapters of solid-state physics， the learning of solid-state physics knowledge and the training of first-principles calculations can be closely integrated.? At the same time， the use of first-principles software to analyze and solve specific problems is introduced as an extracurricular task into the usual process assessment， to examine students' ability to connect theory with practice. These measures can enable students to understand solid-state physics knowledge more intuitively， improve the classroom teaching effects， and at the same time exercise students' ability to use the knowledge they have learned to analyze and solve problems. They can combine knowledge learning with scientific research training， which will help them develop good scientific research literacy.

Keywords： solid-state physics; first-principles calculations; teaching reform; graphene; band structure

固體物理學(xué)是物理學(xué)的一個(gè)重要分支，其研究固體的微觀結(jié)構(gòu)、物理性質(zhì)及組成固體的微觀粒子的相互作用及運(yùn)動(dòng)規(guī)律。固體物理學(xué)涵蓋范圍極廣，涉及晶體學(xué)、材料學(xué)、力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)、半導(dǎo)體等諸多領(lǐng)域[1]。固體物理課程是高等院校物理專業(yè)本科生重要的一門專業(yè)必修課，也是其他學(xué)科如材料、化學(xué)等的一門專業(yè)選修課程。在固體物理教學(xué)過程中，涉及較多抽象的概念和模型，且需要講授大量理論推導(dǎo)過程，如晶格振動(dòng)與晶體的熱力學(xué)性質(zhì)、能帶理論、晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)、金屬電子論和半導(dǎo)體電子論等內(nèi)容部分均含有較多涉及量子力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理知識(shí)的理論推導(dǎo)[2]。學(xué)生在學(xué)習(xí)這些內(nèi)容的過程中難以跟上課程的進(jìn)度。

此外，固體物理教學(xué)過程中沒有具體的實(shí)踐和應(yīng)用環(huán)節(jié)，無法讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)固體物理知識(shí)去解決實(shí)際問題，容易使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感到枯燥乏味，從而漸漸失去學(xué)習(xí)固體物理的興趣。傳統(tǒng)教學(xué)模式也沒有對(duì)學(xué)生進(jìn)行很好的引導(dǎo)，讓學(xué)生積極主動(dòng)地思考和研究問題，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效果大打折扣[3-4]。此外，通常的考核方式容易讓學(xué)生們養(yǎng)成死記硬背知識(shí)點(diǎn)和題型的習(xí)慣，很難將知識(shí)活學(xué)活用，做到理論聯(lián)系實(shí)際。因此，固體物理課程的改革勢在必行。

針對(duì)固體物理教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)的這些問題，本文提出將第一性原理軟件應(yīng)用于固體物理教學(xué)過程和平時(shí)過程考核中。這些舉措不僅能夠使學(xué)生們更直觀形象地理解所學(xué)的固體物理知識(shí)，而且通過理論聯(lián)系實(shí)際鍛煉了學(xué)生分析和解決實(shí)際問題的能力，使他們能夠活學(xué)活用固體物理知識(shí)，將其應(yīng)用于科研實(shí)踐中。此外，也提前培養(yǎng)了學(xué)生的科研能力，提高了他們的科研熱情，有助于在本科階段養(yǎng)成良好的科研素養(yǎng)。

一? 教學(xué)研究背景

（一）? 固體物理教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)的問題

固體物理課程為中國礦業(yè)大學(xué)物理專業(yè)本科生一門重要的專業(yè)必修課，作者多年來負(fù)責(zé)固體物理課程的教學(xué)工作，發(fā)現(xiàn)在教學(xué)過程中存在著諸多問題。根據(jù)本人的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生往往在前期能夠保持對(duì)固體物理課程的新鮮及興趣，并能夠及時(shí)跟上課程的進(jìn)度。這是由于固體物理課程前期內(nèi)容主要涉及相對(duì)較為簡單的知識(shí)，很少涉及復(fù)雜的理論推導(dǎo)過程，并且相關(guān)內(nèi)容能夠進(jìn)行直觀的圖畫演示，因此學(xué)生容易理解和接受，能夠保持學(xué)習(xí)興趣。然而，隨著課程的進(jìn)行，后續(xù)內(nèi)容部分理論難度增大，含有大量涉及量子力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理知識(shí)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程，而且很少有直觀圖示及針對(duì)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用訓(xùn)練，從而導(dǎo)致學(xué)生逐漸失去學(xué)習(xí)固體物理課程的興趣。

此外，在培養(yǎng)研究生和指導(dǎo)本科生做科研訓(xùn)練的過程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們難以將固體物理知識(shí)活學(xué)活用，做到理論聯(lián)系實(shí)際并與科研課題有機(jī)結(jié)合起來。例如，學(xué)生們會(huì)出現(xiàn)不熟悉點(diǎn)群和空間群符號(hào)的含義；不會(huì)利用晶體對(duì)稱操作去判斷宏觀物理量的形式；不理解石墨烯的布里淵區(qū)為什么是正六邊形；不會(huì)運(yùn)用固體物理知識(shí)去分析晶格振動(dòng)譜和電子能帶結(jié)構(gòu)的結(jié)果等情況。這說明傳統(tǒng)的只注重知識(shí)點(diǎn)講授的教學(xué)和考核方式容易導(dǎo)致學(xué)生們理論與實(shí)踐脫節(jié)，難以使學(xué)生們將所學(xué)知識(shí)與科研訓(xùn)練結(jié)合起來，無法鍛煉學(xué)生們分析問題和解決問題的能力。因此，有必要引入一些改革措施來提高固體物理課程的教學(xué)效果。

（二）? 第一性原理軟件在教學(xué)過程中的應(yīng)用

目前，用計(jì)算機(jī)進(jìn)行分子模擬計(jì)算正廣泛地應(yīng)用于科研和教學(xué)等相關(guān)領(lǐng)域[5-7]。第一性原理計(jì)算，又叫從頭計(jì)算，其運(yùn)用量子力學(xué)原理進(jìn)行材料性質(zhì)的計(jì)算。常見的第一性原理計(jì)算軟件有Materials Studio、Vasp、Wine2K、Abinit、Atk、QE等，其中一些軟件具有可視化的操作界面，可以方便學(xué)生們學(xué)習(xí)和操作。關(guān)于晶體結(jié)構(gòu)的建模、具體性質(zhì)的計(jì)算和分析等正好涉及了固體物理課程的相關(guān)知識(shí)，因此可以作為固體物理課程的計(jì)算模擬實(shí)驗(yàn)來輔助教學(xué)[8-9]?？梢猿浞掷眠@些軟件和技術(shù)輔助教學(xué)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)手段的現(xiàn)代化和多樣化。通過引入具有可視化界面的第一性原理軟件，可將一些抽象的概念、模型和物理性質(zhì)，如倒格子、宏觀對(duì)稱性、晶格振動(dòng)譜、能帶結(jié)構(gòu)、態(tài)密度和費(fèi)米面等轉(zhuǎn)化為直觀形象的物理圖像展示給學(xué)生。甚至可以生成一些三維動(dòng)畫或視頻，將難以用語言描述或平面圖形展示的模型與結(jié)果用三維動(dòng)畫的形式演示給學(xué)生，使學(xué)生容易理解和接受，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而提升學(xué)生學(xué)習(xí)固體物理課程的興趣。同時(shí)也能夠使學(xué)生將所學(xué)知識(shí)與科研訓(xùn)練結(jié)合起來，培養(yǎng)他們的科研能力。

二? 教學(xué)研究改革舉措

（一）? 挖掘固體物理知識(shí)與第一性原理軟件功能的結(jié)合點(diǎn)

第一性原理軟件的一些功能能夠應(yīng)用于固體物理不同章節(jié)內(nèi)容的教學(xué)過程。以黃昆先生主編的《固體物理學(xué)》經(jīng)典教材為例[2]，在第一章晶體結(jié)構(gòu)部分，可以利用Materials Studio等軟件建立晶體結(jié)構(gòu)、分析晶格周期性、布拉伐格子、倒格子、晶體對(duì)稱操作和點(diǎn)群對(duì)稱性等；在第二章固體的結(jié)合部分，可以利用軟件計(jì)算和展示不同晶體結(jié)合類型的成鍵特征和電荷密度圖等；在第三章晶格振動(dòng)部分，可以利用軟件計(jì)算和分析晶格振動(dòng)譜、聲子態(tài)密度和比熱等熱力學(xué)性質(zhì)；在第四章能帶理論部分，可以計(jì)算和分析電子能帶結(jié)構(gòu)、態(tài)密度、費(fèi)米面和表面態(tài)等；在第五章晶體中電子在電場和磁場中的運(yùn)動(dòng)部分，可以計(jì)算和分析電子的運(yùn)動(dòng)速度和有效質(zhì)量等；在第六章金屬電子論中，可以計(jì)算和展示費(fèi)米能級(jí)、功函數(shù)、電子弛豫時(shí)間和電導(dǎo)率等。在教學(xué)過程中借助于這些計(jì)算模擬軟件不僅可以使一些抽象的概念和模型可視化，還可以通過其進(jìn)行具體材料性質(zhì)計(jì)算、分析和處理結(jié)果等。因此，第一性原理軟件能夠與固體物理相關(guān)理論知識(shí)實(shí)現(xiàn)緊密結(jié)合。

（二）? 科普固體物理知識(shí)與第一性原理計(jì)算在科研領(lǐng)域的應(yīng)用

在課堂教學(xué)過程中，注重介紹物理領(lǐng)域前沿研究進(jìn)展，通過講解相關(guān)研究成果及科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用的固體物理知識(shí)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到固體物理學(xué)在推動(dòng)科技進(jìn)步中起的重要作用，從而增強(qiáng)對(duì)固體物理課程的認(rèn)同感。例如，可以通過科普固體物理學(xué)領(lǐng)域獲得諾貝爾獎(jiǎng)的研究成果，介紹其所用到的固體物理知識(shí)，展望其在科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用潛力，來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)固體物理的興趣。另外，第一性原理計(jì)算已在科學(xué)研究中扮演越來越重要的角色，其已成為固體物理和材料科學(xué)領(lǐng)域一個(gè)重要的研究手段[8-10]。在教學(xué)過程中，可以介紹一些第一性原理計(jì)算在前沿研究領(lǐng)域的應(yīng)用。讓學(xué)生不僅了解物理學(xué)的前沿研究領(lǐng)域，將所學(xué)的知識(shí)跟前沿領(lǐng)域相結(jié)合，同時(shí)能夠認(rèn)識(shí)到掌握第一性原理計(jì)算手段的重要性，激發(fā)學(xué)生參與科學(xué)研究的興趣。

（三）? 將第一性原理軟件應(yīng)用于平時(shí)過程考核

傳統(tǒng)的平時(shí)過程考核主要以交作業(yè)的形式，側(cè)重于學(xué)生利用所學(xué)固體物理學(xué)知識(shí)來進(jìn)行解題訓(xùn)練，難以衡量學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決實(shí)際問題的能力。因此，對(duì)于平時(shí)過程的考核方式的創(chuàng)新是必要的。在引入第一性原理軟件輔助教學(xué)后，相當(dāng)于提供了應(yīng)用和實(shí)踐訓(xùn)練環(huán)節(jié)，可以將其應(yīng)用于平時(shí)教學(xué)過程的考核。例如在學(xué)習(xí)晶體結(jié)構(gòu)部分內(nèi)容后，可以將晶體結(jié)構(gòu)的建模和分析作為課外任務(wù)，讓學(xué)生通過結(jié)構(gòu)建模軟件建立具體材料的晶體結(jié)構(gòu)，根據(jù)所學(xué)知識(shí)分析其晶格周期性、倒格子、對(duì)稱操作、點(diǎn)群和布拉伐格子等，并與軟件測定結(jié)果進(jìn)行對(duì)照。另外，也可以讓學(xué)生利用第一性原理軟件完成簡單體系，如石墨烯的基本性質(zhì)的計(jì)算、晶格振動(dòng)譜、電子能帶結(jié)構(gòu)、態(tài)密度和費(fèi)米面等，完成計(jì)算數(shù)據(jù)的處理、分析和畫圖，將其整理成實(shí)驗(yàn)報(bào)告形式上交，作為平時(shí)過程考核的一個(gè)重要依據(jù)。這些考核方式體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力，容易調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)也培養(yǎng)了他們的科研能力，使學(xué)生將學(xué)習(xí)知識(shí)與科研訓(xùn)練結(jié)合起來。

三? 實(shí)施案例

在具體實(shí)施過程中，我們首先根據(jù)不同章節(jié)內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)，制作了教學(xué)課件。針對(duì)不同的教學(xué)內(nèi)容，選擇第一性原理軟件的相應(yīng)功能來輔助教學(xué)。這里介紹幾個(gè)結(jié)合第一性原理軟件常見功能來輔助固體物理教學(xué)的實(shí)施案例。

（一）? 晶體結(jié)構(gòu)構(gòu)建與分析

在前兩章內(nèi)容的教學(xué)過程中，主要利用第一性原理軟件的晶體結(jié)構(gòu)建模和分析功能來輔助教學(xué)。例如，在學(xué)習(xí)倒格子和晶體宏觀對(duì)稱性后，介紹如何利用Materials Studio軟件進(jìn)行鈣鈦礦結(jié)構(gòu)的建模，以及如何利用軟件顯示晶體的倒格子和布里淵區(qū)，如圖1所示。鈣鈦礦是凝聚態(tài)物理和材料科學(xué)研究中常見的一類材料，其性能涵蓋范圍非常廣泛。鈣鈦礦材料具有結(jié)構(gòu)簡單的特點(diǎn)，因此適合作為課堂教學(xué)案例進(jìn)行演示。另外，作為拓展詳細(xì)介紹了如何利用該軟件模擬晶體的XRD圖譜，引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)理解XRD衍射峰與晶面族及倒格矢的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使其會(huì)利用晶面間距公式和布拉格反射定律計(jì)算晶面衍射峰位置。

另外，可以布置課外任務(wù)讓學(xué)生利用第一性原理軟件完成石墨烯晶體結(jié)構(gòu)的建模，并分析其對(duì)稱性、倒格子和布里淵區(qū)的形狀等。作為最具有代表性的一個(gè)二維材料，石墨烯不僅結(jié)構(gòu)簡單，而且表現(xiàn)出豐富奇特的電子性質(zhì)，已成為凝聚態(tài)物理的一個(gè)熱門前沿研究領(lǐng)域。首先，讓學(xué)生利用所學(xué)倒格子知識(shí)計(jì)算石墨烯的倒格子基矢及布里淵區(qū)，理解其布里淵區(qū)形狀為何為正六邊形，如圖2所示。然后，讓學(xué)生使用Materials Studio軟件完成石墨烯晶體結(jié)構(gòu)的建模，并顯示其倒格子基矢與布里淵區(qū)形狀，與理論分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)照。該案例能夠體現(xiàn)學(xué)生對(duì)晶體結(jié)構(gòu)部分所學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力，并將所學(xué)知識(shí)與科研訓(xùn)練結(jié)合起來。

（二）? 晶格振動(dòng)譜計(jì)算與分析

在第三章晶格振動(dòng)部分，在講解完晶格振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)測定方法后，介紹利用第一性原理軟件計(jì)算材料晶格振動(dòng)譜的理論方法。以二維材料石墨烯為例，介紹了利用第一性原理軟件和后處理軟件計(jì)算其晶格振動(dòng)譜的詳細(xì)步驟，并展示計(jì)算結(jié)果，如圖3所示。利用晶格振動(dòng)譜的圖示結(jié)果，讓學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)點(diǎn)理解和解釋其晶格振動(dòng)譜的特征，如聲學(xué)支和光學(xué)支振動(dòng)模式的數(shù)目及長聲學(xué)支的色散關(guān)系的特點(diǎn)等。此外，還介紹了如何可視化晶格振動(dòng)模式，并生成具體振動(dòng)模式的gif圖，如圖3所示，讓學(xué)生能夠非常直觀地觀察晶格振動(dòng)，從而加深對(duì)晶格振動(dòng)部分知識(shí)點(diǎn)的理解，并可能運(yùn)用于后續(xù)的科研課題中。

（三）? 能帶結(jié)構(gòu)和態(tài)密度計(jì)算與分析

在第四章能帶理論部分，在介紹完能帶理論知識(shí)后，以石墨烯為例介紹了如何利用第一性原理軟件計(jì)算材料的能帶結(jié)構(gòu)和態(tài)密度。圖4顯示了VASP軟件計(jì)算的石墨烯能帶結(jié)構(gòu)和態(tài)密度在C原子Pz軌道的投影，而圖5顯示了石墨烯能帶結(jié)構(gòu)和態(tài)密度在C原子Px/Py軌道的投影。針對(duì)投影能帶和態(tài)密度的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行講解分析，指出石墨烯費(fèi)米面附近線性色散的能帶結(jié)構(gòu)（即狄拉克錐）來源于面外的Pz軌道，而非面內(nèi)的Px和Py軌道，并從C原子形成三個(gè)面內(nèi)共價(jià)鍵的角度簡要解釋其成因。指出石墨烯形成狄拉克錐能帶結(jié)構(gòu)是其具有一些獨(dú)特性能的原因，并解釋課堂開始引入的有關(guān)石墨烯的問題。

四? 結(jié)束語

將第一性原理軟件引入到固體物理課程教學(xué)，可以使學(xué)生更直觀更深刻地理解固體物理相關(guān)知識(shí)，改善課堂教學(xué)效果。通過直觀形象的教學(xué)過程和具體的實(shí)踐訓(xùn)練，鍛煉了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，以及理論聯(lián)系實(shí)際的能力。通過制定更加合理的過程考核方式，體現(xiàn)學(xué)生對(duì)所學(xué)固體物理知識(shí)的運(yùn)用能力。此外，學(xué)生在課程學(xué)習(xí)過程中，提前熟悉了第一性原理計(jì)算，使學(xué)生能夠?qū)W(xué)習(xí)知識(shí)與科研訓(xùn)練結(jié)合起來，有助于其養(yǎng)成良好的科研素養(yǎng)，成為基礎(chǔ)扎實(shí)且具有創(chuàng)新能力的物理專業(yè)人才。

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